Как найти предел функции ( x / (x + 2) ) ^ ( 5 x ), если x стремится к бесконечности? Авторские Курсы Dr Nev drnev.com Бесплатные пособия ask@drnev.com #математика #высшаяматематика #предел
Это решается гораздо проще: х/(х+2), обе части делим на х, получаем 1/(1+ 2/х) , обозначим 5х = у тогда х=у/5, тогда 1/(1+2/х) 1/(1+2/у/5) или 1/(1+10/у) и возведя в степень у получим 1/е^10 или е^-10
Ваши примеры очень интересны. Я не математик. Но конкретно эту задачу проще по- моему можно решить в уме через натуральных логарифм, прологарифмировав обе части равенства. Тогда натуральный логариым от искомого предела сводится к 5х*(-2/х)=-10.
Благодарю! Да, хорошая идея, можем ввести замену y=(1-2/(x+2))^(5x) и взять ln от обеих частей этого равенства: ln(y)=5x*ln(1-2/(x+2)). А дальше взять предел от ln(y), имея неопределённость вида ∞*0. Или воспользоваться эквивалентностью ln(1+z)~z (z->0) и заменить ln(1-2/(x+2))~(-2/(x+2)). В этом случае получим lim(x->∞)5x*(-2/(x+2))=-10.
По-моему с самого начало было понятно что бесконечность поделить на бесконечность это единица! И ещё единица в степени бесконечность. Зачем эти преобразования.
даже если интуитивно кажется, что бесконечность разделить на бесконечность - это единица, это не всегда так. например, в данном примере действительно x/(x+2) -> 1 при x -> бесконечности, но 2x/(x+2) -> 2 при x -> бесконечности, хотя неопределенность та же самая, а именно: бесконечность разделить на бесконечность. если вкратце, то бесконечность не равна бесконечности, то есть бесконечность бесконечности рознь :)
Один из стандартных методов работы с неопределенностью типа бесконечность/бесконечность - разделить числитель и знаменатель на x в его наивысшей степени.
почему такой ответ?избавляясь от неопределенности (бесконеч/бесконеч) поделим на x будет (1/(1+2/бесконеч) в итоге получим 1, но разве 1 в степени бесконечность не будет равняться единице?
Дело вот в чем: "бесконечность" в математике - это не число, а понятие. Был придуман ряд операций с бесконечностью по отношению к к числам. Но не весь спектр операций, как между обычными числами. Так, например, к бесконечности можно прибавить число и получится бесконечность. Можно разделить число на бесконечность и получится ноль. Но ряд операций для бесконечности не определен. Так, например, не существует операции "бесконечность разделить на бесконечность" или, что более нетривиально, "бесконечность минус бесконечность". Поэтому результатом таких "операций" считается неопределенность. К неопределенностям также относится и операция "единица в степени бесконечность". А еще нет операции "ноль умножить на бесконечность". Это тоже неопределенность. Вот такая вот эта "бесконечность" :)
было бы все понятно если бы сначала хотя бы был список всех основных типов пределов типа замечательного . а так бац вот замечательный предел , а почему он такой и откуда такое правило не понятно .а это основы
За основами по пределам буду рада видеть Вас на своем авторском курсе Пределы: инструкция по применению Платформа Udemy www.udemy.com/course/drnev_limits Платформа Stepik stepik.org/a/122618 На этом канале разбираем только практические задания!
