Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы, r = (a+b-c)/2. Площадь S = r*P/2. Отсюда r=2S/P=2. Значит, a+b-c = 4. В то же время a+b+c=P=30. Вычитаем первое уравнение из второго, чтобы сократить a и b; получим 2c = 26 и c=13. Всё.
Дано: P = 30 S = 30 =========== Решение: S = (1/2)•ab => ab = 60 P = a + b + c => a + b = 30 - c P = a + b +c => c = [30 - (a + b)] => c² = [30 - (a + b)]² c² = 900 - 2•30•(a +.b) + (a + b)² c² = a² + b² a² + b² = 900 - 60•(a + b) +a² + 2ab + b² 60•(a + b) = 900 + 2• 60 60•(30 - c) = 1020 30 - c = 17 c = 30 - 17 = 13 c = 13
Алгебраическое решение (система из 3-х уравнений) полностью повторяет вариант г-на Щетникова только без всякого чертежа. Ну, а метод через радиус вписанной окружности безусловно хорош!
Ничего не скажешь, кроме того, что оба решения красивы! Как жаль, что эту красоту осознаёшь так поздно... А молодым- трава не расти- даже ни грамма заинтересованности, к сожалению, сколько ни стараешься им объяснить...
По теореме о том, что в прямоугольном тр-ке r=p-c (доказывается легко - там образуется квадрат), откуда площадь pr=p(p-c) → 15(15-c)=30 → 15-c=2 → c=13. r - радиус вписанной окружности p - полупериметр c - гипотенуза
Красота! Я решал алгебраически, находил сначала катеты. Выразил гипотенузу по Т. Пифагора приравнял периметр и площадь через неизвестные катеты, радикал влево, остальное враво, возвёл в квадрат, привёл подобные получилось xy( xy/4 - x - y + 2)=0 xy/4 - x - y + 2=0 xy/2 = 30 по условию 15-х-у+2=0 или у=17-х ху/2 = х(17-х)/2=30 х^2-17х+60=0 по Виета (х-5)(х-12)=0 Откуда очевидно катеты равны 5 и 12 соответственно. Гипотенуза = 13 по Пифагору или как египетский треугольник, что больше нравится 👍
А я даже старика Виета привлекать не стал (мозги тупят к концу рабочего дня), а тупо посчитал по формуле. Благо вычисление Sqrt(289 - 240) труда не составляет. А вообще, каждый раз, когда я вижу такого рода задачу, вспоминаю исторический анекдот про Декарта, которому задали известную задачу о двух пешеходах, двигавшихся навстречу друг другу) и мухе, которая летала между ними, пока пешеходы не встретились. Декарт неандолго задумался и выдал правильный ответ. -- Я так и знал, что вы догадаетесь, -- сказал человек, задавший задачу. -- До чего догадаюсь? -- удивился Декарт. Оказывается, он вовсе не догадался, что можно умножить скорость мухи на время, через которое пешеходы встретились, и тем самым получит расстояние, которое пролетела муха. Вместо этого он составил в уме числовой ряд и нашёл, к чему этот ряд сходится. Я не Декарт, с числовыми рядами в уме обращаться не могу. Но в данном конкретном случае взять систему из двух уравнений с двумя неизвестными, выразить одну переменную через другую, подставить в другое уравнение, свести его к квадратному уравнению, получить катеты треугольника как корни квадратного уравнения и вычесть из периметра сумму катетов оказывается намного быстрее, чем найти простое красивое решение. Хотя немного жалко, конечно: технологизация убивает красоту
Оба классные решения, браво!👏👏👏 Я решил еще проще. Так как и периметр и площадь целые числа, значит длина сторон треугольника с большой вероятностью тоже целые числа. Причем множество двух этих чисел равно 60. Берем пары чисел для этого равенства, например 12 и 5, 10 и 6, 20 и 3. Вычисляем через периметр гипотенузу и потом проверяем все стороны через теорему пифагора.
