多くの数学者を苦しめた無限の概念がヤバすぎる【ゆっくり解説】 

@@user-yn7vz5ol5y 気がするだけなんだよなぁ

@@top_random_99990 まあ野暮なことは言ってはいけない 初学者は，知らないという状態からとりあえず見たことある！聞いたことある！という状態へステップアップするのが大事なんだから それを段々と練っていけばいい，そのためにもキッカケは大事

15:53

俺に関しては複雑過ぎてなんもわかんないけどな()

今回の場合は0.1と0.0111...は別ではないでしょうか。 両者が同一の数となるのは「...」が極限を表すときです。今回は、「0.0」の後に1が連続する具体的なある数を表していますよね。

@@pink-nyd 0.0の後に1が連続する数は級数で表されるので、極限を表しませんか？

@@pink-nyd いや，その具体的なある数こそが0.1です これはよくある勘違いですね，0.999…と1が別物だと勘違いするのと同じもの 0.01111…と1が無限に続く時点で，極限です

⁠@@kuroharu485 @高木貞治 お二人とも返信ありがとうございます！ お二人のコメントを頼りに再考しまして、おっしゃる通り0.1と0.0111…は同一なのかもと思い始めました。 もともと、級数（無限和）の場合、0.1と0.0111…が全く同一であることには納得しておりました。まさに1と0.999...の問題だと思います。 しかし、今回の各列の値は本当に極限を取ることのできる級数なのか？　というのが私の疑問点でした。 単純に桁数が無限で、全桁が1なのだから実際0.1に収束する（極限を取れる）よ、という話なのかなと理解しました。 @すが さんも変な言いがかりをつけてしまいすみませんでした。 皆さんのおかげで極限や級数への理解が深まりました。ありがとうございます。 また、余計なお手間をとらせてしまいすみませんでした。

@@pink-nyd 無限に関する諸々の理論は本当に人の感覚を裏切るので，間違いは往々にしてあるものです，数学科卒の自分ですら，よく無限に関する自分の考えを疑うことがあります それをいろんな人が議論し合いながら正しい理論を共有していけたらいいですね インターネットの普及の加速によってどんどんそれがやりやすくなっている現代には感謝ですね

テストの得点を他教科に換算する(得点調整)すら、数学的に正しい方法は１種類に決められないそうです。なので、入試担当者は、平均値ネタで換算するとか中央値ネタで換算するとか色々やってるみたいです。

これくそワロタwww

これ伸びろ

おめーが優勝

​@@user-fo6jk9zoおお〜

勝手にえげつない空気にして勝手に帰るの草

無限と闘った漢

そう思います。エンタメだから、文系向けだからと、細部を省略したり、工夫して直観的に紹介すること自体は、素晴らしい啓蒙です。ただしそれは、（正確さを多少犠牲にしていても）背後にある数学的事実の紹介になっている場合です。 そもそも対応する数学的定義がない（できない）ような式や記号や用語をもてあそぶのは、「数学の」分かりやすい紹介ではない、何か別のオカルトでしょう。（日常語と微妙に意味が違う用語などは、特に誤解や妄想が起きやすい。）

雑学だし、多少ピントずれてても面白ければいいと思ってしまうのは私が文系だからでしょうか…

たとえば文系（政治・経済・文学・歴史とか）の雑学チャンネルで、紹介している事実やデータ自体は嘘でないとしても、理由や原因の説明が不適切だったり、用語の意味や使い方が間違っていた場合（自分はド理系だからそれを見抜くことは難しい）、結果的に誤った知識を植え付けられることになるので、いくら面白く見えても嫌かなあ。 （それでも、事実を曲げて面白さを優先した軍記物なんかが大衆に受けて、そのうちそれこそが歴史であるとして流布したりもするらしい…）

世の中の大多数の人は大学で専門的に数学を勉強するわけではないので、「∞＜∞という表現は不正確でℵ₀＜ℵが正しいんだ」などと言ってもスルーされて終了です。RU-vidという色々な視聴者層がいる媒体でいくら正確な表現を求めたところで、興味を持って視てもらえなければ話になりません。ましてサムネイルは動画を視聴してもらう上で大事な要素なので、専門家から見て多少の間違いや正確性を欠く表現があっても多少寛容であるべきです。 正確性や厳密性を求める人はそういう専門的な集まりの中で好きなだけ議論してください。

