Как ни странно, в уме эмпирически ИМЕННО ЭТУ задачу решил за 5 секунд. Вспомнился анекдот: Маленький мальчик спрашивает у папы :"папа, а как пишется цифра восемь? " Очень просто, сынок, как бесконечность, повернутая на пи пополам"
В тему Вашего анекдота. Например "как записать знакопеременный ряд, где чётные члены положительны, а нечётные - отрицательны?": - как запишет программист: (1 - (int)((n & 0x01)
@@malkhazberezhiani981 математика - точная наука, именно поэтому нельзя так сказать: "видно, что они не встретятся". Я понимаю твою логику и сам бы хотел так доказывать, но такое док-во не примут
Не то что видно, а иллюстрируются графиками известные свойства степенной и линейной функций. Давно доказанные. Монотонное возрастание степенной функции и ее производной. И зачем вламываться в открытые двери и после единственным способом решения назвать подбор.
Валерий, Вам виднее, как излагать решение, но со стороны кажется проще сразу указать пару очевидных корней, а уже потом поставить вопрос, нет ли других. Тогда логика поиска станет понятной. А так неискушенному зрителю предлагается с неясной целью вертеть какую-то функцию чтобы потом закончить дело вполне прозаически...
Дело в том, что и указать сначала пару корней, а потом предполагать что эта пара единственная - такое же неочевидное начало решения. Да, мы найдем какие-то корни, но с чего мы должны решить, что больше нет? Показав такой вид решения, мы натолкнем неискушенных на неверный путь решения. Ведь тогда они будут сначала тратить время на нахождение каких-то решений, а потом пробовать обосновать их единственность, что не всегда разумно. Поэтому изначально идут от анализа функции. «А давайте посмотрим, что это вообще за функция».
@@brinza888 Он же сказал в начале, что можно просто нарисовать графики этих функций. Очевидно, что точек пересечения при построении будет две, причём такие, что мы можем назвать их по графику и для точной проверки подставить. Этот метод для неискушённых зрителей самый нормальный и не заставляющий вскипать мозги от этих производных. Всё честно)
@@Check_001 не очень хорошо. По графику вы обоснуете что их две, но две как минимум. Никто не гарантирует отсутствие других. А вот анализ функций да. В этом же вся суть решения уравнений. Вы находите решения, но еще нужно доказать что других нет (или совсем нет).
@@Check_001 "Просто нарисовать"!!! Даже в школе мы доказывали только для линейной функции, что любая точка на прямой линии принадлежит этой функции. Уже для X² в учебнике, увы, ограничились неким рисунком графика это функции, не утруждая себя доказательством того, что любая точка этого графика принадлежит функции X². А учился по учебнику Кочетков и Кочеткова... Или в Ваших учебниках было таки доказательство того, что любая точка на нарисованном графике принадлежит функции 2^х ?
@@brinza888 Если бы графическое решение было неверным и никогда не гарантировало правильности, его бы не применяли в школах в качестве нормального метода (и без доп. анализа). По крайней мере в той школе, где я учился, большего от графического метода не требовали.
Вторая производная положительна, тогда первая монотонна, тогда у функции не более 1 точки смены монотонности, а значит - не более 2 корней. Корни 1 и 2. Профит.
Валерий, раз на канале довольно часто попадаются такие уравнения, то можете записать видео о функции Ламберта. И как с помощью этой функции решаются подобные задачи. И решите уравнение x^2=2^x
Для того, чтобы использовать W-функцию Ламберта, нужно изучить отдельный сложный раздел математического анализа: ТФКП (теорию функций комплексного переменного), этот предмет студенты университетов проходят на 3 курсе.
@@user-cl6kg7qm1l нет конечно, ничего такого на самом деле знать не требуется, тем более что-то там про комплексные переменные)) Для того, чтобы получить аналитическое решение такого уравнения, достаточно знать, что W(x) это [многозначная] функция, обратная к x*exp(x) Получаем: 2x=2^x x*2^(-x)=1/2 x*exp(-x*ln(2)) =1/2 -x*ln(2)*exp(-x*ln(2)) =-ln(2)/2 -x*ln(2)=W(-ln(2)/2) x=-W(-ln(2)/2)/ln(2) Всё. Но для абитуриента это совершенно бесполезно :D
Можно было графически показать, что прямая 2x пересекается с показательной функцией 2^x в двух точках Или методом перебора заметить, что значения функций слева от решений и справа слишком расходятся => поиск решений там не имеет смысла
Уже писали, но всё таки - название неточное. Именно такие уравнения можно решать использую W функция Ламберта. 2^x = 2x ln(2^x) = ln(2x) x*ln(2) = ln(2x) ln(2)/2 = (1/2x)*ln(2x) exp(-ln(2x))*-(-ln(2x)) = ln(2)/2, t=-ln(2x) exp(t)*t = -ln(2)/2 По определению ф-и Ламберта: t = W(-ln(2)/2). По св-ву W-функции имеем два действ. корня [*]: t1 = W0(-ln(2)/2) и t2 = W-1(-ln(2)/2). По св-ву W0: t1 = -ln(2). t2 ≈ -1.3863. Обратная замена: x1 = exp(-t1)/2 = 2/2 = 1 x2 = exp(-t2)/2 ≈ 2. Непосредственной подстановкой проверяем значение точно 2 - оно подходит, с учётом [*] x2 =2. Ответ: 1; 2. Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
@@user-bg2ub1tz9w из интереса. А в чём вы собственно не согласны с автором комментария? Он не утверждает что корня два. Он лишь утверждает что их не больше двух. И это значит лишь то, что их может быть либо 2 либо 1 либо 0.
