神奇的伯特兰悖论：一道概率题竟然有三个不同的答案！ 

本人在初学概率导论的时候，书中提到过这个概论，它说明这样一个原理:解决一个实际问题的时候，必须建立无歧义的概率模型。谢谢李老师让我今天重温了一下。

这个概率问题非常好！这其实是引导小朋友们 critical thinking 的非常好的例子，看似一个“随机”，细心的小盆友会问，如何随机，如何具体定义这个随机，进而引发到分布，然后才会有概率论里那些看似稀奇古怪的标准定义”？我猜这才是老师讲这个视频的本质。如果将这样的思维贯彻到以后的学习生活工作中，会大有用处！标题的悖论，其实加一个引号比较好。

感覺是取樣空間的差別，就像自然數和實數都是無限多，但從離散上來講兩者個數是不同的

後面解釋很好清楚，其實就是隨機變量的域(domain)會影響到概率的分佈，所以得出不同的結果

我受的訓練是，一聽見「隨機」，就會問「分佈呢？」，所以這類問題都不是問題，一聽見什麼「隨機弦」就知道有古怪。

谢谢老师，又学到了新知识。这个问题之所以存在，是因为“随机分布的弦”不是明确的、唯一的、无歧义的。应该跟自然语言与形式语言的严谨程度有关：自然语言是人的语言，人平时并不会意识到这些不同；但是用形式语言的时候，这些差异就会显现出来。

之前還有看到有一題是： 這題答對的機率有多少？ 1. 0% 2. 25% 3. 50% 4. 100% 這算不算一種這個悖論呢？ （此題來自b站，稍有改編）

很有意思的讨论。其实如果知道概率分布的定义，就比较好理解了。只有定义了随机变量，才能谈概率分布。在正方形的例子中，如果正方形的边长 L 是一个满足均匀分布的随机变了，那么面积 S = L^2 是一个新的随机变量，但是 S 不是均匀分布的； 反过来，如果 S 是均匀分布的， L = sqrt(S) 就不是均匀分布的。 伯特兰悖论的例子里也类似，如果 theta 是一个满足均匀分布的随机变量，半径上的点的位置 d = f(theta) 是一个新的随机变量，那就不是均匀分布了； 反之类似

太妙了，虽然不学数学很多年了，但仍然对这门学科很感兴趣，李老师能通俗的给大家讲懂，很感谢！

这个评论区下有人认为1对，有人认为2对，也有人认为3对，你们都没有理解李老师这个视频的内涵。这三种方法在各自的情景下都是对的，产生不同答案的原因在于弦的随机本身就没有在问题中给出来。 看完视频你就能明白，所谓“随机”，在数学上，你必须要讲清楚它服从什么样的分布，也就是是什么导致了“随机”的产生，这也是导致三种弦产生方法的原因。你题目本身没有讲清楚，我当然可以说我的方法是对的，如果你能找到其他的方法产生随机弦进而算出了一个完全不同的答案，你的方法当然也可以是对的，这是因为产生“随机”的情况变了。 其实想到这一层就更加觉得现实世界就是个计算机模拟的程序了，因为计算机无法理解“随机”的概念，你让计算机产生一个随机，你也必须清晰地告诉他是怎么产生的。

這就像要你去菜市場買水果一樣，你可以買蘋果，香蕉或芭樂，每種水果都是正確答案，但今天我再規定只能買紅色的水果，那答案才會是蘋果。所以它成為悖論最大的原因是，它讓你以為它的條件足以讓你找到唯一解，但其實不能。

看了眾多大神的解釋，得出一個算是能說服自己的概念，不知道理解的對不對。 結論就是生成弦的條件會影響弦的分佈。 但有個疑問是，分佈的不同不是也代表不同區域會獲得的弦並非完全均勻？ 這樣的話還算是符合「隨機弦」的條件嗎？ 如果生成弦的方式用以下方式生成有沒有可能成功達到均勻呢 無限大的空間內隨機生成一點，然後360度夾角線段全部生成，取穿過圓的線段作為隨機弦。