なるほど、どうせサムネイルは確信犯でやってるのだから（なお「確信犯」のこのような使い方も専門家の観点では誤りらしいですが、気にする必要はないですね）、「庶民が親しめるものであること、そして対象とする者のなかでも最も程度の低い者の受容力に合わせること」が肝要であると。 ちなみにこれは実は、ヒトラーが「我が闘争」で、大衆に訴える正しい方法として述べているものです。「テーマや標語を絞る／あまり知性を要求しない／大衆の情緒的感受性を狙う／細部に立ち入らない」このような戦略を ラジオという「新しいメディア」で実行し成功しました（Wikipedia「ナチスのプロパガンダ」より）。今はRU-vidが新しいメディアなので、ヒトラーの方法が有効というわけですね。勉強になります。

@@youdenkisho455 そうですね。どんな自然数も桁数は有限なので、実数では行えた「対応していない実数を生み出す操作」ができません。 実際、自然数を全部2進表示で並べ、n番目の自然数とn桁目の値が異なるものを構成すると、…1111111100となり無限桁の数となってしまいます。 ところで、コメ主さんが話してたp-adic数(p進数)は、小数点以下が有限な代わりに小数点以上が無限桁という特殊な数となっています。こちらは本当に無限桁の自然数みたいなものが全て存在するので、対角線論法によって自然数との一対一対応が作れないことを証明できます。

「代数的数」の全体は、自然数全体・整数全体・有理数全体と同じく、可算集合です（これは、有理数係数の代数方程式の全体が可算集合であることから分かる）。よって超越数の全体が非可算個あることになります。

@@user-kq2me8ut4d 実にシンプルで分かりやすい解説ですね

でもそれは有理数の中の有限小数に限った話しなので、それは一対一対応できますが、無限小数は数えられないですね。

上でも書かているように，無限小数への対応が作れませんよね 0.1111…に対応する自然数が存在しない

無限＝無限

質の話

動画でも扱ってるようにn番目の整数を考えられる時点で

@@basin872 桁数も無限でしょ

卑怯な言い方になるけれど，何十年も間違いを指摘されることがなかった論法を間違ってると言うからにはそれ相応の納得できる説明を用意すべき 感覚的に間違ってる''気がする''と言うのは素人でもできる

@@kuroharu485 既に書いてるでしょ 無限に続く数列に対応されてるんだよ 対応する側だけを無限じゃなくしてるのが間違い

@@user-vn4es7ji7c それはそもそも[0,1]内の実数に無限小数が無限に含まれているから当然では？無限小数も結局は有限の数だし対応に何も問題はない

自然数の集合と[0,1]の実数の集合との一対一な対応が存在するかどうかを考える話なので，自然数という有限桁の数に対して無限桁の実数も対応させなければならない(対応させられない時点でそもそも濃度が違うことになるので) これに関しては自然数集合と有理数集合との対応でも同じことが起きている 1/3という有理数に対して何がしかの自然数を対応させるわけだけど，1/3=0.333…という無限小数なのだから，これは無限桁の数に有限桁の数を対応させている

