【図形問題】簡単！？三平方の定理を使わずに出来る！？ 【楽しく算数#10】(Geometry) 

CからDEに対して垂線を下ろし、その交点をFとする。 同様にAからDEに対して垂線を下ろし、その交点をGとする。 △EFCは正三角形の半分なのでEFの長さは1。DFの長さはDE－EFで3。 △DFCと△AGDが合同なのでAGの長さはDFと同じになり3となる。 △AEDは底辺（ED）が4で高さ（AG）が3になるので、面積6。 △AEDの面積は正方形の半分なので正方形の面積は6×2で12。

複雑な方程式を立てて、解いていくと変数が全部消えて「0＝0」になって、振り出しに戻ってしまった、苦い思い出。

小学生が解ける解説というより小学生に教える講師用の説明に思えて参考になります

これは△ADEの2倍、として解くのが定番だが、底辺4は兎も角高さが分からない。DE上にCから垂線を下ろすと便利な△CDFが見つかる。EFは1なのでDFは3。この△CDFをCDがDAに一致するように動かせば△ADEの高さが3と分かる。よって△ADE=4×3÷2=6、2倍して12。

小学生は、DE／EC＝2／1を知ってるよ! CからDEに垂線おろして、2つの直角三角形の相似比をとると、あっという間だよ!

左上の頂点から右辺の上から長さ2下がったところに直線を引けば、 斜めの直線と直交して、合同になるので、長さ4と分かって、三角形 の相似から、長さ4のうち、左上から交点までの分が3、交点から 右辺までの分が1と分かる。 右側の三角形を切り取って左側に付ければ、これは平行四辺形 になって、底辺4、高さが先に求めた3なので、面積は4×3=12

図形の移動と組み合わせの解法はよく見ますが、その背景にある考えを三平方の幾何学的解釈と結びつけての説明はとてもタメになりました。

3角形DECをDEをABに重なるように左へ平行移動し、平行四辺形に作り替える。頂点AからCEに向かって垂線を引き、DEとの交点をFとし、DCとの交点をGとする。AGの長さ４になるので、DFは2となり、割合からFGは1となり、AFの長さは３になるから平行四辺形の底辺が4となり、高さは3なので、面積は12となる。

40分かけてやっと解けた 絶対正攻法じゃないしもっといいやり方あるやろって思って動画見たら、動画もなかなかテクニカルなことしててこの問題の難しさを再確認した

別の解法で解いたので一応こちらに。 ※以下はEC=2であること、相似比、不明な値を□で置き換えることが分かる人向けの内容です。 ※とどのつまり「中学受験をする小学生」なら身につける範囲になります。 CDなど、正方形の一辺の長さを□とする。・・・(※1) BCの延長線上に点Fを置く。点Fは∠DFC=30°となるようにする。 △CDEと△CFDと△DFEはいずれも相似である。 DE:EC=FE:ED=2:1であることから、 EC=2、FE=8、CF=FE-EC=6となる・・・(※2) また、EC:CD=CD:CFとなる。 ※1と※2の値をここに入れると2:□=□:6となり、 □x□=2×6=12となる。 正方形の面積は□x□で求まるので12が答えになる。

三平方の定理使った時、正方形の一辺は2√3でその2乗で12って一瞬で出るよね笑 でも他の考え方も大事だよなってことが改めてわかりました。

解き方は算数的ですが、計算方法は、分配法則は習わないので、経験上ほとんどの中学受験生は、理解はできても自分では解けないと思います。（（□+2)×(□-2)の計算ができない） 「分配法則は教えればできるでしょ」という話なら、それは「小学生でも解ける」という範疇を超えるので、命題が変わってきますね。 もし、これが中学受験問題として解説されているような参考書があるとするのであれば、受験算数の美学を損なっているので、個人的にはその参考書は買いません笑 （バリバリ塾講師をしていた頃から5-6年経ってるので、学習範囲が変わってたらすみません。） 私が説明するのであれば、下記3ステップですかね。 ・点Cから辺AB上に補助線を引く（ABとの交点をPとして角BCP=30度となるように） ・三角形PBCと三角形ECDが、回転させただけの同じ図形であること＆ちょうど正方形の半分であること＆・・・を説明する ・三角形PBCの面積を求めて2をかけて求まる あと、「小学生でも解けるのか？」と謳うなら、思想と式も小学生の範囲で書いた方が、小学生の範囲内で解いた感が出て良いんじゃないすかね。

角BCF=30となるようにAB上にFをとってDEとの交点をGとするとEG＝１であるからGD=3,FC=4であり、△DFCは正方形の半分の面積なので求める面積は4×3×1/2×2=12