也许可以这么理解：概率只是人类的观察和理解，并不是客观事实。这就像量子纠缠，人类的观点并不是正确的。

第一种方法对应的是这样的问法：已知圆周上两个点X，Y相互独立。随机变量A，B分别表示两个点在圆周上的角度（在以圆心为原点的极坐标下）。有 A、B相互独立且在0～2pi上均匀分布： p(A) ~ uniform(0, 2pi) p(B) ~ uniform(0, 2pi) 设弦XY长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。 李老师的解释很棒，严格用概率语言就是，如果X, Y两点中有一点固定，不妨设X固定在x点 （此时A=a），即三角形某个顶点，则按照视频里的图形所示，Pr(C > 三角形边长 ｜ A=a) = 1/3. 我们有联合概率分布 Pr(C > 三角形边长, A=a) = 1/3 * 1/(2pi). 在0～2pi上积分消掉A就得到Pr(C > 三角形边长) = 1/3. 第二种方法对应的是这样的问法：已知圆周上有一点X，随机变量A表示该点在圆周上的角度（在以圆心为原点的极坐标）。A在0～2pi上均匀分布，即p(A) ~ uniform(0, 2pi). 在半径OX上有任意一点Y，随机变量B表示OY的长度。不妨设此为单位圆，则B在0～1上均匀分布，即 p(B|A) ~ uniform(0, 1). 过点Y作垂直于半径的弦MN. 设弦MN长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。 按李老师所述，当X处于任意一点x时 （A=a），Pr(C > 三角形边长 ｜ A=a) = Pr( B < 1/2 ｜ A=a) = 1/2。 我们有联合概率分布 Pr(C > 三角形边长, A=a) = 1/2 * 1/(2pi). 同样在0～2pi上积分消掉A就得到Pr(C > 三角形边长) = 1/2. 第三种方法对应的是更简单的问法：单位圆内有一个半径为1/2的小圆。如果有一点X，均匀落在这个单位圆内，则其落在这个半径1/2的小圆内的概率是？答案是小、大圆的面积之比，1/4. 实际上，我们换一种假设随机性的方式还能得出不同的答案。比如，我们这样来描述随机性：已知单位圆内有任意一点X, 其极坐标A, B为相互独立的随机变量，p(A) ~ uniform(0, 1)，p(B) ~ uniform(0, 2pi)。过点X作垂直于OX的弦MN。设弦MN长度为随机变量C，求Pr(C > 三角形边长)。此时我们有Pr(C > 三角形边长) = Pr(X(A, B)落在半径为1/2的小圆内部) = Pr(A

很想看一下计算机模拟，6:40，当样本足够多的情况下，圆内部不同区域被线覆盖的密度是否一样。

感谢李老师让我理解了概率分布的概念。但弄懂这个概念以后，我反而觉得1/3才是这个问题的答案。根据圆的定义，同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，我们可以认为这些点的分布是连续且稠密的。这样的话就只有第一种方法的随机取点的概率分布是均匀的，第二种方法势必导致圆上的点的分布是不均匀的，那就不符合圆的定义了，只能说是一个像“圆”的图形。第三种方法也不成立是因为我们讨论的圆的定义就是空心圆，圆内没有点，第三种假设圆内点均匀分布讨论的是实心圆。所以我认为当我们严格限定了伯特兰悖论中的圆的定义的话，就只有1/3才是答案了。

老师！一人血书求讲p vs np hard问题😫😫😫😫

第一次了解到這個悖論，我認為很有趣，甚至可以說明生活，就算理論是合理的，切入點不同結果便不同，彼此對隨機的定義不同所以假設的內容也有所差別，感謝永樂老師的講解

专家说，随机抽取上海静安区居民存款记录，调查发现，目前中国家庭平均存款约为60万元。我觉得没有任何毛病。

我曾经看见一个答案会变的问题，如下： 如果随机选择这一题的答案，那么答案正确的机会是多少？ A. 25% B. 60% C. 50% D. 25% 正常来说四选一正确概率是25%，但是答案有两个"25%"，所以正确概率是50%。但是作为答案的"50%"只有一个，所以正确概率是25%，持续循环

替李老师捉只虫：三角形在圆内的是内接（圆即三角形外接圆），在圆外叫外切（或叫三角形内切一圆亦可）

前兩種方法讓我感覺並沒有考慮到所有的情況，目標是隨機取弦，第一種方法限定從某一點出發，第二種又限定在給定的半徑上取點，只有第三種比較接近所謂的亂取吧，雖然我不會計算，但有人要你亂取一條弦的時候，我們討論的應該是ㄧ筆隨便把圓切開就是了，還用ㄧ些前置取弦條件不就很容易陷入邏輯盲點嗎，就像老師最後提到的中彩票機率問題一樣，有些人覺得只分中跟沒中，所以50%，那不明顯是沒有考慮到所有情況的理解嗎哈

不应该把所有概率加起来吗？1/2 + 1/3 + 1/4 因为这些概率的出发点都不一样，感觉夸张了😅

李老師可不可以多講一點這種機率（概率）的問題 像是三門選擇或抽獎之類的 我覺得那種違反悖論的問題都好難 好奇怪喔 哈哈 現在幾乎都是靠硬記硬背 如果要證明還真不一定會證😅

这个难得一次，我自己就看出来问题所在，虽然没有李老师最后说的那个解释那么完美，可是方向是一致的，三种方法的随机分布是不一样的

講解得非常簡潔、清晰而有條理，即使第一次聽到這個術語也可以輕易理解、增長知識，感謝老師!

