比较1.01¹⁰⁰和2的大小？学霸的解法让老师自叹不如！ 

1.01 * 1.01 每次的增量大於 0.01 100次肯定超過2.. 根本不用想巴ˊˋ

这个用二项式幂次展开，(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n，这道题里面a=1,b=0.01,n=100,只需要看前2项，第一项1^100=1, 第二项C(100,1)*1^99*0.01=1, 这两项加一起就是2了，后面还有99项都是正的，所以必然大于2.

每年1%利息 複利100次一定大於單利一百次

1.01^2=1.0201 (1.0201-1.01)=0.0101>0.01 乘冪每乘一次都是遞增的，所以1.01^100 > 1+0.01x100

用微分近似的方式來解 recall f(x+Δx)≈f(x)+f’(x)Δx let f(x)=x^100 since f’’(x)>0 f(x+Δx)>f(x)+f’(x)Δx -> f(1+0.01)>1^100+100(1^99)(0.01) -> f(1.01)>2 -> 1.01^100>2

解釋的非常好，不會就是不會，聽完還是不會。

用微分吧 f(x)= x^100 f(1.01)≈f(1)+f’(1)*(1.01-1)≈2 因為我們取小而f(x) is increasing function 所以會低估數值 所以1.01^100 會大於2

All you need is first term of Binomial Expansion, (a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + ..., so (1+0.01)^200 = 1 + 200*1*0.01 + ... = 2 + ... , hence is larger than 2.

應該給一個前提，那就是侷限在初等數學裡面，這大概是學霸解法。不過在高等數學裡面，就是很簡單了。二項式定理也許中學也會學，那高等數學也不需要了。

这个题考查的也是 e 的定义，e 的定义就是 (1+1/x)^x 当 x 趋向于无穷大时候的极限值，物理含义可以这么理解，银行定期存款的一年利率是 100%，假设可以随时存入和取出，都按照年利率 100% 折算利息，现在某个人把初始本金一元钱存入银行，那么 x 就是把一年时间分成 x 份，然后每经过 1/x 年时间时，把钱和利息取出，再次存入，每次的利息都是之前本金的 1/x，所以一年后的本金加利息就是 f(x) = (1+1/x)^x 这么多，当 x 越大，这个数值越大，并最大趋向于 e （= 2.7。。。）。如果 x = 1，则这个值 = 2。所以如果 x 大于 1 的话，那就肯定大于 2。也可以说 f(x) 是个单调递增函数，但这个函数曲线整体非常平，像一条水平直线一样。所以 f(100) > f(1)。

直接伯努力不等式 (1+x)^n≥1+nx 1.01^100=(1+0.01)^100≥1+0.01×100=1+1=2 然後這個不等式只有在n=0或1的時候等號成立，所以1.01^100>2

我数学也不大好，但感觉只用加减乘除就可以推导了，因为不用算出具体数。首先把1.01先相乘一次，就是1.01*1.01=1.0201，约等于1.02。那么一次相乘的结果比一开始的1.01这个数多了0.01（1.02-1.01=0.01），那之后每一次再相乘1.01的话，每次也一定都多出至少0.01的增长。那我们就把0.01放大到100次的增长，也就是0.01*100=1，把增长再加上原始的数值1.01，等于2.01，那这个数就已经大于2了。

會極限的話 左方是n approach 100, (*) (1+1/n)^n when n approaches positive infinity, it approaches to e given when n =1, (*) =2 given exp(x) is always increasing for all real x, when n is 100, (*) must be greater than 2

用二项式定理：(1+0.01)^100展开近似等于(其实是略大于)：(0C100)1 + (1C100)1*0.01 + (2C100)1*0.01*0.01,前两项都是1，第三项是0.495，所以1.01^100大于2.495，一定比2大

例如， 现代控制理论， 有限元分析， 计算机声频， 与图像技术， 气象学等等。 都是在研究矩阵理论。 就是大型的鸡兔同笼的问题。

令a=1.01^99, b= 1.01, 由于这两个都大于1，所以（a-1)*(b-1)>0, 分解整理可得：ab+1>a+b；将数字带入可得：1.01^99*1.01 +1>1.01^99+1.01; 化简可得：1.01^100>1.01^99+0.01；以此类推逐步降次，可得：1.01^100>1.01+0.01*99，最终可得：1.01^100>2

1.01¹⁰⁰其實就是(1+1/n)^n，n=100的結果 這個式子的n越來越大就會越來越趨近e 100已經夠大了所以會大於2,大概等於2.70

有對數表嗎？沒有對數表可以在計算器上或者Excel上找，兩邊取對數比較不就行了。 log（1.01∧100）= 100xlog1.01 把結果再和log2比較。 當然，要考學生的數學概念或者邏輯，和實際應用是可以有不同的結果的，如果只許用紙和筆來解決這個題目就可以有多種不同的方法，如果是實際應用需要比較哪個更大，滿可以用對數表，計算器或者Excel來算，快得多了。