こればかりは三平方の定理で解く方が美しいな

S=(4sin60°)^2=16(√3/2)^2=12

動画をみないと解法が不明でしたが 同様の方法で三平方の定理の証明を復習していたので、内容がタイムリーでした ↑の正方形に補助線を引くと、対角90°の同様の４角形４つが正方形になるのが解ります　ﾊｴｰ

小学生でもわかるように解説しようとしているのに正三角形って単語を使わずに辺ECが2と説明なしに出すから指摘をされているんですね。

ＥC＝２が小学生でも直ぐに判るという前提で・・・(^^;) ＥD＝４を１辺とする正方形ＥＤＦＧをＡ側に描きます。ＦはＡＢの延長上の点になります。 正方形ＥＤＦＧに外接する正方形ＣＨＩＪを描きます。 正方形ＡＢＣＤの一辺の長さをℓとします。 正方形ＣＨＩＪの一辺の長さはℓ＋２と表せます。よってその面積は （ℓ＋２）²＝ℓ²＋４ℓ＋４・・・（あ）（この展開は小学生のレベルを越えますかね？） 正方形ＣＨＩＪから正方形ＥＤＦＧの領域を引いた直角三角形４つの面積は ４ｘ（１／２）ｘ２ｘℓ＝４ℓ・・（い） （あ）ー（い）＝正方形ＥＤＦＧの面積＝１６ これを纏めると [ℓ²＋４ℓ＋４]ー[４ℓ]＝１６ ∴ℓ²＝１２ と解きました。Ｓ rulootさんの解法は素晴らしいですね(^^;)

問題そのものは点Cから線分DEに垂線(交点Fとする)を降ろして三角形DECと合同な三角形CEF,DCFを作り DE:CE=EC:EF=2:1よりFD=4-1=3 ここからDE:CD=DC:FD よってCD^2=DE×FD=4×3=12 これは正方形ABCDの面積である …という方法もありますね。まぁ三角比は使っていないものの普通の比と合同な図形という考え方を使っていますが…

解説聞いてもわからなかった。この手の問題サクッと解ける人すごいと思う。

求める正方形の一片の長さを□cmとおく。 60度の直角三角形の面積は 2×(□)÷2で□cm²になる。この□cm²を▲とする...① ここで□×□の正方形をコピーして90°、180°、270°回転させたものを並べて、正方形内の4cmの線を90度に直交するように配置すると、 風車型に並んだ正方形4つの中に、「面積▲の直角三角形4つの中心に、1辺の長さ(□－2)の正方形が据えられている、4cm×4cm＝16cm²の傾いた正方形」ができる。 ここで、中心に据えられた1辺の長さ(□－2)の正方形の面積(□-2)×(□-2)を◾︎とする...② するとこの傾いた正方形の面積は ◾︎+▲×4＝16cm²と表せる。...③ ここで、求めるべき1辺の長さ□の正方形の面積を分解して考えると、 その面積は□×□ ＝{(□-2)+2}×{(□-2)+2} ＝{(□-2)×(□-2)} + (□-2)×2+ 2×(□-2) +4 これを整理して(□-2)×(□-2)+□×4-4 ①②の表し方を用いて置き換えると、 (◾︎+▲×4)-4 ③から、( )内の部分は16cm²と同じ式なので、 この正方形の面積は16-4＝12cm²になる。

🔺DECに垂線を下ろし、その点をＦとすると、角DECは、60°でＤＣ4からEC2.🔺DCEと🔺CFE.🔺DECとは相似でEFは1なので、DEは3.DCをxとするとCFはx/2,🔺DFCと🔺CFE辺の比は、3/x＝x/2/2でx✖︎x＝12となり、正方形の面積でます。

主題図の正方形をXとし、斜辺4の直角二等辺三角形をAとする Aは辺長4の正三角形を線対称になるように等分した図形なので、底辺は2 ここでAを4つ組み合わせて、Aの斜辺を辺とする正方形Sを考える（真ん中にできる小さな正方形をsとする） この正方形Sの面積は4×4=16=4×A+s 主題図に戻り、正方形X内に、右辺から距離2の位置、上辺から距離2の位置にそれぞれ辺と平行な補助線を引く 右上にできた正方形は、2×2=4 左下の正方形はs 左上の長方形は2×A-右上の正方形（4）だから、 求めたい正方形Xは 2×A+2×A-4+s =4×A+s-4=16-4=12

