Как по мне, можно гораздо проще (без догадок). Во-первых, понятно, что все члены положительны. Пусть b_n = 1/a_n Тогда b0 = 1 и реккурентная формула приобретает вид 1/b_n+1 = (1/b_n) / (1 + n/b_n) = 1/(b_n + n) => b_n+1 = b_n + n Ну а дальше анализируем, что же это за последовательность такая. b_n = b_n-1 + n - 1 = b_n-2 + (n - 2) + (n - 1) = … = b0 + (1 + 2 + 3 + … + (n - 1)) То есть, b_n = 1 + (n-1)n/2 Ну и тогда a_n = 1/(1 + n(n-1)/2) = 2 / (n^2 - n + 2)
Согласен, пожалуй, вернее было бы из данного доказать то, что мы и хотели получить Но тут я лишь воспользовался тем, что уже имеется информация об n+1 элементе В иных случаях, будет уместнее поступить так, как Вы сказали :)
