【数学科首席が教える】三角関数は定義と加法定理だけで全解決する 

そうそう。三平方の定理と定義と加法定理だけであれだけの公式を導出出来るのを知った時は感動した。それに、それの方が明解だし。こういう教え方をする人が増えて欲しい。

ほぼ還暦の塾講師です。三角比と三角関数は、ゴシック体で教科書に登場する式を全て公式だと考えると、70を超えますね。学校の教師は全部覚えろというそうで、生徒が気の毒でなりません。今日動画を拝見して、どこを省力化するかのヒントになりました。ありがとうございます。高評価とチャンネル登録をいたしました。次の動画も楽しみにしています。ありがとうございました。

私は物理屋ですが、やはり公式は暗記するのではなく、その式を見たときに現象を頭に浮かべられることが大切ですね。 あとは微分積分の意味を理解していれば、導ける式は広がっていく。

いつも動画拝見してます。 死ぬほど分かりやすかったです…！ 学生時分に学んだ時は「とにかくそういうものだから覚えて」と言われ、ひたすら三角形を使って覚えさせられたので、何をもって底辺とか決めてるんだ、とか教科書と図形の形が変わった時いまいち釈然としなかったり…公式もよく図と繋がらなかったりとモヤモヤしていましたが、こちらの動画を見てスッと理解できました、ありがとうございます。 今後とも楽しみに拝見＆応援しております。

公式全部証明してみるのが一番いいですよね。下手な勉強よりよっぽど効率的。

塾で教えてもらったから最初から公式ほぼ覚えてない 三角比の時に定義を教えてもらったから斜辺を1にするように割るって考えで入試問題とか見やすめになるからいいね

単位円x^2+y^2=1を定義すれば、sinθ=y、cosθ=x が、sin,cosの必要十分条件になります。 sinα=sinβ ならば、y座標が等しい。(同じ点か、左右対称) sinα=cosβ ならば、y1=x2 (y=x に関して対称) 特に、sinθ+cosθ>1 などは、x+y>1 の領域を取り、０

加法定理もcos(a-β)の式だけ覚えてβやaを置き換えて式変形すれば残りの3式を導出できるから、覚える量をかなり減らせますね

0:00-1:03　一分で三角関数が何者か思い出せるすごい動画だと思います。ありがとうございました

数学科の人でも単位円描くのそこまで上手じゃないの安心する

暗記するにしても導出できた方が忘れない

数学史の流れとして三角関数と呼ぶのはしょうがないと思うが、一部界隈から三角関数ではなく円関数と呼んだ方が良いという意見出ていることになるほどと思ったことがある。古くは直角三角形の３辺の比から三角比を定義したが、角度が０°以下になったり９０°を超える時にも使えるように三角形という思考の枠を捨てて円に対応させた。また数学史の発展の後に楕円関数に到達したとき、振り返ってみると名前の整合性の観点から円関数と呼ぶのが自然だそうだ。私も三角関数というネーミングがギクッっとさせる原因の一旦ではないかという気もしてる。（なんで急に単位円なんて出てきたんだと思う生徒が多いように思う。※教科書にはちゃんとせつめいされてるけどね・・・円関数と名前自体を変えれば数学が次のステージに進んだことが明確に生徒につたわるんじゃないかな。）

三角関数が exp(z) という複素関数の実数への影のようなものだと知ったときは衝撃でした。

公式を必死に覚えた受験生を嘲笑う1999年東京大学 公式を導出させる入試問題ほんと好き

分からなかったのが一瞬でわかったまじで神です

ピントあってなくてごめんネ。三角関数の合成についてはまた動画にします

三角関数の解き方 ①単位円を描きます ②有名角のsinやcosの値を1秒で出せない人は1:1:√2と1:2:√3の三角形を描いて比率を辺の隣に書いておきます ③あとはどうにでもなります おわり

これ当時、ふと気付いてめちゃめちゃ感動した。

統計を勉強するにあたって高校数学勉強しています。この動画とてもわかりやすかったです😊公式がどう導かれるかわかっているのは重要ですね。

(基本的に)公式使う前に、頭の中で証明できるくらいになるまでは、毎回証明過程を記さないとダメ縛りしてたら、だんだん大抵の問題は一般化された公式の導出過程を単に具体値や定数で改めて計算してるに過ぎないことに気づいて、数学ができるようになってきて好きになった❤❤

加法定理だけ覚えときゃ導き出せるって言っちゃえばそれまでなんですが、 倍角も覚えとくと四則演算の電卓だけで実用的な制度の計算は出来ますよ。 求めるのは45度未満の正弦だけですが、出したい角度を1度未満になるように２のｎ乗で割ります。 出た角度を弧度に直します。その後ｎ回倍角の公式を繰り返します。 よほど精密でない限り機械設計で必要な程度の精度ならコレで十分。もちろんπは8桁打ち込みます。