うううん、、、やっぱ人によって教え方というのは、引き出しというのは、ちがうのだなぁと実感です。こうやってぼくたちも学習できるね、ありがとうです。

3平方の定理は分からくても60°の直角三角形は2対１であると言うことが前提になってるんですね。また、ここから三平方の定理への導入は小学生にとっては少し難易度が高い気がしますが、式の変形を含め受験をする小学生の皆さんたちはこのレベルまで出来るのかな？

4つ組み合わせて正方形を作ることが趣旨なら、台形を使わず、 真ん中が一辺４の正方形になるよう、三角形DECを４つ組み合わせて一辺x＋2の正方形を作る。 ((x＋2)^2-16)/4=xを解いてx^2=12と出る。どっちにしろ中学生の知識モロですが。 正方形の作り方が複雑（天才的）だなと思いました。 長さが同じ辺をくっつけるのも算数の定番と思いますが、新たな発見でした。 最後に、EC=2は小学生でも習うような気がしますが、、違ったっけ？

小学生って言って、急に方程式作り始めるなよ笑

xが積極的に使われてますから中学生向け解説だと思いますが、それなら正方形の一辺の長さ=2√3から求めてしまいます。小学生向けなら、AからCDに向かって60°となる長さ4の線を引いて正方形ABCD=△AED×2という解法がわかりやすいと思いました。その解法からも三平方の定理を説明することができます。

正三角形作ってあげてECの長さが2cmとわかる EDCは30度なのでBCの3分の2の長さがECとわかるためBC3cmとわかる なので３×３で9cm平方メートル

ecが2だと分かるのが分からないって人のため？？に！ 三角形cdeの角Eが60、cが90ならdは30になりますよね、この三角形cdeと同じものを辺cdを軸に開いてあげると正三角形になります そして辺cdは出来上がった正三角形の半分の長さなので4の半分の2になります！

小学生は(x+y)(x−y)=x^2−y^2なんて知らないのでは？流石に小学生にこの方法で解くのは無理だと思いますよ

一辺が４の正方形は、三角形CDEのDEを正方形のそれぞれの辺としたものが４個と、真ん中に(DC-EC)の長さの正方形でつくることができる。 CDの長さをxとし式で置き換えると、4個の三角形CDEの面積は＝4x、DC-ECの長さはx-2、一辺が４の正方形面積は16=4x+(x-2)^2となる。 展開して16=4x+x^2-4x+4、12=x^2になる。以上です。

おとろしく難しいw 三平方の定理の偉大さが分かるw

DE=4からEC=2の過程を三平方とか言ってる方々は義務教育をまともに受けられてこなかったのでしょうか…？ 普通に考えればそこまで難しい発想ではないと思うのですが… (別にこの動画内の解法すべてを肯定する意図ではありません。他の方々もコメントしている通り、DEに垂線下ろす方が簡単かつ小学生向けだと思います。ただ、初手の4から2の部分で噛み付いている方々があまりにも多くて動画主が気の毒に思えたのでコメントさせていただきました) あと、後半の90°が対角で存在する四角形で4つくっつければ正方形って手法は普通に中学受験や算数オリンピックで使いますよ…？(そういう文化に触れられてこなかった方々にとっては驚きかもしれませんが、今どきの中学受験はこれぐらい平気でやってのけます)

慣れないと解けない。慣れるのに2～3年かがる🐩小学生できるのは稀😁

答え　12 ヒント4sin60x2.

Eから垂直になるようにADに向けて線を引いてFとする このとき□CDFEの面積は4×4÷2=8 その半分である△CDEは8÷2=4 角CDEが30°であることから△CDEと△BCDの面積比は2:3になるので△BCDは4÷2×3=6 よって□ABCDは6×2=12と求めることができる

サムネで三角形4つ合わせて三平方の定理を導出しそうなのは分かったけど台形作るのは思いつかなかったです

AからDEと垂直な線を引き，DEとの交点をH，DCとの交点をFとすると， ∠DAH=180°-∠AHD-∠ADH =180°-90°-60° =30° だから，△ADHは30°, 60°, 90°の直角三角形．また。 ∠DFH=∠AFD (∵共通) ∠DHF=∠AHD (∵点Hのとり方) であり，対応する2つの角の大きさが等しいから，△ADHと△DHFは相似。 よって，△DHFも30°, 60°, 90°の直角三角形である。 よって，HF：FD=1：2, FD：AF=1：2 だから，HF：AF=1：4 ゆえに，HF：AH=1：3． AH=4だから，(∵△ADF≡△DCE) AH=4×3/4=3． △AEDの面積=4(底辺)×3(高さ)×1/2=6 正方形ABCDの面積=△AED×2=12

