√2が無理数であることの2つの証明 

①では証明の過程に「p,qが互いに素」という条件を利用いていないのに最後だけ「p,qが互いに素」と矛盾すると結論づけているところもモヤモヤ感が残るんですよね。 いや「p,qが互いに素」という仮定が矛盾するならその条件を除去して証明を始めてもええやん。それでも最後までたどりつけるやん。的な…。

@@user-kq9vd8rr5v 背理法の意味わかってます？　矛盾を出すために計算しているんですけど……。

@@user-jr6er3ts9y 「p,qが互いに素」という前提を置くことによって矛盾が生じる、というなら背理法ですが、証明の過程で「p,qが互いに素」ということを何ら使っていないのに「『p,qが互いに素』に矛盾する」と結論づけることに違和感があると言っているのですよ。

@@user-kq9vd8rr5v p,q互いに素の前提がないと、p,qがともに2の倍数でも何の問題もないことになって背理法の証明できませんよ？

@@user-kq9vd8rr5v √2を有理数と仮定した時に、これを既約分数として表す（公約数があるときは約分できるから、有理数はいつでも既約分数で表せる）と、互いに素である整数p,q（p≠0）を使って√2＝q/pと書けて、この等式から②、③が導かれ矛盾するという議論であり、　p,qは互いに素であるという条件は√2が有理数であるという仮定から導かれるため除去できない、ということではないでしょうか。

あなたのコメントでようやく理解しました、ありがとう。

ええと、2p^2=q^2 だから左辺に２が現れている以上、右辺には必ず２は最低１個含まれているはずなので、p^2は最低２個以上の２の冪を含むと解釈できます。０個はあり得ませんよ。それだと等号自体が成り立たなくなります。

ミカエル剣 等号成り立ってないから背理法で証明できたんじゃないかな

ミカエル剣 は？

ミカエル剣 僕もそう思うんですけど違うんですか？

「素因数分解の一意性に矛盾するので」の方がいいと思います。

佐藤光一 もう少し詳しく考えを示していただけるとありがたいのですが、一つ言えるのは「因数√2」とおっしゃっていますが、√2は有理数であって整数とは限らないので√2は因数と捉えられないという事です。

Masaki Koga 返信ありがとうございます。 「p=1でないことは明らか。」みたいなことが一言あると良いということでしょうか。 整数とは限らない→整数かもしれない と思ったという感じです

表現できないから無理数なんです それが無理数なんです

2p²=q²のところで、左辺に2が表れているので、そこに着目した方が良いです 例えばここで3に着目しても、pとqがもつ素因数3の個数が一緒かもしれなくて、この時は何も情報が得られないですよね

偶数個持つ，というのは「0個持つ＝持たない＝奇数である」というのも含んでいます．誤解の生む表現であったのは申し訳ないです．

素因数2ではなく例えば3であってもどっちみちq^2に素因数2を奇数個含んでしまうことになりますよね？

@@user-oz9we5ws4t √3の時であれば、“３に焦点を当てて(今回で言う２を３に変えて)議論する”ことになるとは思いますが、√2の証明で３に焦点を当てて考えるのでは、矛盾を導けないのでは？

@@to-po4268 具体的に言えば、例えばp＝(2^m)n(ここで、mは任意の自然数か0、nは2を素因数に持たない素数か合成数)のとき、 2p^2＝2((2^m)n)^2 　　＝2((2^m)^2)(n^2) ＝(2^(2m+1))(n^2) で2p^2は素因数として2を奇数個持つことになる。 同様の議論が素因数分解の一意性からp＝(q^m)n(ここで、qは任意の素因数、mは任意の自然数か0、nはpを素因数に持たない素数か合成数)のとき、 2p^2＝2((q^m)n)^2 　　＝2((q^m)^2)(n^2) ＝(q^(2m+1))(n^2) で2p^2は素因数としてqを奇数個持つことになる。 で、いかがでしょうか。