@@penguinpenguin-zm2mr ПРЕЖДЕ,ПРЕЖДЕ,чем подбирать корни,НЕОБХОДИМО убедиться,что они есть(а не в том,что их не более двух).А для этого НЕОБХОДИМО получить значение функции в точке минимума. Я разжевываю то,что и так должно быть понятно. Ибо если оно больше 0,то и подбирать корни,которых нет,бессмысленно.
@@user-bg2ub1tz9w замечу, что уравнение решалось подбором. И то, какие два корня данное конкретное уравнение имеет -- было известно сразу. От сюда, собственно и обеспокоенность автора видео на предмет того, могут ли быть корни помимо этих. Все эти танцы с производной автор использовал для доказательства факта того, что корней не более двух. И он это очень чётко обозначил. А не того, что они вообще есть. Автор комментария замечает, факта того, что показательная функция выпуклая уже достаточно для того, что бы сделать вывод о том, что корней не может быть больше двух. Я не спорю с тем, что искать корни, которых нет, имеет мало смысла. И, в общем случае, и правда желательно узнавать количество корней.
Валерий, здравствуйте. А показав на графике пересечение функций, можно считать это подтверждением правильности найденных корней и способом их нахождения? Понятно, что мы не можем точно определить места пересечения графически, и то, что корней только два. Но всё же. А ещё я поискал, и нашёл, что, вроде бы как, есть способ нахождения корней при помощи W-функции Ламберта. Я вообще не понимаю, как это работает, но, вроде бы, таким образом корни тоже находятся. Так, всё-таки, способ подбора правильно считать единственным верным?
Любая самая простая практика требует самой сложной теории! Очевидно сразу, что х=1 или х=2, но нужно же это доказать! За что люблю этот канал, так это за умение автора ну так запутать и усложнить, что любо-дорого посмотреть. Тем более мне, гуманитарию, который половину не понял, половину не вспомнил, но духом Высокой Математики таки проникся!
@@user-jt9yj7ek6u поставил например 3 и не выходит равенство, поставил 4 тоже не выходит. Отрицательные числа тем более не подойдут. 0 тоже. Только 1 и 2! И всё! Никакой головной боли с логарифмом от логарифма с логарифмическим логарифмом от натурального логарифма буквы "ё"!
Задание конечно постое, но решение интересное. Но народ, как Штирлиц говорил, запомнил начало и конец. Дело не в подборе а в том как производная иногда помогает решать уравнения.
А на кой фиг вообще именно в этом применять густой лес производных?) Всё равно так и так подбор, так не проще ли доказать всё через графики? Понимаю, чисто учебный пример, но тогда можно было бы найти и получше, где по крайней мере доказать единственность корней с помощью графика не было бы во сто крат проще
Доказав, что существует не более двух корней, я сразу заметил и подставил 1 и 2. Всё, решено методом быстрой подстановки в данном конкретном случае. Не факт, конечно, что такая смекалка поможет в других подобных уравнениях, но в данном частном случае сработало мгновенно.
Первое что пришло в голову - -1, но оно не подошло, а вот 1 - подошла: 2^1 = 2*1, когда сказали что 2 варианта решения - то решил попробовать 2, и 2^2 = 2*2, и никакой аналитики, только удача и логика
Если взять другоечисло например 3 в степени х=3х Х=1. 1 вариант, как с любым числом, короче формула следующая: если n в степени х= nx, то х=1, исключение если n=2, то уравнение имеет 2 корня. Как в данном случае 2 в степени х=2х,то х=1, х=2. Както так вот
Если ударяться в аналитику, тогда надо помимо нахождения знаков на промежутках монотонности исследовать функцию на асимптоты, доказав, что их нет, и оценить значение функции в точке минимума, показав, что оно меньше 0. И тогда уже на основании того, что асимптоты отсутствуют, функция является убывающе-возрастающей, а значение функции в точке минимума меньше нуля, можно делать вывод, что функция имеет не не более 2 корней, а ровно 2 корня.
@@maksimborisov4998 могут быть горизонтальные асимптоты. Например, показательная функция непрерывна на R и стремится к 0 при Х стремящемся к -бесконечности, т.е. Х = 0 - асимптота.