Алгебраический метод: пусть а и б - катеты, с - гипотенуза. Запишем систему уравнений, где ab/2=30, a+b+c=30, по теореме Пифагора a^2+b^2=c^2. Первое уравнение домножим на 4 и получим 2ab=120, из второго уравнение выразим a+b=30-c, третье уравнение запишем в виде формулы сокращенного умножения квадрата суммы предварительно вычтем 2ab чтобы не менять структуры уравнения. Тогда получим (a+b)^2-2ab=c^2. Подставим первое и второе в третье уравнение: (30-с)^2-120=c^2. Раскроем скобки, приведем подобные откуда с=13. upd.: в принципе почти так и было в данном видео :)
В прямоугольном треугольнике есть интересное соотношение S = p(p-c); (p - ПОЛУпериметр, в этой задаче p = 15) Связно оно с тем, что радиус вписанной окружности равен r = (a+ b - c)/2 = p - c; или, что радиус ВНЕвписанной окружности к гипотенузе равен p, можно и так. Первое утверждение знакомо любому школьнику. Если теперь подставить, то 15(15 - с) = 30; c = 13;
Как решают эту задачу Алексей и Андрей: строят квадраты, окружности и т.п. Как решаю я: О, у треугольника 5-12-13 такая же площадь! Надо проверить периметр. О, сошлось! Ответ: гипотенуза равна 13.
S = 30, P = 30 имеем систему уравнений: a + b = 17 ½ a * b = 30 ⇒ a * b = 60 решаем дальше систему и получаем следующее: b = 17 − a a² − 17a + 60 = 0 корни второго уравнения: 5 и 12 - это и есть длины катетов треугольника..
Здравствуйте. Вспоминаю свой 4-й класс из молодости, снова за партой, снова разинув рот. Всегда людей привлекали геометрические задачки, особенно с треугольником, может мозг так "развлекается".? Каналу- лайк.
Катеты я сразу нашёл.... Почти Я пошёл иным путем Раз площадь равна 1/2 от произведения катетов то а* b=60 Тут появляются варианты со сторонами 5 12 и 13 чт в итоге и верно 10 6 и 14 ну и другие варианты есть тоже Найти верный ответ помогла теорема пифагора. 25+144=169
Очен спасиба!1 Я из Болгария , также извините за мой булгаро-рускии...А сеичас усльшате моя задача--Толька с три единакивае цифри и внсю математику ,включая и операция синус , получите равенства 24. Задача имеет несколка решения , ну найдите поне три... Спасиба!!!
Я сделал так. Вписал окружность в треугольник, и нашёл по формуле r=2. Также формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник это (a+b-c)/2. Отсюда a+b-c=4 Далее лично я подбирал такие числа, где a*b=60, потом находил по a и b по теореме Пифагора с и проверял формулу а+b-c=4. У меня сошлось довольно быстро, что a и b это 5 и 12, а с=13
@@user-yu2ml6zx5k почему-то, когда лень думать, идёшь напролом. Лично мне пришло в голову решить через систему из трех уравнений, потому что, во-первых, лень думать, во-вторых, геома плохая
Боже. Я пол тетрадки исписал перед правильным решением. И мой способ отличается. Я решал через систему. Первое уравнение вывел из теоремы Пифагора(x^2+(60/x)^2= y^2, где х - это катет, а y - гипотенуза), второе из периметра(30-x-(60/x) = y, где x - катет, а y - гипотенуза). Упростил, методом подстановки решил. Получил квадратное уравнение. Из него выяснил, что катет может быть как 5 так и 12. А гипотенуза везде равна 13)
Задачу решил графически. Так как треугольник прямоугольный (х × у) ÷ 2 = 30; х = 60÷у; х + у + √(х²+ у²) = 30. Графики пересекаются в точках (5;12) и (12;5), Значит 12² + 5² = z²; z = ±13. Условию задачи удовлетворяет z = 13. Ответ: 13
Я сделал это методом подбора т. к у нас треугольник прямоугольнвй то его площадь равна половине произведения катетов а значит произведение катетов равно 60 , далее я выписал все делители числа 60 и оказалось что только 5 и 12 удовлетаоряют тому что произведение их это 60 а их сумма при вычитании из 30 даёт цифру которая болише каждого из катетов по отдельности
А я, тупо, подобрал. Дорисовал треугольник до прямоугольника, площадь которого равна 60-и. А это либо 6×10, либо 5×12. 6×10 не подходит, а вот стороны 5 и 12 как раз в сумме квадратов дают 196, что является 13 в квадрате.