学校の先生は普通に導出して考えるように教えてくれてよかった あとコスモスコスモスサカナイサカナイもめっちゃ好きだった

原則が１つあり、それを利用して導き出せる応用が１０個ある。実は原則だけ知ってれば応用も導き出せる、けど時間かかる そこで応用の１０個を軒並み教えて暗記させる、、の繰り返しが学問の歴史で、応用の応用の応用を教わってるのが一般人 パソコンの原理知らなくても使いこなせる、自動車の仕組み理解してなくても運転する、根源から理解してるエンジニアは必要だけど、全員が理解するにはむずかしい 世界は応用だけ学んだ人によって回ってるけど、根源から理解してる専門家だけが、きっと新しい何かを見つけて名を遺すんだろうな・・ 公式と公式の関連性を新しく発見できる人が・・新しい公式を作るんだ

三角関数って分かると結構好き

結果的に覚えてるけど公式は出せることが大事ですね！

九九の表、斜め半分だけ覚えろて言われた時と同じ位衝撃的でした。 暗記しろて言われて自分で考えずに漫然と覚えるとやっぱり駄目ですね。

円で考えると、確かに本当に簡単ですね、見て良かったです。ありがとうございます。

単位円でθ[radの時、扇形の弧の長さはθです。しかし、（cosθ,sinθ)の座標になるという定義はないと思うのです。cosθとsinθが二階微分方程式での解と同一になりますが、証明は難しいのです。

2:56　50年経って漸く意味が理解できた。なるほど。

分かんなかったらとりあえず単位円書く...いいこと覚えました❗️

問題によって違うのでしょうが、半角、倍角の公式の使い分けを場合わけして欲しいです。 なぜなら倍角の公式の角を1/2にすれば半角が出現しますし半角の式の角度を2倍すれば2倍角が出現します。

加法定理理解出来とけばそれ以外の公式けっこう導ける

東大の1999年の過去問で加法定理を証明させる問題あり、面食らった覚えがありますね。今は解決し（そして忘れ）ましたがなかなか証明思い付かなかったです。 じゃあいくつかある証明の仕方の中から覚えてない状態で導けるかといわれるとやはり無理があると思われるので加法定理は覚えないといけませんね

昔は高校で行列を習っていて、加法定理は2回、回転させれば出てくると教わったので、最終的には加法定理もあやふやにしか覚えてませんでした。

理想的なのは、導けるようにしておいて、使ってるうちに全部覚えてしまう事ですかね 入試は時間との戦いでもあるので…

すごく初歩的なのですが、もし大丈夫でしたら、関数を比例〜二次まで簡単に説明するような動画を撮ってくれないかな…なんて思ってしまいました。もし可能でしたら、とんすけさんの関数の解説を拝見してみたいです。

自分が塾で教えてるやり方と同じで安心した笑

グラフを使って三角比の変形してたから単位円苦手だったんだけど、すげー分かりやすかった！

ほんとこれ。まぁ合成は覚えといても良いけど

大吉先生は神なんやな

公式を丸暗記するか定義を理解して他の公式を導けるようになるかの最初の分かれ目は、小学校で習う「速度=距離/時間」ではと思います。最初から「は・じ・き」の丸暗記に頼る癖をつけさせるのは...せめて変形が楽な「速度×時間=距離」のみ覚えて他の2つは導く教え方の方が。 記憶力に頼る勉強癖で育った人は自分の頭で(より深く)物事を考なくなり権威や常識を鵜呑みにする大人に...

んすげぇタメになったけど、ピントが草に合ってるのが面白すぎる

当たり前だと思ってたから自信に繋がった

具体的に考えた方がめちゃくちゃわかりやすいじゃないか！（感動）

わかりやすい! でも　sinもcosも一つの変数θできまっているんだから当然この二つには関係がないとおかしい というのはどういうことなんだろう、、、

とんすけちゃんかわいい

sin（θ＋π/2）＝cosθをsin（θ＋a）のサイコスコスサイとかで導出したけどもっと楽な方法があったとは…

すげー！

かなり昔の東大理１合格者が、数学の試験の後、試験中、三角関数の定義が単位円だと忘れてて青ざめたと言ってたので、 基本を分かっているか試す問題があったのですかね。

私も指導の際に（特に理系生）は定義と加法定理を覚えてあとは導けるから証明の流れを覚えておけと伝えています。 共通テストなどの時間制限が厳しい試験の前にはある程度覚えてほしいところですが 国公立二次試験などある程度時間がある試験ならば自分で導いていても時間はあると合わせて伝えています。 逆にいうと、加法定理以降の定理は自分で証明できないようでは中堅大学でも三角関数で苦労するでしょうね。

加法定理も単位円と三平方の定理から比較的容易に導けますよ。

さんかくかぁ↑んすぅ、が頭から離れない、、、。

草が話してて、ヒトが口パクしてると想像すると、ちょっとツボに入った。

こんにちは。 面白かったです。 植物のことを草って表現してからそっちにしか集中できませんでした。

最高です。

sin（π−θ）とかはグラフ書いて考えてる

加法定理だけは導出より覚えたほうが楽

積和を導出できるレベルの頭脳を持つ人間はそもそも積和の暗記で詰まったりしない

なんかの参考書で「sinとtanの公式もあるよ」とか言ってたから見てみたらただ式変形しただけで鼻で笑ったわ

三角関数は自分で気づいて先に単位円から始めたな 教科書自体が、全体像の結論から喋らないコミュ症みたいなもんだから、教科書やるなら後ろから勉強した方が圧倒的に理解早まる

