Ряд Фурье для функции x^2 и нахождение суммы трех числовых рядов. 

на канале есть видео, где все значения дзета-функции при целых чётных аргументах ;)

Коэффициенты а и b показывают какую часть тот или иной sin/cos имеют в изначальной функции. Если же просуммировать все sin и cos, то мы учтем все составляющие, а значит получим ровно эту же функцию на заданном интервале.

спектр это. А геометрически это проектирование в простанстве гильберта. Как вы ищете проекцию вектора на ось в школьной геометрии так же вы ищете проекцию функции на базисную ось в пространстве функций (осями являются sin (nx) и cos (nx) ). А в пространстве функций скалярным произведением (то есть аналогом косинуса угла между векторами) является интеграл в разложении Фурье.

да, я еще в других русских книгах такое название встречал. В википедии так: en.wikipedia.org/wiki/Parseval%27s_theorem Мне на самом деле без разницы как называется, главное чтобы большинство людей понимало о чем именно идет речь

@@Hmath а Вы где учитесь, или что заканчивали?

в обычном российском вузе

Попробовал сделать это самостоятельно, и это действительно дало результат π⁴/90, с тем лишь исключением, что по пути нужно было найти сумму ряда обратных квадратов, которую я принял за известную величину 😅. Способ классный. Спасибо!!

вот здесь обобщение на все ряды вида 1/n^(2k) (т.е 1/n^2, 1/n^4 и т.д): ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-yPcb8aDzLf4.html

@@Hmath да, я видел это видео, я ваш давний подписчик, сейчас пока лето, пересматриваю видео, стараюсь перед просмотром решить самостоятельно и после просмотра как-то анализировать полученное и пытаться применить куда-нибудь ещё в качестве упражнения.

все суммы вида 1/n^(2k) (т.е с четными степенями) можно найти. Есть такое видео на канале: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-yPcb8aDzLf4.html а суммы вида (-1)^n/n^(2k) можно выразить через соответствующие суммы 1/n^(2k) в комментарии я это, наверно, не опишу. Но во тут, например, показано, как выразить сумму 1/n^2 через 1/(2n+1)^2. Это может навести на идею, там буквально пару шагов до того, чтобы от 1/n^2 перейти к (-1)^n/n^2, и для 4ой степени тоже аналогично можно сделать. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-yrTqLOUYSvM.html

@@Hmath а правильно ли я понимаю что все суммы рядов (1/x)^n сводятся к значению a*pi^n, где а - рациональное число?

@@dftony все суммы вида 1/n^(2k) (т.е с четными степенями) сводятся к значениям a*pi^(2k), где а - рациональное число

@@Hmath просто по ощущениям степень пи для подобных сумм выступает неким аналогом размерности. Даже интересно посчитать суммы для нечетных степеней и разделить их на pi^n, получится ли нечтотпохожее на рациональное число?

@@dftony а как посчитать-то? :) если просто приближенно вычислить значение суммы ряда с какой-то точностью, и дальше приближенно разделить на пи в какой-то степени (тоже ведь только с какой-то точностью), то как можно по приближенному ответу сказать, что это рациональное число? :) Так при любом приближенном вычислении получается рациональное число ведь :)