佐藤さんの仮定、非常にユニークだと思います。 ですが、対角線論法は、自然数に応用するのは難しいんじゃないかなぁと個人的に思います。 佐藤さんの出していただいた例のように 12345… 23456… 34567… 45678… 56789… というように自然数をランダムに持ってきて、左から斜めに数を選んで、別の数に置き換えたら… 一見正しそうに見えます。 しかし、この仮定の誤りは、自然数を無限桁だと考えてしまっているところにあると思います。 自然数は、どの数も全て有限の桁数しかありません。 何兆桁とか、何無量大数桁とか、それ以上とか どんなに無限に見えても、実際は有限の桁数でしかありません。 例えば、上の数たちを10桁だとします。 そしてさらに拡張して 1234567890 2345678901 3456789012 4567890123 5678901234 6789012345 7890123456 8901234567 9012345678 1123456789(最後のだけ、頭を0にすると桁が変わるのでしていません) という10この数だったら、とします。 すると、左から斜めに見ると 1357913579 という、十桁の新たな自然数ができました。 そして、これをずらした 2468024680 という数も、当然この10個のどこにもありません しかし、これらは、たった10この集合での話。 例えば偶数と比べると、 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 までで数え上げた中で、存在しないだけです。 10桁の自然数とは必ず 1000000000 から 9999999999 の間の何処かには必ず存在します。 そして、自然数をnとした場合、偶数は2nと定義できるため、当然この10桁も、数え上げることができます。 先ほどの1357913579も2468024680も必ず存在し、数えることができます。 これはもっと桁数を増やしても同じです。 その新たに生まれたはずの数も、その数と同じ桁数だけ9が並んだ数より小さい以上、何処かには必ず存在します。 その時点で、2nを用意するだけで数え上げられてしまいます。 確かに自然数にも対角線論法は適用できます。しかし、その対角線論法によって生み出した数というのも、その数nに2nを用意するだけで簡単に数え上げられてしまいます。 (そもそも、対角線論法を適用すると偶数全体で自然数を数え上げてしまわなければいけないため、もうその時点でnに2n用意すれば良くね？　ってなって、適用前に同じ濃度というのがわかるので適用する意味がない、ということも加えておきます) では、逆になぜ実数全体になると対角線論法を適用できるのか。 それは、実数の中には、無限桁が存在するからです。 無理数というのは、桁数を決めることができません。小数第無量大数位の更に先に桁が無限に存在するからです。 上での数を並べてでの試行中、気づいたことありませんか。 そう、10桁の数に対しては10個の数を用意すると。 10桁の数に11個以上数を用意しても、左から斜めに数を見た時に10個目で終わってしまうため、用意してもなんの意味もないんですね。 それは他でもおんなじで、100桁には100個、千桁には千個、一億桁には一億個の数だけあれば、数え上げてしまうんですね。 だから、一億桁の数で、一億1個目の数を対角線論法で作っても、たった一億1個目だから、数え上げられてしまう。 しかし、無限桁はどうでしょう 無限桁には、無限の数を用意しなければいけない。こうなると話が変わります。 自然数全部で力を合わせて初めて、無限桁の無理数に戦う土俵には立ちます。 動画のように、たった0〜1の間の無理数の中で、一対一対応で数を書き並べてみる。 1対0.243364846… 2対0.46294628461864… 3対0.6519364848… 4対0.748537473… (以下略) もうこの時点で、自然数側は限界です。無限の自然数を使って、無限桁の無理数を数えました。 これに対して、左から斜めに並べてみると 0.2615… という数が生まれたとしましょう。 この数自体は、もしかしたらこの無限の無理数うち、もうすでに数え上げたものに含まれてるかもしれません。 ですが、それの奇数偶数を入れ替えるだけで 0.1926… とする。 これは0〜1の無理数なのに、 1番目は一桁目が違う 2番目は二桁目が違う 3番目は三桁目が違う … 十億番目は十億桁目が違う … 百兆番目は百兆桁目がが違う … と、どの数にも当てはまらない無理数が生まれてしまいました。 これも当然数えなければならない。 しかしもう、対応する自然数が存在しないのです。 自然数側はここで降参、となるわけです。 実際は、1〜2までの無理数もあるし、それ以上もそれ以下も無理数がたくさんあるのに、０〜1までの無理数ですら数え上げることができないというわけです。 だから自然数よりも無理数の方が圧倒的に大きいわけですねと。

こんな感じでしょうか。 厳密には間違っているところがあるかもしれませんが、大枠は外れてないはずです。

いい質問と真摯に向き合った解説に感動！😊

@@AI-mn9qj なるほど自然数を無限桁だと考えてしまったためにおかしなことになってしまったのですね 自然数は無限桁ではないだなんて知らなかったです😳 長文解説ありがとうございます そしてお疲れ様ですm(_ _)m

@@user-mj9dl9ln1i それは比較的簡単な話で，どんな自然数を持ってきても必ず有限桁だよね？というだけです 自然数の個数は無限なのでそれに引っ張られがちですが，自然数の集合の要素は全て有限の数です，有限の数なのだから有限桁ですね

調べると「動的無限」（一般には「可能無限」と呼ばれているようです）の世界から見れば実数の集合も可算無限になるという話が出てきました。 無限の定義の仕方によって結論が変わってしまうのはなんとも変な話ですが、連続体仮説が正しくても間違っていても問題無いことを考えるとそういうこともあるのかなと思ってしまいます。

@@youdenkisho455 可能無限、そんな概念があったんですね。 今調べたところ、僕が動的無限、静的無限と言ってるのに対し、可能無限、実無限と言う言い方で対比していて、確かにそっくりです。 説明していないのにここまで正確に考えてもらって嬉しいです。 ただ違いもあって、可能無限では計算ができないと言う立場の様に思いましたが、僕の動的無限では制約がありますが計算は可能です。 可能無限について興味があるので、今後もっと調べてみます。