積和を加法定理だけで求められるの最近知った。友達みんな覚えようとしててかわいそう😢

公式は役割が違うよね。導出できるんは当たり前やけど、テスト中にいちいちしてたら時間が足らない

数Iで三角比やって数IIで三角関数習うけど正直統一した方が良いなって思ってますw

オイラーの公式を覚えておけば良い

ついでにCORDICアルゴリズムも勉強しておくと良い

和積、積和を使う条件？タイミングみたいなんがよく分かりません。

三角関数は覚える必要ない公式多いですよね あとlog系も節約できる気がします

なんでか知らんけど, 定義も単位円も覚えているのに使うのへたっぴな人が多いから苦労している印象. 式変形をサラサラできることが大事だよね.

社会人で独学してるんだが 2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B) 2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B) ではアカン？ 合ってる？

【単位円について】そもそも角度というのが長さで表すと比になります。重さとか長さとは違う単位であることにほとんどの人が気が付いていない。分度器は半円の周上に点を打って角度を表しています。円周の長さで角度を表しているのですが、分度器の大きさ(つまり半円の半径)はさまざまです。つまり、円を表す半径と円周の比で角度を表しています。逆に見ると半径が異なる半円上に例えば30度を示す点を記録していくと中心から伸びる直線になります。どこでも30度です。どこでも30度なら半径1の円で表せばいい。そこで単位円が出てきます。 　何で半径1の円で代表していいのかというのは角度は長さの比で表されるからです。一つの長さには依存しないからです。sin、cosを単位円で考えると良いということはどの教科書にも詳細に記載されているのですが、生徒がそれに注目出来ないのは角度の持つ性質が他の単位とは異なることに気が付いていないからです。「天才」は自然に気が付いて自覚していないので説明ができないのです。わたしがこれに気が付いたのは三角関数を習って数十年してからです。その間は単位円でなぜいいのかが、納得がいきませんでした。

まじでネイティブ並に日本語上手いですよ！

俺はこの定義を中2で知れたのほんまに恵まれてると思うわ。今思うと

これは瞬間的に出来なきゃダメ なのよいちいち導いてたら タイムオーバーになります

ベクトルを使って三角関数を教えてもらった時に色々「繋がった」感があった。

こういう教師に習いたかった（笑）永遠の数弱より。

ちゃーんと単位円で覚えてたなあ。 公式忘れても導出できりゃいいからな。 まぁ結局おぼえちゃったが。

高校数学のすべてについて「これだけ」講義をやっていただきたいです。

3倍角とかは導出めんどいから覚えたほうがいい

数学の定義の大体に言える気がするけど、定義はお固く纏まりすぎてて、何をしたいのかっていう気持ちが分かりにくいのが良くない

「まるい」三角函数！

複素平面を知れば良い

何で公式があんなに多いのか。 三角関数は主に物理で頻用する。 公式として提示されている三角関数の公式は物理の世界で頻用されるものであり、全て自由自在に利用できなければ話にならない。 こんな公式はいちいち全てを覚える必要はない…というのは理屈としてはわかるが、利用する側からしたら、いちいち導かなければならないようなレベルでは三角関数を縦横無尽に使えない。 ただし、ど忘れした時に即導くことかできるのは必須である。

ピタゴラスが偉かった。

導出するけど導出した結果が合ってるか確認するために結局覚える

そんなことより黒板がある生活ってのを聞きたい

覚えるけど、忘れても導出できるようにするでよくない？

キレイな草ですね

トレミーの定理だけ覚えとけば加法定理すらもいらないですね()

杯は円、対数は関係ないかなあ？

ピントが草に合ってるは草‪w‪w‪w すいません

もちろん導けることは大前提 ただ、だからといって「覚えなくていい」と思ってしまうと隠れた三角関数に気付けないから難しいよね 問題中のy＝4x^3−3xを見て3倍角を連想し、そのままxの絶対値が1以下であることの証明を試みるのはその都度導いてる人じゃ難しいのかも(回数重ねてたら記憶に残ってるとは思うが)

続きはfantiaで

加法定理を単位円使って証明するならα、βのベクトルの内積を考えれば良いですよね。

「左右対称なんで」の説得力の無さw

無限級数で定義するのかと思った

概念理解してないと難関なんて解けるわけ／(^o^)＼

ン十年前円を使って教えて貰えたら俺の人生は変わっていたな。　こういうのを授業で 教えて貰いたかった。

三角関数が二つの事象の相互作用を、数学的にモデル化したものと捉えると、単なる計算問題ではなく、世界を表現する方法と言えます。 そうすると、理系と文系という区別を超えた普遍的な概念となります。 仏教の縁起、色即是空など。

私は三角関数の定義というと「解析入門Ⅰ」の無限級数による定義を思い浮かべてしまう。 天下り式に定義をして、素朴な三角関数の定義と同じことをチェックするという感じだったことを覚えている。 たぶん、大学の数学科だったら冪級数による定義か正弦関数の逆関数を用いた定義を習うはずです。