兩邊一起log 左邊變成log1.01^100 = 100log1.01 右邊變成log2 查表，左邊那個比較大。 甚至還能夠找到，是在70次方的時候超過的。

兩邊同減1，左邊0.01*（1.01^99+1.01^98+...+1.01^2+1.01），右邊為1；接著同乘100（右邊為100），左邊1.01^99+1.01^98+...+1.01^2+1.01，有100項，且每一項都大於1，這樣就可以知道左邊大於右邊

已知lim((1+n)/n)的n次方 n趨近無限=e 當n等於1時，方成解為2 n=2 9/4 n=3 64/27 可知當n大於1時方成的值大於2

杨辉三角形，(1+0.01) 100次方的系数是 100层金字塔的杨辉三角形， 而最后一行的系数 是 1，100 ......... , 对应就是 1 + 100* 0..01 + ..... . 。 所以 大于2 。

方法1：二项展开，前两项之和为2，后边都是正数，总和肯定大于2 方法2：s(n) = (1 + 1/n)^n 对n为正整数是单调递增且有上界的，1.01^100 = s(100) > s(3) = 64/27 > 2

做二项式展开 1.01 ^ 2 = 1 + 0.01*2 + 0.01^2 > 1 + 1.01 *2 1.01 ^ 3 = 1 + 0.01*3 + 0.01^3*3 + ... > 1 + 0.01 *3 依次类推 1.01 ^ n = 1+ 0.01*n + ... > 1 + 0.01*n 当n=100时 1.01 ^ 100 = 1 + 0.01*10 + ... > 1+1=2

二項式定理， 前兩項和為2， 後面大於0。 這是容易想到的方法。 至於袁老師的方法很難想到。

最快的做法是以知1.01 ＞1所以每次乘完後數值以及其後增幅都會增加，計算1.01^1, 1.01^2的增幅，每次至少有0.0101的增幅，1.01+0.0101*100=2.02 所以1.01^100 ＞2

太簡單了(a+b)^n公式最大兩項和已經是2了。剩餘項皆大於0。

二項式定理

杨辉三角或者pascal triangle，应该是秒解。

上大學後工科的學生解這類題(大學前的數學)一定是使用工程計算機；研究所我自己的話是使用matlab或mathematica(看眼前的電腦有哪種來解遇到的數學)，不然單線性軸六自由度度誤差一般家用電腦性能解一次都幾十秒了。

還要算？ 1%複利100次跟單利100次 哪個多？

可用72法則算翻倍，馬上就知道答案。以72法則來說，1.01的72次方就大約會是2了。所以1.01的100次方絕對會大於2。

這題不需要算 只需要問一個問題就好:單利跟複利 哪個最後的錢更多? 這題直接邏輯就解了 筆都不用動

由巴斯卡三角形可知第一百零一層為: 1 100 ..........100 1 推得1.01^100=1.0(100)...(100)01 括號內為一位數 進位可得知1.01^100>2

1.01的100次方是不是就是1.01的10次方的10次方？1.01的10次方肯定＞1.1，1.1的10次方肯定＞2

這方法淺顯易懂，只要會基本的分數概念跟比大小 一些留言在那邊假會，如果連1.01×1.01都乘不出來怎麼辦?影片裡的方法甚至都不用乘法，我覺得留言的那些方法都沒這高明 天才是把複雜的東西簡單化，硬要複雜化的人只是智障

我的算法是左边相当于1每次增加结果的1%。一共增加100次。如果我1每次只增加1的1%，100次过后等于2。因为乘法肯定比加法大。所以比2大。

（1.01）¹⁰⁰=（1+0.01）¹⁰⁰ =1¹⁰⁰+C100取1×1⁹⁹×0.01¹+...... =1+100×1×0.01+...... =1+1+...... =2+......›2

用log可以算吧?

画蛇添足。直接展开(1+1/n)^n 得到常数项与一次项之和为2，再注意到因为没有负号，所以无论展开系数是什么，剩下的高次项都只能是正数，这道题就可以结束了。

(1+1/n)^n在n夠大的時候基本上可以近似於e～2.718。

二项式展开就好了呀

很简单 1.01 相当于存银行拿1%利息100年 100年单利就1 算上复利和本金大于2

這需要算嗎? 一步到位 1.01*1.01=1.0201>1.02，1.0201*1.01=1.030301>1.03....以此類推 所以，他會是一個發散的數列，而他的次方數，被乘數只會因為越來越大，後面越來越發散，意思是隨著這個數列往下長，他後面是會越來越大 光次方數等於100，小數點用進位的都等於2了，更何況是用發散的，我光就用「數感」來感覺就夠了這小數點確定發散都比2大

1.01^100 = (1+0.01)^100 With Taylor expansion its leading terms = 1 + 100(0.01) = 2