単純に早く求めるなら 4×(4-4÷2÷2)=12 ただ、ここでは、全体を通して伝えたいﾃｰﾏや流れがあるから、早く求めることだけを求めているわけではないのでしょうけど

出来る人が出来る人に対しての解説なので、物凄くわからない解説でした… 迫田先生の所に戻ります

ABとDCをくっつければ平行四辺形になるってところから公式考えればいいのでは？ って思ったけど結局三平方の定理使わないと解けないので深い問題だなって思いました。

3角形の相似形状で　3／ｘ＝ｘ／4　ｘ＾2＝12　小学校では相似、比の計算はやらないか？

こんなにわかりづらい動画は初めて わかりづらく説明するのはある種の才能だな 小学生向けと言いながら平方を使いだすし意味がわからない

「ピタゴラスの定理の援用禁止」といいながら、ふたを開けてみれば。まいどおなじみの、ピタゴラスの定理の証明の一種を解法とするという、「受験産業による受験産業のための問題」。 こんなものに習熟したとしても、知育にはならないし、将来の応用もきかない。 こうしか問題に時間をとられるのが日本の「お受験」の実態だとすると、日本の教育は余りに畸形的。

小学生の時点で(発展で？)文字は使ってたけど、平成教育委員会って番組で使わないって聞いて驚いた。 なので、文字を使って解くのに違和感は感じた。ただ、求めるのはx^2だからそこで止まってある種安心した

角BFEが60−45で15°に気づけば頂角30°の二等辺三角形の面積の求め方から面積求めれます。 二次方程式の因数分解は中学生で習うんではないでしょうか？

解きかた自身が三平方の定理の証明だから、結局三平方の定理と同じかな～ 代数的に解く方法がいいね。

「EC=2で三平方の定理使ってる！」ってコメント多いけど、、 1辺の長さが4の正三角形の1つの頂点から垂線を下ろしたら、問題に出てくる斜辺の長さが4で3つの角度が30°、60°、90°の合同な直角三角形が2つ出てくるから4/2=2が導けるでしょ。。。 賢い子には限られるけど、中学受験対策やってる最近の小学生なら普通にこれくらい解いてくる子いるよ。。 算数の動画見る人はこういう頭の柔らかい発想を見るのが楽しみの人が多いんだから、まず自分の発想が足りていないのではないか？という疑いを持った方がいいと思うぞ。。

訂正。私の解き方の最初のDEをABに重なるようには、DCをABな重なるようにの間違いでした。同じ解き方をされている方もいらっしゃいましたね。

こんな感じの先生だっから数学苦手

義務教育で算数から数学に移行する教育がふそくしているのですね。 いきなり、代数のxやyを使用するのは飛躍があり過ぎていることに気付きました。 つまり、中学の数学が面白くないのは公式暗記教育だからなのですね。

後半の三平方の証明に繋がっていくところが大変面白かったです。この動画以外も面白いのになぜこの動画だけバズっているのか、、不思議です。

三平方の定理じゃないけど、三平方の定理で解いてますね。原理は同じ。

聞き流していたけど数学愛は通じています。

Xなんて考えなくても、三角形を左にずらして、底辺４×高さ3の平行四辺形を作る方が楽だと思う。 （高さは、Aから30°の補助線を引いて、短辺1の相似三角形を作れば計算可能です）

「3平方の定理を使わずに」とあるので、短辺が2と言うのも使えないと思っていました。

ECが２である事は3平方の定理を使わずわかるのですか？問題にEC＝2と入れておくべきです・・・

ECの長さが2センチなのはすぐわかった 三角形DCEの隣に同じ大きさの三角形を作ると正三角形になる 正三角形だから辺の長さが同じだから4センチ ECはその半分だから、2センチ この続きでどうやって12㎠と出すまでがわからなかったなぁ。。

GOOD JOB!

もうなんか、見た瞬間に三平方が邪魔してきたから先にそっちで解くしかないよね

結局、三平方の定理の公式を導き出す力がないとこの問題は解けないから、小学生の学力で解くのはなかなか厳しいね😅

これは算数ではないです。三平方を習う前の中学生対象です。計算が小学生のレベルを超えています。

三平方の定理使わなくても、2はだせるんですか？

三平方の定理も然ることながら、二次方程式って小学校で習いましたっけ?