指数がかける2されるから

僕は中学生なので詳しくはよく分かりません。 とりあえずあなたのコメントを見て思ったことを書きます。 間違っていたらご指摘ください。 素因数を用いる証明では①の部分の式が用いられています。 ですが「q^2:2の倍数⇒q:2の倍数」は含まれていません。 そのため左辺と右辺を「2m+1」と「2n」に表せられないのではないでしょうか？ それとその証明は動画内で紹介されていた教科書の証明と内容が同じではありませんか？ 以上です。間違っていた時はすみませんm(__)m

ゆうゆう 左辺と右辺の「2m+1」と「2n」は素因数の個数です。仮にp、qの素因数の個数をm、nとおいたとき、p^2の素因数の個数が2m個、q^2の素因数の個数が2n個になるので2p^2は2m+1個になる、ということです。また私が言及している証明とこの動画の証明は異なっていますよ。高校1年の範囲ですので仕方がないですが

チクソン なるほど。そういうことか。 完全に僕の理解不足でした。丁寧にご説明ありがとうございます。 自分は数学が好きでふと疑問に思ったことが解決されて今とても嬉しいです。 P.S.そうなると「素因数分解の一意性に反する」というのは「平方数は素因数を偶数個持つという性質に 反する」という意味になるのでしょうか？ もしよろしければお教えください。お願い致します。

ゆうゆう こちらこそありがとうございました。「素因数分解の一意性に反する」とは、2p^2=q^2という等式が成り立っているのにもかかわらず、左辺の素因数の個数がが偶数個、右辺の素因数の個数が奇数個になっている、つまり2通りの素因数分解ができてしまっているということです。素因数分解はたった1通りにしかできないため、定義に反しているということです。

チクソン ようやくあなたの証明を理解できました。 本当になるほど、の一言に尽きます。全くお恥ずかしい限りです笑 確かに2通りもの素因数分解ができるはずがありませんね。 勉強になりました。こんな僕にとても分かりやすく説明して下さり 本当にありがとうございました。

【素数の基本性質より、p×pが素数2の倍数⇒pまたはpが2の倍数 ∴pは2の倍数 】 ともいける

@@ddkk9583 それを証明してるんですよ

√2はひとよひとよにひとみごろなので無理数

@卓 【abが2の倍数ならばaまたはbが2の倍数】というのは定義ではないので，結局証明が必要ということが言いたかったのです． もちろん素数の基本性質ですけど，基本性質である以上証明できますからね． 証明は結局コメント主さんのものとほとんど同じになると思います．

@卓 倍数の定義はそれで良いと思いますが，結局どうやって ab＝2k（k：整数） から【 a または b が2の倍数】を証明しますか？ 私は結局コメント主さんの証明になると思うのですが．

解法暗記だけでは限界があると思いますが，解法暗記もある程度はしなければ実力はつかないはずです． 僕は数学というのは経験の学問だと思っていて，受験数学というのも様々な問題を解くことを通じて「こういう対象はこういう扱い方をするといいんだな」っていう「数学の感覚」をたくさん例を見て，より難しい問題に挑む性格があると思うのです． 具体的にどのようにされているのかはわかりませんが，ちゃんと理解していれば問題ないと思います．解けない問題にぶつかっても諦めないでしっかり考えるようにすれば，思考力は鍛えられるはずです．これから様々な問題に当たるといいと思います．

Maßaki Koga 返信ありがとうございます。なるほど、奥が深そうです……。そりゃある程度の解法を知らなきゃ何もしょうがないですね。とりあえず今のやり方で行ってみます。ありがとうございました。これからも動画楽しみにしてます。

M6 UTokyo 横から失礼しますが、理解の深さの問題だと思いますよ。たとえば今回の問題の教科書の方の解法について、√2p=qを二乗していましたが、二乗した理由は、「この後の『左辺は2の倍数よりq^2も2の倍数』〜『②,③はp,qが互いに素であることに矛盾』までの流れまで全て頭に浮かんでいるから」ではなく「√2は途方も無い小数で有理数か無理数かも判別がつかなくて、p,qの条件を絞れないから」だと思います。 全ての所作に「この後の流れまで頭に浮かんだから」以外の理由がつけられたら覚えなくても次は解けると思います。