二項式定理輕鬆得到結論

因为连我这个稍微背过一下对数表的学渣都知道:100 x ln 1.01 = 0.995, antiln 0.995 约 = 2.7; 2.7 远大于 2, 所以1.01 的100 次方大于 2。 所以, 单凭记忆, 马上就可完成判断。

100次 可以使用上标显示幂 需要改进版面

這題可以變形為 1.01的幾次方 最接近 2 呢 ?

rule of 72 explains it 。 用的着那么麻烦吗？

有沒有用幾何的形式證明這個的方法呢，數字證明有很多 幾何有沒有

我也是學霸，按了七十次enter，就大於2了…🤣🤣🤣🤣不用按到一百次…

太麻煩了 N>1的情況下 N*1.01>N+0.01 故1.01的100次 即為1.01*1.01的99次 必然大於1.01+0.01*99 所以1.01的100次大於2

左边不就近似等于自然常数了么

這解法很精妙沒錯，但與其說是數學，不如說是腦筋急轉彎。

國外沒有這種題，都是用計算做題的

为啥不用（1+1/n）^n -> e，当n为一个很大的数的时候会趋近e=2.718，直接秒杀啊

看起來是二項式展開就可以證明了⋯？

兩邊取對數log 就完了

1.01的二次方大于1+0.01*2，所以1.01的一百次方大于1+0.01*100。

1.01的100次方结果接近自然常数e, 应该是大于2的

二項式定理 拆兩個你就會發現 已經>2了

讲个笑话，因为这种题是两个比较相邻的正实数，我一般会做题的时候使用对数函数加卡西欧计算器组合的方式，快速做题，在log以1。01为底，2为指数幂，然后就69.66几的时候开始永远大于，所以左边的大，是肯定的是，按计算器不是个坏习惯。

使用二項次定理

二項式展開為1+0.01*100+...即可解。

如果1.01做n次方，只要看n-1次方項就會知道1.01^100>2

二項式定理快多了

1.01^x=2 如果x>100,那2較大，反之亦言

Fun fact : lim n-> inf (1+1/n)^n = e

妙

我很好奇 為什麼不直接開log...

1块钱本金，每天盈利1%，即使本金1不变，100天也是2元。何况本金每天都在增长。

國二生的我來說一下 你們寫了那些算式基本上我都看不懂 啊但是 1.01^2約=1.02再多一點 1.01^3約=1.0303 以此類推 1.01^99最少就有1.9999了 所以 1.01^100必大於2

题目应该是1.01^70和2比大小，这样那些一眼就能看出来的就看不出来了😄

如果和1.98比呢？

看(1+x)^n的公式就知道了

投資一個基期賺1%，100個基期後。 隨便都多於兩倍的錢。 72法則聽過嗎？ 70次方左右就超過兩倍了

二项式展开

不用計算吧這題

(未看影片) 可以比較 100 log 1.01 和 log2

第一眼看我还以为2会比较大呢 因为1.01 一百次方感觉就会收敛到1.XX

Take log 不就可以了嗎

從極限來看 這題就是e的近似值

可以直接寫答案嗎? 這問題就像媽是不是女人, 可以立刻答, 較真的話要寫一堆理由證明.

單利跟複利的差距

本人用智障解法 兩項式（1+ 0.01）^100，頭3項加起來已經大於2了

抱歉我是學渣，公式看不懂、也無法持續思考三分鐘 1.01*1.01會大於1.02，由此推論100次方後肯定大於2 只要幾秒鐘不懂數學的人也能理解

計算機默默拿出來

用計算機

其實1.01^100是個接近e的數字 e又是~2.7 所以1.01^100>2

那这个大不大于3呢？

現在是凌晨3點，我該睡了但還是看完再說

？？？？？？这有难度？ 伯努利不等式秒了啊，对于n>=1，x>-1，均有(1+x)^n>=1+nx，当且仅当n=1或x=0时取等 故此(1+1/100)^100>1+(1/100)*100=2

取log，查一下log1.01是多少，結束

我只想的到用e來解😅

1.1的10次方，1.01的100次方，1.001的1000次方，1.0001的10000次方....都大于2，并且越来越接近e

小學算法,不用超出國中知識 1.01^n=1.01^n-1*1.01=1.01^n-1+0.01(1.01^n-1)>1.01^n-1+0.01 1.01^100>1.01^99+0.01 1.01^99>1.01^98+0.01 ...... 1.01^2>1.01+0.01 左方全加總>右方全加總 1.01^100+1.01^99...+1.01^2>1.01^99+1.01^98...+1.01+0.01*99 故1.01^100>2

果然神人很多 .. 算利率的 72 法則.... 72 次就加倍了... 但是 這樣答題 老師會給分嗎 ...

還是沒算出具體數值是多少。

有点金融知识的人都不会选错