我的第一反应是，所谓概率是指地位等价的离散事件。连续空间没有所谓的离散事件，所以讨论概率是毫无意义的。为了在离散和连续空间建立联系，就必须人为地搭一个桥梁，让一部分连续量值等价于一个独立事件。怎么建立这个桥梁，就决定了怎么计算概率。视频里提到的三种方法，分别对应的是三种搭桥方式。可以想像，由于搭桥方式完全是人为定义的，所以可以找到无穷多种方式，得到无穷多种正确的概率答案。

一支栗米賣三元，你可以怎麼付錢去買到這支栗米？我可以拿出十元硬幣、五元硬幣、三個一元硬幣，這三個不同的答案會不會引發悖論？ XD 沒隨機因素的哦

连续空间的每一小段都有无穷个点，所以计算概率时，分母和分子都是无穷大，计算结果毫无意义，原题本身是伪问题。解决办法是可以规定一段连续空间的量值对应多少个离散空间的事件，从而把分子和分母都减少到非无穷大。这种规定完全是人为任意决定的。

到底上期的4隻鴨子問題會不會產生伯特蘭悖論？學完這一集之後，我認為是會的。 只要我們逆向思維，反向操作，執拗於語言和文字的漏洞，盡可能將隨機的變數和變量擴大就可以了。比如說： 如何定義隨機的水池？平面面積還是儲水容積？ 如何定義隨機的鴨子？大鴨小鴨公鴨母鴨的概率？ 那麼最終就能逼得2個碩士生只能以武力去解決這個問題。我們就能吃瓜看打架了。

現在的小朋友連伯特蘭悖論都會嗎？

謝謝老師講解得很清楚 想請問後面圖形模擬是用什麼程式做出來的

假設----只是假設----計算方法有錯誤,那麼用電腦模擬還是一樣錯誤,所以不會顯現不同的結果

其实只要理解了随机取弦和随机取半径点不等价就很简单了。半径上等概率取的点对应的弦在圆上是不等概率的。

看待事物的角度不同罢了，十个人随机抽取两个人枪毙，对于机器人来说所有人概率都一样，对于老和尚来说妇女儿童概率更小，对于变态来说小孩女人概率更高

機率不能跨越題目相乘 跨題取機率會造成答案的不同 就跟全球取戴眼鏡的人 你用近視的人、花過錢買近視眼鏡 甚至是1-不戴眼鏡的人 答案都不會是一樣的 因為沒有人可以證明近視一定會戴眼鏡 沒證明買過眼鏡的人一定會戴 而是：1-沒戴近視眼鏡的人才是正解 同一個圓用三種取機率的方法 全都是不一樣的取法 ”圓裡取弦長”跟“內切三角形”是兩個不一樣的概念 弦取的是兩點一線 代表在圓上有兩個點的機率分布 內切三角形的邊長是定值 第一個解法會導致弦固定成一個機率分布 第二個解法也是固定了一個點 第三個解法直接忽略了弦中點不一定垂直圓心 加入忽略的因素就是正解

我在韩国 z昨天发生了踩踏事件 ， 很想知道踩踏事件怎么发生 发生地点 下坡 路 四米宽 ，前后都有人 中间这一横的位置

就是要定义随机变量从omega映射到哪 然后就有push forward measure

同意第一種畫弦方法，最為簡潔明瞭。後兩者的輔助線將概率分佈改變了

簡單來說，就像是問明天早餐喝牛奶的機率有多少，卻沒有指定早餐是誰吃的

题干条件本身模糊，没有指定概率密度，三种解法对应的概率密度明显不同。这种问题也只有连续模型才会出现，古典离散概型不会出现。

李老师，那个不叫内切三角形，叫内接三角形。❤

是有點類似拋出硬幣後落到地面時，硬幣會是反面或是正面的概率是多少這樣嗎? 高中水平只會是1/2，但在專門的統計學科裡就把兩面圖案不一樣而出現兩面重量分別會不一樣從而某一面向天的概率會高點，再進一步又會考慮到以甚麼角度跟地面碰撞，又要多考慮這角度碰撞機率又是多少之類........ 真複雜...........