1は素数ではないので、「素」因数にはならないのかもしれません。

@@user-to2uq8ze5e なるほどです。

@@sylpheed9 明らかなミスです。　「１以外の」というべきでした。この方独自の証明を見たかった。他にもいっぱい証明の方法はあるから。。期待はずれかな。

僕中３ですけど完全に理解できました。 説明が分かりやすいですし話している内容もそこまで難しくなかったので。 数学ってやはり面白いです。解へのアプローチが無数に存在するのだから。

nick okita 中1だけど小学生の時から高校数学とかはかじってたからこんなの常識だった

√2=q/pと表すことができたのは「√2が有理数である」としたからです。 pとqが互いに素であるということに矛盾が生じるということは「√2が有理数である」という仮定が間違っているということです。よって√2は有理数ではない、つまり√2は無理数であるということです。

アルトリウス騎士 大体は、わかりましたが互いに素でなくても、有理数であることは、変わらないんじゃないか、と思いまして、これは、どう考えればいいでしょうか？

ひとつのピース √2が有理数であるとすると分数の形にすることができます。分数で表すことが出来るのであれば分子と分母が互いに素である状態まで約分で持って行くことができます。 つまり有理数は絶対にq/p(pとqは互いに素)と表せるということです。 ですが√2=q/pを変換などしていくとpとqは共に2の倍数、つまり公約数2を持っていることがわかります。 有理数であるならば互いに素であるpとqを用いてq/pと表せるはずなのに、pとqは互いに素ではない。であれば有理数ではないということです。 僕も高校1年生なので分かりづらく的を得ていない答えかもしれません。長々と失礼しましたm(_ _)m

なんか難しそうなこと言ってるけど√2=p/q（p/qは既約分数） ここでいう既約分数っていうのは整数の範囲で既に約分しきった分数のこと。 例えば3/2 これは3と2が互いに素です。（既約分数） これが6/4 これは2で割れますよね。6と4はそれぞれ2を共通因数に持つから互いに素とは言えない。（既約分数でない） まとめると、既約分数（割り切った分数）は共通の因数をもたないから互いに素であることが保証されるってこと。

素因数2を「偶数個もつ」と言ってるので、持たないときも「素因数2を0個もつ」と言い換えられるからですね。0は偶数です。

西島智大 「素因数の個数が、左辺と右辺で一致していないから…」だけを謳っても左辺と右辺で一致しない根拠はどこにあるのでしょうか。 その根拠こそが素因数2の偶奇です。 ですから、今回においてこの着目は必要です。

松田翔太 なぜ２の遇奇により一致しないとわかるんですか？そこってなぜ証明省けるんですか？

素因数の数なんて分からないとおもうのですが。

なるほど

最初の式で√2は整数でないからpは1でないとすれば 両辺2乗した式で2が整数であることと直ちに矛盾をだせます。

確か動画中でも言った気がしますが，素因数分解の一意性は，整数論の基本的な定理なので証明しなくて良いです．（受験数学における問題は素因数分解の一意性を用いるものが多々あふれています）

返信ありがとうございます

逆に、「p^2が2の倍数ならpも2の倍数」を使ってはいけないのなら、「平方数なら素因数を偶数個もつ」も使ってはいけない気がするのですが、

p^2が2の倍数ならpも2の倍数を、平方数なら素因数を偶数個もつで、示せますね。

@@bromobenzenecute716 そうなんですか？

寧ろ高1でこの内容に触れられた事を幸運に思えば如何かな？

これは解法を覚えたほうがいい 何もないところから思考するのは凡人には難しいから、理解からの暗記をして、色んな常識が身に付けば、ある程度の問題は解けるようになるし、入試は解けなきゃいけない標準問題が解ければ合格できるから

