I like the geometry proof. There are 2 small errors: Z=(i theta) should be Z=e^(i theta). Also [delta e^( i theta)] should be iZx(delta theta), not iZ .
個人認為，用泰勒展開證明歐拉公式，沒有什麼不對，甚至比較理想。在這視頻，我們用這句話開始說明為什麼把 e^it 定義為 cos t + i sin t：假如 e^x 的微分公式用在複數時還是對的。這裡有個假設，所以得到結論是我們該把 e^it 作這定義。 但為什麼我們要做這假設？如果用泰勒展開開始，我們便會先說如果 x 是實數，e^x、sin x 和 cos x 有這樣的泰勒展開公式。之後我們就可以做這樣的假設：假如 e^x 的泰勒展開對於複數是對的。後面的事便可以想像：e^ix 的展開跟 cos x + i sin x 的展開一模一樣。 畢竟，在我們作定義之前，e^x 對於複數 x 並沒有意義，所以我們沒有理由說我們只能對實數的 e^x 作某種擴展。實際上，就是因為用不同的方式擴展 e^x，大部分時間結果都是同樣的歐拉公式，所以這個公式才會被信服。 最後，為什麼我比較喜歡用泰勒展開定義複數冪函數？因為這明顯不會出現矛盾。我就是把 1+z+z^2/2+z^3/3!+... 說是 e^z 的定義，你總不能說我錯，只能看我之後可以導出什麼結論。相反，說假如 e^x 的導數在 x=it 的情況下成立，我們還要想怎麼自圓其說，保證這樣不會在什麼奇怪的地方出現矛盾。 話雖如此，我跟我家（當時）十一歲的小孩說這事時，是先用導數定義的，因為當時他未懂泰勒展開！