Я решил с помощью W-функции Ламберта (функция задаётся уравнением W(xe^x)=x): 2^x=2x 2^x*2^(-x)=2x*2^(-x) 1=2x*e^(-x*ln2) 1/2=x*e^(-x*ln2) -ln2/2=(-x*ln2)e^(-x*ln2) W(-ln2/2)=W((-x*ln2)e^(-x*ln2)) W(-ln2/2)=-x*ln2 x=-W(-ln2/2)/ln2 И действительно, если посчитать на калькуляторе, то на основной ветви функции Ламберта решение принимает значение 1, а на дополнительной - 2, + ещё бесконечность комплексных решений
Конечно оговорка про элементарные функции верна. Но такие обратные функции, как арк-функции или корень просто взяли и включили в понятие элементарные просто по определению (ведь они сами через конечное число арифметических действий не выражаются). В этом смысле W функция Ламберта ничем не хуже.
Получается, что задача x^2=2^x строго не решается, потому что там не получится доказать что корня только 2 ? Или получится? Сколько может быть точек пересечения графиков у кривых?
Потому что умножая на ноль, мы приходим к единственному решению, а деля на ноль мы не приходим ни к единственному ни к периодическому решению. Деля на ноль ответ-неопределенность (задача не имеет конкретного решения).
Если доказать, что всего 2 корня у уравнения, то можно пойти через логорифмирование. Получим: x = log2(2x) используя свойства логарифма, а именно: log(ab) = log(a) + log(b) Получим: x = 1 + log2(x) Чисто логически можно понять, что на больших числах решения не будет, так что методом подбора делаем подстановку, начиная с 1, тк по ОДЗ у нас 2х>0, то есть х>0. x = 1: 1 = 1 + log2(1) 1 = 1 + 0 1= 1 Подходит. x=2: 2 = 1 + log2(2) 2 = 1 + 1 2 = 2 Подходит. Вот мы нашли два решения, больше нет, т.к. Мы доказали в самом начале, что их два.
Доки ви будете морочити людям голову своєю похідною? Графік функції y=2^x має напрям опуклості вниз (без другої похідної це легко доводиться за нерівністю Коші). Тому пряма може перетинати його щонайбільше у двох точках. Їх абсциси х=1 та х=2 - шукані корені. Якщо вже щось розказуєте, то робіть це раціонально.
@@user-kw1uw2hb5e Графический метод - не есть строгий метод доказательства количества точек пересечения графиков. Например: графики функции которые будут не пересекаться, но линии будут проходить на очень малом расстоянии друг от друга. Поэтому графический метод интересен для прикидок "где копать", но для строгого доказательства нужен именно аналитический метод. Который - с оговорками на школьный уровень - есть в одном варианте показанном в ролике.
@@pavelusenko25 Я не казав, що графічний метод є строгим без аналітичного обгрунтування. Але у конкретному випадку перетинів графіків скрізь опуклої (вгнутої) функції та прямої більше двох точок перетину бути не може, що випливає безпосередньо з одного з можливих означень опуклості. У цьому ж прикладі така опуклість зразу випливає з нерівності Коші. То чому б цим не скористатися? Якщо б замість 2х був квадратний тричлен, тоді я з Вами погодився би.
@@pavelusenko25 Та й то для параболи вітками вниз ми теж отримали би не більше двох коренів. (Аналог перетину графіків функцій різної опуклості з відповідною властивістю графіків функцій різної монотонності).
Графическим методом нашел не только количество корней но и сами корни. Так что автор неправ про "единственный" способ. Производные и т.п. идут в пень.😂 про подбор вообще проорал. Автор, что с тобой не так?
В конце видео сказано "единственный аналитический в элементарных функциях", а в начале был (хоть и не до конца) графический, который, к стати, всегда требует проверки найденных корней - по сути, тот же подбор, только "с прицелом". Что с кем не так?
Второй способ нужен как показательный пример с одной стороны - и показать, что эти две функции пересекаются, что вообще не факт, т.е. решения может и не быть
для комплексных решений (подозреваю, что они существуют) - W-функция Ламберта) честно говоря, видя уравнения подобного рода, на неё уже рефлекс благодаря западным каналам)
Строго говоря, нужно еще доказать, что (при наличии минимума) функция не стремится к какому-то значению по оси У "снизу" т.е. она от точки минимума может возрастать, но ось У=0 не пересекать
Хотел поставить лайк, хотя почти ничего не понял- логарифмы и производные вот как уже лет пятнадцать не считаю, но как сказал автор--ставьте лайки, кто все понял.))) так что я пока не готов)
Текст внизу экрана Ютуб вставляет автоматически, я на это повлиять не могу, если Вы будете смотреть видео с другого источника (компьютер, планшет, телевизор Smart TV), то текста там скорее всего не будет.
В какое число я могу возвести двойку, что бы это было равно двойке умноженной на это число? Ну наверное это 1, хм, а может ещё что-то? Посмотрим, 2 - подходит, 3 - уже нет, 4 - нет, значит и дальше не подойдет. Подойдёт ли 0 ?- нет. Подойдёт ли отрицательное число - очевидно нет. Подойдет ли дробное? - как и с отрицательным. Всё.
