But how physics can lead to Euler's formula? 

Очень рад, что понравилось! Сам кайфую от этой визуализации :)

Про связь комплексных чисел и векторов... Меня до сих пор удивляет, как элементарно выводится скалярное и векторное произведение векторов из комплексных чисел (точнее из кватернионов). a·b~-Re(q1*q2) a×b~Im(q1*q2) Если a=[x1, y1, 0]; b=[x2, y2, 0], то q1=ix1+jy1; q2=ix2+jy2. q1*q2=-(x1*x2+y1*y2)+k(x1*y2-y1*x2) Тогда [x1, y1, 0]·[x2, y2, 0]=x1*x2+y1*y2 [x1, y1, 0]×[x2, y2, 0]=[0, 0, x1*y2-y1*x2] Из второй формулы следуют все важные факты о векторном произведении - порядок умножения векторов важен, произведение перпендикулярно первым двум векторам, и действует правило "правой тройки" (или "левой тройки" в левом базисе)

Тише едешь - дальше будешь. От того места, куда едешь :)

таких мноно уже...

​@@nikolaylincoln6339Видео про пугачиху и волочкову тоже много, но их смотрит куда больше народу, потому что там мозг включать не надо.

Рад, что вам понравилось. Непременно продолжу, как будут посещать очередные приступы неконтролируемого творчества :)

Спасибо, воодушевляете. Будем работать по мере возможностей, в первую очередь над собой :)

Спасибо! Очень приятно, что понравилось

Спасибо. Рад, что понравилось!

Изменение радиус-вектора в любой момент времени - это тоже вектор, сонаправленный с вектором скорости (dr = v * dt). Из-за перпендикулярности получается, что вдоль радиус-вектора изменений нет (r * dr = 0). Это хороший вопрос, спасибо!

@@YTRusViewer Спасибо, теперь картина совершенна )))) Через ряды Тейлора круто, конечно - но совсем интуитивно непонятно )))) А здесь - так просто.... )))

@@ИльяВоронов-в1ю есть два типа людей. Одним для понимания нужны формулы на бумаге, другим важно чувствовать процесс на уровне интуитивного восприятия. Обе стороны важны :)

Потому что любая по счету производная и первообразная e^x это она сама

@@mortimerignis2650 то есть, если вместо е будет любое другое число, то при взятии производной скорость не будет равна координате, а значит круг не получится... Спасибо!

Это хороший вопрос! Можете поставить вместо e любое действительное число и повторить действия из видео. В результате поменяется лишь величина скорости, но не её направление. Окружность снова получится, но полный оборот по ней вы сделаете не за 2pi, а за другое время.

@@YTRusViewer спасибо Математика всегда такая красивая, но в то же время такая сложная...

Спиралька тогда получится

На здоровье! Было бы за что :)

Это очень ценное качество - уметь сосредоточиться, чтобы докопаться до истины! Очень рад, что вас так затянуло :)

@@СергейТекинец не согласен с вами. Время осталось действительным, как и было. Мы лишь рассматриваем траекторию двухмерного движения, заданного с помощью некоторой комплексной функции. Один действительный параметр - две координаты. Раз вы вспомнили математический маятник, у него тоже появляется e^it, описывающая траекторию движения во времени.

У Вас видео называется "Как физика приводит к формуле Эйлера". Вот от названия, т.е. от физики, и нужно было танцевать. Вы же сначала вводите комплекснозначную функцию и потом строите свои рассуждения. Движение материальной точки по окружности прекрасно описываются действительным параметрами. Зачем понадобилось огород городить? А вот простейшее дифференциальное уравнение с ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ членами, описывающее колебание груза на пружине, в вещественных числах уже на решается. Требуется извлекать корень квадратный из отрицательного числа. Полученное новое число имеет реальный физический смысл. Ну или новый сорт чисел для описания реальных физических явлений.. Кстати, выражение e^it -- это абсурд полнейший, если под параметром t понимать время, а не безразмерное число. В математическом маятнике всё выглядит чуть по-другому.