13. Катеты 5 и12. Можно просто в лоб. Площадь прямоугольника должна быть 60. Берём 4×15. Проверяем: 4×4+15×15=241 корень из 241 чуть больше 15-ти складываем 15+15 уже 30, а ещё 4. Не подходит берём вторую пару: 6 и 10 проверяем 6×6+10×10=136. 11
Здравствуйте! У меня такой вопрос, давно ищу на него ответ. Думаю вы мне сможете помочь. Я не физик и грамотно объяснить вряд-ли смогу, но постараюсь. В свободное от работы время изготавливаю ворота. У ворот верхняя часть дугой, я ее гну сам на станке. К примеру, беру я прямую профильную трубу длиной 4 метра, назовем концы трубы А и Б. Пропускаем через станок, гнем дугу. Высота дуги по центру возвышается на 20см по отношению к ровной плоскости. Вопрос, на сколько сокращается длина трубы от точки А до точки Б в прямой плоскости? Наверное теперь она будет называться ширина дуги..
называется хорда в уме вычислить не получилось (25 лет тому школе прощай), както через квадрат треугольника, образуемого гипотенузой равной радиусу, первого катета равного разности радиуса и 20, второго катета равного половине искомой хорды. радиус можно вычислить через связку: длина дуги равна произведению двойного радиуса насинус половины угла сектора, образующего дугу не уверен в правильности, но 200 получилась хорда
Пусть a, b - катеты, c - гипотенуза; тогда a^2+b^2=c^2 (1). {(1/2)ab=30; a+b+c=30}; {2ab=120; a+b=30-c}; Обе части второго уравнения возводим в квадрат: (a+b)^2=(30-с)^2; a^2+2ab+c^2=900-60с+с^2. Учитывая (1) и первое уравнение системы: c^2+120=c^2-60c+900; 60c=780; c=13.
Возвести в квадрат обе части заменить сумму квадратов катетов на квадрат гипотенузы а произведение катетов на удвоенную площадь треугольника и получим что гипотенуза 13
Площадь треугольника = произведение катетов/2. Произведение катетов = 60=2×2×3×5=12×5. Гипотенуза = 30-12-5=13. Проверка: 13^=12^+5^=169=144+25. Задача решена /устно/
Ну есть долгий, но уверенный способ a2+b2=c2 a+b+c=30 ab=60 60/b+b+c-30=0 b2+(c-30)b+60=0 c2-60c+900-240=c2-60c+660 b=(30-c+√(c2-60c+660))/2 3600/b2+b2=c2 b4-c2b2+3600=0 c4-14400 b2=(c2+-√(c4-14400))/2 2(c2+-√(c4-14400))=(30-c+√(c2-60c+660))2 900+c2+c2-60c+660-60c+2(30-c)√(c2-60c+660)=2(c2+-√(c4-14400)) -60c+780=+-√(c4-14400)-(30-c)√(c2-60c+660) Ну а далее в калькуляторе получим 13
долго разглядывал во втором способе про две гипотенузы вторую гипотенузу и что есть х и откуда он взялся, начал писать разгромный комент. Однако, я допер, что такое х в решении. х - отрезок, состоящий из отрезков с одним и двумя штрихами, что есть длина гипотенузы большого треугольника, и есть еще два отрезка с такой же длиной в его катетах, что в сумме даст такую же длину, что и гипотенуза. явно оратор слишком хорошего мнения о зрителях - на видео этот момент самый просматриваемый, видимо, это не для всех очевидно. было бы неплохо полет мысли излагать более подробно.
Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, необходимо составить систему уравнений: допустим катеты равны в и с, тогда в^2+с^2=169 в+с=30 Решая данную систему выражаем из 2-го уравнения в=17-с и подставляем в 1-ое уравнение, получаем 289-34с+2с^2=169. Приводим подобные с подобными, получаем квадратное уравнение: с^2-17с+60=0 По теореме Виетта получаем: х1+х2=17 х1*х2=60 Находим корни уравнения 12 и 5. Следовательно, катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5 единицам. Ответ: 12 и 5