Как вавилоняне извлекали квадратные корни? 

гипотенузу придумал уже пифагор :) он жил позже

Причём этот итеративный метод довольно быстро набирает точность.

Кто знает.

Точно?

...хм

Это шутка, если что. 10-ая уже в Риме была, просто записывалась по другому.

Индусы видимо раньше римлян изобрели десятиричную систему.

Есть более удобные, например 12-ричные или 16-ричные. Но благодаря древним индийским математикам, теперь страдаем с десятичной :)

​@@asderoookrook7002просто умножать и делить на 10

​@@user-nn2ss9vm1s12ти- ричная система была у них

Доброго здоровья - я полагал метод Ньютона скорее завязан на понятии производной, нежели на "оквадрачивании" прямоугольника. Больше всего мне этот метод напомнил представление квадратного уравнения графическим методом, где прямоугольник x^2+bx=c представляли как квадрат х на х и прямоугольник b на х.

@@YuriiKostychov доказательство действительно можно ваести через производные. Методом Ньютона решают и другие нелинейные уравнения и из системы. Но если Вы посмотрите какие действия выполняются, то увидите, что это и есть метод Ньютона.

@@user-oc2yy9oz2j Да, формула похожа на метод Ньютона-рафсона, но тут скорее метод простой итерации: a=1, b=2, A=2 a = (a+b )/2 , b = A/ a и т.д. Для А>1 оно будет работать всегда.

Снова здравствуйте - при одинаковых начальных условиях (нулевой итерации) оба алгоритма (возможно одного и того же метода) дают идентичные результаты по точности и пр. - пробежался методом Ньютона. Мне пока сложно увидеть прямую аналогию (через приращения площади) с дискретной производной функции f(x) = (x^2-2). Подумаю ещё. (@@user-oc2yy9oz2j

​@@YuriiKostychov кстати, это метод Аль Хорезми

Мне ничего не понятно лично но я видимо очень глуп для всего вот этого.

60 же разных цифр. Как в 10-тичной 10 цифр. Да обычно все действия производятся в любой системе счислений (разве что в единичной системе отличается, если что это счёт на пальцах к примеру).

Так же, как это производится в шестнадцатеричной, восьмиричной и любой какую только можно вообразить. Вспомните, как производится сложение/вычитание и умножение/деление в столбик.

вот у нас есть пятеричная система счисления от 0 до 4: . - = * # складываем числа -.= и #-. : -.= + #-. ____ -.-= в чём проблема расширить до 60-ричной?

@@Achmdв первом приближении, ни в чем, кроме пересчёта основания

Радует когда ко всему этому что угодно можно написать но вот смысл теряется и всё перестаёт работать так как надо.

как показала практика (и реальный мир) миром рулят не ученые и умы, а политики. а тут как в животном мире - выживает не умнейший и сильнейший, а наиболее приспособленный. а природа доказывает, что не всегда большой мозг/ум выигрывает в эволюционной гонке

Так-то технологии от математики и сейчас отстают значительно) Возможно, даже больше, чем 4000 лет назад)

Не совпадение: если возьмёте за x сторону прямоугольника, то вторая сторона будет равна 2/x (из того, что площадь равна 2). Тогда среднее арифметическое даст (x + 2/x)/2 = x/2 + 1/x Площадь квадрата с такой стороной будет равна (x/2 + 1/x)² = x²/4 + 1 + 1/x² = 2 + (x²/4 - 1 + 1/x²) = 2 + (x/2 - 1/x)² Чем ближе площадь к 2, тем ближе к нулю (x/2 - 1/x)², и значит, x будет стремиться к корню из двух

((2a/b + b/a)/2)^2 = ((2aa + bb)/(2ba))^2 = (4aaaa + 4aabb + bbbb) / (4baba) = aa/bb + 1 + bb/4aa = 1 + (4aaaa + bbbb) / 4baba = 1 + (4aaaa - 4baba + bbbb + 4baba) / 4baba = 2 + (2aa - bb)^2 / 4baba остаётся понять, почему 2aa-bb равно -1 ...

Когда пишешь программу это даже не играет роли, поскольку получается что сторона у тебя как бы одна все время : a = (a + n/a)/2

@@MrWhisper001 это позволяет понять, что на каждом шаге корень находится между a и b, а также, что диапазон поиска уменьшается более чем в 2 раза. Т.е. оценить корректность алгоритма и скорость сходимости.

@@at_one это да, интересно понимали ли это сами вавилоняне.