@@user-gd5tu8hh3u ちなみに問題の対角線論法についてですが、特定の順序で実数を並べた場合のことを考えていますね。この順序の場合、確かに対角線から得られる実数0.11111...₍₂₎は到達不可能な値に見えます。 しかし一対一対応から無限の濃度を考える際その順序は無作為ではいけません。例えば自然数も前半は小さい順に奇数を、後半は小さい順に偶数を、と並べれば番号は奇数だけでいっぱいになり偶数に番号をつけることができなくなります。一部の要素に番号をつけられないのは一見非可算無限のような振る舞いですがこれはもちろん順序を元に戻すことで解消されます。 対角線論法はどうでしょうか。こちらも順序さえいじれば明らかに到達不可能ではない0.10000...₍₂₎という値を得ることも可能なはずです。可算無限はあくまでも何かしら１つ番号付け可能な順序が見つかれば良いのであって特定の順序の場合に変な値が出てくること自体は問題じゃないと思います。

@@youdenkisho455 僕の対角線論法に対しての指摘によって、少なくとも並べ方によっては誤った理論であると言うことはご理解頂けた返信と感じました。 そういう理解をされた数学者さんなら、「少なくとも並べ方によっては正しくない理論であるならば、どの並べ方なら正しい理論なのか」を考えるべきです。 ちなみに先程示した方法で到達できない理由について、僕自身不思議に感じていたので探っていたのですが、この対角線論法、とんでもない落とし穴がある事がわかりました。 かなり不思議な事が起こっています。対角線論法によって全ての実数を調べたつもりが、実は全体の「1/無限」程しか調べる事が出来ていないようです。 具体的に言うと、n進数の場合でx桁まで調べた時、調べる事が出来た実数はx個ですが、「調べるべき実数はn^xになる」様です。 つまり対角線論法では、調べる事ができない実数がn^x-x個もあるんです。 感覚としては、有理数が可算無限かどうかを調べたくて、分母が1の所から一つ、2の所から一つ、3の所から一つ、と言った感じで１列分のみ調べ、例えば「1/6が現れるはずがないから非可算無限である」と言ってる雰囲気です。 対角線論法で調べられない数がどのくらいあるのか、2進数で説明しますと、まず小数点以下が1桁しか想定しない場合、並べる数は0.0と0.1のみですが、対角線論法で調べる事ができるのはどちらか一つだけ。その調べたひとつに調べた数を反転させた数が入っていないのは明白です。 2桁までしか想定しない場合、調べるべき数は、0.00、0.01、0.10、0.11の4つです。しかし調べる事ができるのはそのうち2つだけです。3桁だと調べるべき数が8個に対して調べた数は3個です。 以下、確かに必要な桁数を調べる事ができたように感じても、実はn^x-x個ほど、調べる事ができない数が存在するんです。 この事はどんな並べ方をしても変わりません。つまり、対角線論法は無限マジックのかかった、「感覚的には正しいけど実は大間違いの理論」の様です。

@@youdenkisho455 言い方を少し変えます。 2進数で2桁の数を並べた時、調べるべき個数は4個、だけど対角線論法で調べる事ができるのは2個。 2進数で10桁の数を並べた時、調べるべき個数は1024個、だけど対角線論法で調べる事ができるのはその内たった10個。この時点で全体の1%を調べる事もできない理論です。

〈濃度〉は数でなく、集合につけられた「ラベル」です。より正確に言うと、集合と集合が「対等」であることを「1対1対応がある」で定義したとき、その同値関係による同値類が〈濃度〉です。（〈濃度〉の大小関係も、集合の包含関係を用いて定義されます。）

@@user-kq2me8ut4d 💤

絶対動画見てない人のコメントじゃん… これにグッド押してる人たちも

「∞」という記号が濫用されているのが一因でしょうね。lim記号とセットで使う「±∞」、リーマン球面や射影幾何学での無限遠点「∞」、ルベーグ積分や順序集合での「±∞」等、それぞれに厳密な定義があり、しかも意味が異なる。 集合の濃度は「∞」でなくアレフ記号で表すのに、ウケ狙いなのか「∞＞∞」みたいなナンセンスなサムネは誤解の元なのでマジやめるべき（ヨビノリも「ヒルベルトのホテル」のサムネでやってたような…）。

@@user-st9id8nt7q それか見ても理解できない人