どうだろう…気になる

平方数はあくまで整数として定義されているので，整数でないことは証明できますが，有理数であるかの証明としては十分性が保たれていないと思います。

Patricia Mara 頭の良い人がイケメンに見える病気か何かですか？

@@user-jc4rl9ts5s 頭の良い人はカッコイイよ

古賀さんではありませんが、90=6×15みたいに分解するとパッと頭の中でできますよ！

10の倍数の時は3^2(2×5）ってやれば頭の中でできます

1/2を2/4とか6000/12000って書かないのと同じでは？

あ、0は偶数でした、すみません

右辺で(素因数2を)偶数個持つから左辺も偶数個持つ そうしたら2p^2で偶数個、p^2で奇数個持つとなる しかしp^2は平方数なので偶数個持つはずだ ここで矛盾が起きる と捉えるのもいいかと…

q^2が2個持つ時点で等式を成立させるならp^2も1個は持つ ここで平方数の性質上p^2は2個持つってことじゃないでしょうか？

この動画に限って言えば、pとqは0ではないので素因数2を0個持つってことは起き得ないと思います… ただ、平方数の素因数を偶数個も持つという性質を考える上ではその偶数個という枠の中には0個というのも含まれています！

田中太郎 p,qが奇数であれば、素因数2を0個持ちますよ

そうですよね。素因数分解の一意性の証明はそんなに易しくはないのです。つまり、よい定理を使えば簡単に証明できるわけです。ルート２が無理数であることの証明は、素因数の分解の一意性よりは易しいのです。ですから、このお話は試験のときにどうかくかという問題なのでしょう。

素因数の個数について、偶奇の議論をするので、問題ないと思います！ 3p^2=q^2 ⇔3p^2は素因数3を奇数個、 q^2は素因数3を偶数個もつ。

同値ではなく必要条件ですね。

もかぶ 失敬 メモ程度にコメントしました

mじゅんぺ なぜ偶数個存在することが、持つことになる？ 0個持つと偶数個であると言うのは同値であり、素因数2を持たないことにも同値である。

berserk Kings なるほど！分かりました ありがとうございます

berserk Kings さん 正論ですが、今回の場合は左辺が２の倍数、よって右辺にも２が最低因数として１個は存在し、平方数であることから因数２の数は２以上の偶数個になります。今回に限っていうと、０個はあり得ませんよ。間違った解釈になります。

ミカエル剣 色んな所でそれ言ってるけど普通に間違っとるでww 誤った解釈する人増えるからやめたれや 背理法理解してる？

@@ch-gp6rx それな。しかも上のこの人のコメントにGoodついてんのも怖い

ぬさもとりあえず ここまで同じって一度書いたからいいんじゃない？？

なんで？

翔子さんかわいい

＝で結ばれているので同じ数を表しているんですよね。なので片方が二の倍数の場合両方二の倍数とわかります

1が1であることの証明は必要ですか？と同じニュアンスの質問ですよ？自明なものは証明に用いて良いのです。

全然ちがいますよ。 もしこれが自明なら、√２が無理数であることも自明になります。 証明問題で、自明は禁句です。

あい 全く同じこと書こうと思ってたら、やっぱりありました笑笑

一意でなくてもでなくても成り立ちますよ！可換なので！

素因数分解の一意性を証明しなければ基本的には使ってはならないと思います。 凄い長くなりますけどね。笑

赤チャートなんてやってんのかバケモンだな、離散ですか？

あるあるふぁ 冴えない工学部の皮を被った数学好きのエセ数学徒です笑

なまけたろう 僕自身は何回もやっているのでこの場合は互いに素の仮定が必要で、時としていらない場合もあるということを知っているんですけど それを伝えきれなかったというのは教える側として足りなかったです。ご指摘ありがとうございます、申し訳ありません。

誠実なお返事、有難うございます。陰ながら応援しています。

うなくーる はい、その場合素因数3に着目することになりますね

Masaki Koga 素早いお返事ありがとうございます( ¨̮ )

u kana (¨̮)

というかルートの中身が何であろうと通用しそう (4、9、16とかの平方数は当然除くとして)

隙間日和 大丈夫か？

算数で√使うってどこの小学校ですか

右辺がここで言う『素因数2』を持っているか否かで偶数個か奇数個か変わるからどうすんねやろな