这算毛悖论。我这个概率差点不及格的人都看得出来他取随机弦的方法有非常大的问题，根本不包含所有可能。

有沒有人不給電腦設定算法,就是讓它隨機畫弦,再統計結果看看?

11：49 開始 為什麼1是均勻的所以2就是不均勻的。 似懂非懂。貌似是說因為這兩個p不同，可見如果1為均勻，2即為不均勻 反之亦然。但好像這麼理解邏輯有點奇怪。有沒有更好的理解方式？

No, in the first case, the answer obtained is on condition that one of the of the 3 possible vertices is chosen. Similarly for the second attempt, it is probability given one of 3 sides is chosen. No, unresolved paradox here.

就好比：买彩票，如果“粗略地”说结果在“中奖”和“不中奖”中随机分布，如果我们不知道具体号码有多少个，而是简单把这个条件当作平均分布的结果，那就得出中奖概率是二分之一的荒谬结论，这里面就把中奖和不中奖看成概率相同了，但其实“中奖”和“不中奖”不是等概率的。对应到视频里的这个问题，就是一个“模糊的”条件，通过不同的方法，把它转换解释成了不同的平均分布，就像在彩票里加入了更确切的条件，比如号码数量，又比如这个彩票不是根据号码来的，而是根据某场体育运动比赛结果来的，其实就是对条件里的“随机”进行了二次解释，本质上改变了条件 ，解释的方式不同，条件也就不同，平均分布的变量也就不同，结果自然也就不同。

又看懂了一期

我觉得应该用极限来解释，就是两个函数相除，趋于极限时，结果与函数本身有关。毕竟做线是做了无数条，两个无穷大相除可能是无穷大，也可能是常数。哇，我太佩服我自己了！

这其实就是人类认知思维的漏洞，数学本质是人类构建的一种逻辑系统，我们利用这一模型来理解这个混沌的世界，首先是定义事务的个体特征，我们通常利用某一元素的独有特征来区分定义这一元素，事务边界化定义完成后，我们在利用元素之间的差异、坐标、规则，来模拟构建系统，进而来模拟事物本身，但这一模型在构建时常常会出现问题，比如在第一步，我们在描述定义事物时，我们通常会简化事物的特征（比如这道概率题，我们将其简化为某一随机问题，模糊宽泛了定义的阈值）这就导致我们对事物的描述和定义是不正确的，其实人类视野只能身处某一维度，因此我们对事物的定义也只是某一维度的简化描述，这种逻辑这是一种宽泛的独有视野下的认知。

第一個算法符合原始假設，兩個點都在弦上(在圓的圓周上），第二跟第三算是用二次算法推導。

老师可以讲一期，你用的模拟软件是什么以及如何模拟数学模型。😁

個人認為應是算隨機綫，為何計算時變成隨基點？a和b答案，用來產生綫的點已被定條件，不算隨機，c用內圖計算隨機點機率看似合理，但袛有內圖的點才能產生無限的綫，在內圖和外圓之間的點產生的綫是數量是有限制，不可穿越內圓，所以能產生大於對等三角形邊的綫機會是無限和有限之間的分別，純粹個人意見，不敢挑戰數學大師

我是歐幾里得學派, 我只承認第一種結果.

一個圓是否有無限多條弦？ 若有無限多條弦是否可以找到無限多條比正三角形邊長還長的弦？ 也可以找到無限多條比正三角形邊長還短的弦 無限多條除以無限多條 無解？😂

謝謝老師，我腦細胞又死了不少🙏

贝叶斯定理按我的理解是，先出现什么事件，再出现什么事件，再再出现什么事件，这些事件的先后出现都对明天太阳能不能升起的判断起到了判断能的作用，然后明天太阳能不能升起的概率就不是只有50%和100%两种概率了

均匀分布是理想化的脑补，在真实世界中就必须考虑频率密度啦。

我觉得李老师错了。随机弦的计算方式只有随机中点发是正确的，因为所有的随机中点不同时弦也不同所以没有重合的弦。但是前两种都会有重复的弦的可能没有去重。所以这个不是悖论。通货观察计算机生成的弦的密度也能看出显然弦不是均匀分布的，有的地方很密集。

前面看到悖論，很快就想起那個簡單解釋：「買彩票中獎，結果只有忠、不中，但顯然中獎概率不是1/2」，推到這一題就是隨機取弦，真的是隨機的嗎?會不會根據取法不同而使每種取樣方式並非均勻分布？果然老師後面就有補充到

11:20我觉得解释的不太严谨，因为如果角度均匀的话，就不能取弧长了。因为直接映射过去应该是不均匀的。两边占据的映射点更稀疏。虽然答案都是三分之一。严谨的思路应该是另一点在整段圆弧上概率均匀分布。也可以理解为圆心角三百六十度均匀分布。