На мой взгляд, ответы на ваши вопросы можно найти в видео, пересмотрите его, пожалуйста. Исходные пункты: i^2=-1, траектория движения e^(it) - это некоторая функция времени, значение которой известно только при t=0. Комплексные координаты - это другая запись обычных координат. Формула Эйлера получилась в результате рассуждений.

Нет, не использует, никакого порочного круга нет. Да, он, собственно, не дал конкретного определения этого понятия. Но зато опирался на 3 важных утверждения: 1) e^(ti) = 1 для t = 0; 1) для остальных t число e^(ti) ПОКА ЧТО является хуй пойми чем, которое ХУЙ ПОЙМИ как вообще нащупать; 3) ПРОИЗВОДНАЯ, которая равна ie^(it).

Нет, я, конечно, понимаю, чего тебя так заботит, чтобы дали конкретное определение. Чтобы было вообще понятно, с ЧЕМ мы работаем. А то работаем с каким-то хуй пойми чем. Потому что ЧТО ВООБЩЕ ТАКОЕ возвести в мнимую степень, это какая-то жуткая ёбань. Но чел совершенно справился с задачей и без твоей душноты. Потому что он в конце полнейше раскрыл, ЧТО ТАКОЕ мнимая степень.

Да, с помощью manim.community

Посмотрите видео полностью, там всё обоснованно

Чтобы менялся радиус (или модуль комплексного числа e^it), аргумент it должен иметь ненулевую действительную часть. То есть, время должно стать комплексным, а не действительным :)

Комплексное время? В физике нет такого понятия.

@@timurzhakeyev5149 поэтому радиус по модулю и не меняется :) Из вашего исходного вопроса я понял, что вы хотели увидеть спираль в плоскости комплексных чисел, типа x + iy = t * e^it Если же вы хотели увидеть винтовую линию в трёх измерениях, как показывают в ряде анимаций, то нужно добавить равномерное движение вдоль третьей оси. Параметрически её можно задать так: x+iy = e^it, z=t, время t -- действительный параметр. При этом радиус вращения остаётся неизменным и равным единице.

@@YTRusViewer это вроде развернутой синусоиды при демонстрации физического маятника когда равномерно тянут бумагу под маятником на котором закреплён самописец?

@@timurzhakeyev5149 да, именно так. При этом вы как бы смотрите на винтовую линию сбоку, скажем, со стороны +x, и видите чистый синус y(t) = Im[e^it] = sin(t).

Где-то ниже есть развернутый ответ на комментарий, аналогичный вашему. Действительно, у нас принято ударение на второй слог. Но я не суровый математик, поэтому спокойно отношусь к обоим вариантам. Для меня существенно важнее, что вы поняли, о чём речь :)

Если это утверждение, то оно верное :)

@@YTRusViewer а вот так и попадаются программисты)

@@lerarosalene без программирования в наших делах никуда :)

Очень рад, что вам понравилось. По поводу ударения, оба варианта всегда воспринимал спокойно, и даже более приятно ударение на первый слог, созвучно с английским complex. Также отмечу ряд источников, указанных в Википедии, в которых термин комплексных чисел приводится с двойным ударением. Как творог и одновременно ;)

Ох, французы - страшная сила ;)

да насрать всем

@@КириллБезручко-ь6э пшёл отсюдова.

@@MinecraftForever_l мешаю быть душнилой ебаной?

@@КириллБезручко-ь6э я уже по-моему всё сказал.

@@MinecraftForever_lда насрать всем

Можно начать и с таблицы умножения. Главное знать, зачем :)

@@YTRusViewerчтобы понять формулу Эйлера😅

Главное не смотрите другие видео с этого канала, там вообще лютая дичь :)

И где тут бред? Можно поконкретнее?

@@Alexey.439 он еще не придумал

@@КириллБезручко-ь6э жаль, а то я то думал, он сейчас как укажет на ошибку, которую никто до него не замечал, и продвинет математику вперёд.

@@Alexey.439Такое ощущение, что само непонимание, ЧТО ТАКОЕ возвести в мнимую степень, как эту операцию ПОНИМАТЬ.

i и -i

@@agrd6762 ы-ы-ы 😃