1:2:√3

7:01 唐突に現れたハーケンクロイツ

中学生より頭のいい小学生を作るのが中学受験だな。

最後の図が三平方の定理の証明そのものやん

そんな事しなくても sin使えばいいじゃん 4×sin60＝2√3 1辺が2√3だから二乗して 12

小学生にも解りやすく

三平方の定理使わなくとも有名角の比から2√3出せるのだ(脳筋)

素晴らしい

あたりまえのようにEC=2としているけど、それって3平方の定理から算出してるのでは…

三平方を使うな＝正方形を作れですね

DE=l EC=m CD=x　とするとき　角CED(直角以内の角)に関わらず正方形の面積は　x^2=l^2-m^2 に一般化できる。＜(x,m,l)を(a,b,c)に置き換えると当然にピタゴラスの定理。＞ 　 点Dで時計回りに直角回転したE点に対応する点をE’それをAB方向にｘだけ 移動した点をF点とする。平行四辺形DE'FCは正方形ABCDを図形として操作したものであるから面積はそれに同じ。 F ruloot さんが想定する図のG点をDE上に取ると、△DECと△CEGの相似関係から EG=m^2 / l　DG=l-EG 平行四辺形DE'FC＝DG*l　となる。 ∴　x^2= DG*l=l^2-m^2 たぶん、この方法はアインシュタインのピタゴラスの定理の証明法（単に比例法とも呼ばれる）と結果的には同じ。

中受ではよく問われる考え方ですね〜

三平方の定理より4:2:2√３の三角形とわかり、 ２√３が正方形の一辺の長さとなるので （２√３）²＝12 答え…12 三平方の定理使わないと無理です。

三平方を使わずってことで、60°の三角定規の1:2など、上手く使ってやる小学生向け(算数の範囲)かと思ってたけど、、 変数としてxを使ってたり、式の展開があったりと数学の範囲になってて。。 算数的に解いてくれるのを勝手に期待していたため、とっても残念でした。

なるほど、、、つまり、こんなの小学生で答えられるような人間が東大なんですねw

答12

あっ、これ算数なんだ。ウッカリ三角比（sin 30）使って2と出したのだが。算数は数学より難しいので私には無理です。

辺EC=2の説明が欲しい 小学生には∠DECが60°の直角三角形→正三角形の一辺の1/2という説明がいるかな

ルールには反しているけど、△DECをもう一つ作って正三角形にすると一辺が4cm。辺ECはその半分だから2cm。すると4^2-2^2=2√3。最後に2√3^2=12てな具合に思い切り三平方の定理を使わせてもらった。

要するにsinπ/3から出発すれば答えは一発ですが、cosπ/3も使わず、60度の直角三角形をミラー型にもってきてCE＝２を導くというのがミソなのですね。

すっごい分かりやすい❗️ 中学の時にこんな風に先生が説明してくれてたらもっと数学が好きになってたのにな〜。 現役の先生にこの動画観て教え方の勉強してほしい❗️

幾何学ってIQ必要なんだわ。三角形と四角形を2回以上変換するだけでIQ110は軽く超える。 せめて中学レベルに持っていけたら… 小学校高学年なら、三角形の等倍の法則は習うだろ。3つの内角が寸分狂わず一致してるなら、一辺の長さがx倍になると、他の2辺もx倍になるって奴。 これが使えば、連立方程式の解だけの問題にできる。 問いの三角形を下方に延ばす。例えばx倍に伸ばすと、下辺CEは2から2xになる。その半分x/2倍だと、下辺の長さはx。すると下辺のxはBCの長さxと一致するので、ここで問いの正方形を下に引き伸ばした長方形が作れることがお判りいただけるだろうか。つまり縦長の長方形の一部が、問いの正方形になる。 この時、右辺CDの長さxも、x/2倍になっている。(x^2/2、コンピュータ記号で表すとこうなる) ここまで出来れば、あとは連立方程式で解ける。だろ。

三平方の定理の証明だったのか！

三平方ダメで和と差の積使うのはオッケーなんだ。。

CD=2*root３・・・ 2:1:root3 面積=(2*root３)^2 =2*2*3 =12

三平方の定理の部分的な証明？ちょっと暗算じゃ分からないな。あわかったかも。

小学生の範囲で2乗って表現使ってええんやろか

残念ながら、そもそも小学生にエックス２乗は分からないので😅

二つの角が直角で二辺が等しい四角形が正方形でない歪な四角形になるのが理解できん

定理は証明できるのが大前提で、三平方の定理は算数で証明できちゃう。なのでEC＝２をはしょってる。

∠30,60,90の三角形の辺の比の1:2の部分が、正三角形を底辺の垂線で半分にして求めることを知らない人が多くて義務教育の敗北を感じてる

そもそもこんな正方形は存在しないと思う

三角関数だなぁそうに決まってる

三平方の定理を使わないで、ＥＣ＝２をどう出すのか、教えてください。

EC＝2は，三平方で求めたやつですよね？