Тот же принцип например площадь 4, тогда мы берём за вторую сторону 1 и берём среднее арифметическое -> 5/2, делим 4 на 5/2, получается 8/5, среднее арифметическое 41/20, ну и дальше

@@Lex06by а можешь придумать реальную в жизни причину для такого? Я пытался найти реальное историческое применение квадратного уравнения и не нашел. Может хоть у квадратного корня оно есть? (или было по крайней мере)

@@mike-stpr у вавилонян земли были общинными и надел под земледелие выделял правитель. Эти земли были вдоль рек и за счет наносов ила они были плодородными (как Нил в Египте). + они же рыли каналы, чтоб больше было заиливаемых земель. Так вот, чтоб не посориться всем, кому больше или меньше - учатки резались равной площади. Ну и чтоб н епростаивали. Так ч товсе просто - наделы делили.

@@Ihor_Semenenko спасибо! А для чего нужно было брать квадратный корень? Просто как бы, чтобы выделить участок равной площади, надо изначально знать его стороны, а не наоборот высчитывать их уже зная площадь. Поправь меня, где я ошибаюсь, плиз?

@@mike-stpr не, им просто нужно было решать квадратные уравнения - чтоб площадь через длинну выражать. А квадратный кореень это частный случай. Но мое предположение не 100%, потмоу ка точных данных нет. Скорее всего именно так и использовали.

Она и существовала(как и 20-ричная) - у французов и англичан до сих пор чувствуется. А еще 12-ричной на фалангах пальцев(4х3) считать удобно, этим тоже пользовались.

Неа, в лоб не получится. Корень из корня уже будет иметь гигантский знаменатель. А в том методе нужно считать: 48*√(2-√(2+√(2+√(2+√3)))) (Полупериметр вписанного 96-угольника). А Архимед как-то доказал, что он больше 223/71 (а описанный меньше 22/7).

@@at_one нет, в том-то и дело, что это наверно самый не продуктивный способ вычислять знаки Пи, которой продержался аж до Ньютона, но и через арксинусы - ряды Тейлора тоже давно не идеально получается - чтобы вычислить Пи на самом деле можно работать по похожему на этот, вавилонский алгоритм, когда на каждом шаге число верных знаков будет удваиваться - в общем не удивительно, что на самом обычном процессоре сейчас миллион верных знаков занимает секунды буквально.

А другим методом возможно точно посчитать иррациональное число?

А что в этом сложного?

@@kirillshkro MCCXXXVIII x MDCXCVII = ?

​@@x_rays ну так система та же десятичная(ну или пятеричная, как посмотреть). Не знаю как делали римляне, и с делением тут явно куда сложнее, чем с арабскими цифрами, но умножение же точно такое же и достаточно элементарное. Берём II, II*III=VI, II*V=VV, II*XXX=LX, II*CC=CD, II*M=MM. Берём V и сразу автоматом поднимаем на один ранг десятичных буквы соответственно V'DDLLLVVV(по счастью такую некорректную форму можно себе позволить, т. к. она однозначно читается), а пятеричные по формуле V = XXV, получаем V'DDLLLXXVVVV на этом этапе. И так по-тихоньку лепим монструозное количество слагаемых. Такими огромными числами в Риме, как произведение четырёхзначных чисел, не оперировали, поэтому данный пример несколько лишён смысла.

И у индейцев. У них наскальные чертежи уже были изображены с учётом числа пи в пропорциях

Мне кажется, не совсем правильно сравнивать древних ученых дядечек и современных малышей.)

@@XBOCT_MAMOHTA Тут с вами согласен, у современного школьника больше возможностей получить знания - у древных дядечек такого изобилия не было.

@@Ihor_Semenenko и это тоже.)

Блин, мне этот вопрос во сне приснился, помнид же, что есть хороший способ как можно эту формумлу получить, и тут во сне вспмонил:) √A = x + a A = (x + a)² A = x² + 2ax + a² x>>a => A ≈ x² + 2ax a = (A - x²) /2x √A ≈ x + (A - x²) /2x = (2x² + A - x²) / 2x = (x² + A) / 2x √A ≈ (x + A/x)/2

Так-то они называются арабскими, но цифры к арабам «пришли» из Индии!

почему тебе так не нравится слово система?

@@Maks_888 да, я в курсе. Я не уточнил про Индию, но объяснил почему у арабов не могли возникнуть.

арабскими они называются только у нас и только потому, что европейцы их переняли у арабов. немного видоизменив (повернув против часовой стрелки на 90 градусов). сами арабы не называют их арабскими и они отличаются от наших цифр. тут ничего подтверждать не надо. все и так знают, что арабы используют индийские цифры.

@@Achmd ну это вы понимаете, а большинство обывателей на территории снг думают что цифры именно арабские. Более того, я как то общался с одной кавказской "гюльбинэ", она мне доказывала что именно Ислам дал миру эти цифры.

Например, нужно построить квадратный храм с заданной площадью пола. Ну а математикам пофигу, нужно это или нет, им математика интересна сама по себе. Они просто удовольствие получали.

Город Вавилон - жители вавилонцы. Страна Вавилония - жители вавилоняне.