李老师，把刘海梳起来吧，要不我总觉得旁边有个女学生……

很显然，任何没有严谨定义的命题，不可能有唯一的答案

这道题虽然是自然语言定义的，但我认为答案仍然只有一个。我们可以设定一种场景，一个人拿着一根竹竿（长度为三角形边长）从高空往井里，假定一旦人在空中就不能改变方向和位置，但可以沿竹竿的方向移动，现在赌注来了，如果你的杆子比其切的玄长，你就生存下来了，否则就掉进井里了。这个是否你要下堵住，下注多少，就要计算概率了，大家认为用那种方式算更准确呢？我们总说你说得不严谨，如果真要你解决问题，就不是定义的问题，而是要解决我们的生成实践，建立一个正确的概率模型呢。这个”正确的概率模型“该是哪个呢？但我能肯定，不管哪个，只能是一个，答案不可能是两个。多跳几次，1/2 还是1/3可以分得出的。

只要遇到概率和無限 數學都會出問題

1.A可能=B 2.A可以=B 3.O不能等於M 這是缺陷

波特兰悖论，贝特朗奇论，不看英文真容易以为是两个东西

感觉是不是跟“圆里弦的个数是何种无穷”有关？如果是实平面上的圆那就是不可数无穷，第三种情况合理一些；话说这三种情况都是对于圆内弦一一对应到其他玩意的一种合理解释，所以会比较难找出正确答案

三角形这种情况是内接吧，内切应该指的是圆与凸多边形的边相切的情况啊

就是一个概率分布的均匀性问题。随机不等于均匀。

提醒一下老师，这个叫内接三角形，不是内切哈~

彩票中奖的概率是1/2：你是托就是1，不是托就是0

概率是定义在随机试验上，这是三种不同的随机画法，所以是三种不同的随机试验，因此概率不同。其中随机中点法应是真正的，无附加条件的随机画法。

应该是内接三角形不是内切三角形

说到底这不是真随机，都是有条件的随机

这三个规则都不一样搞什么，根本不存在悖论

李老師好！ 老師變瘦了是嗎？

李老师能不能说说我们是如何感觉到冷的，像我们都知道热是通过分子的运动来传递，但是是冷是怎么让我们感知或者捕获到的呢

难怪老觉得概率学不好，原来不是数学课上老师的唯一解才对，分法不同答案不同是正常的。小时候还觉得get不到老师的点，其实那也就是其中一种较为合理的解释罢了。

很多简单粗暴的人基本上不懂每一个事件的出发点都不一样的，所以很多问题不是简单的可以得到答案。

Bayesian vs. frequentist!!!困扰了我一年多的问题

这个悖论是无限可分的连续变量和离散量之间的区别造成的，也就是视频最后所谓的相对于谁的均匀概率分布。

要考虑到所有的弦再求比值才是正确的。答案是唯一的1/4。解一无法去重复，解二需去重复。解三标题容易误导，其实已考虑所有弦。我用的其他解法。

感觉1不知道怎么反驳，2和3显然不是随机。应该在园内均匀分布。可以先随机取一个点，再随机360°求分布

可能都相當聰明 覺得李永樂老師跟富堅義博先生氣質有點相似？

道理是同一个系统里，一个量均匀变化时，其它量往往不是均匀变化的 告诉我们做事时不能以己度人

能不能在计算机上不设置任何方法，就只是随机的画弦，然后看概率趋于多少，这不就是真正的答案了吗？

豆瓣里《一的法则》是本邪教书吗？ 李老师好！

一個無限大的數字如何計算概率 笑

牵扯到无穷时，不能轻易假设二者相同

有些好奇明天要麼下雨要麼不下 假設一天下雨概率為p% 在明天每小時下雨的概率也應該是p%（一天天氣不會怎樣變） 但是24小時也不下雨的概率是（1-p%)^24 是不是與假設一天下雨概率為p%矛盾

我就是那個在上期中留言提問的其中一個 "小朋友" 😂

如果愿意进行完全的随机模拟的话，应该是一个圆的内部有任意线条（排除掉不经过园内的线条），该直线与圆（半径为1个单位）相交的弦长，长度大于内接正三角形的边长（根号3）的概率。 这类似于“切蛋糕”，是一个在面积层面的随机分布，这个交线不一定会经过某个点，不一定在某个线段上（对应的前提是有限制的），只是在面积层面是随机的。所以最终的模拟结果应该是接近于随机中点法的结果，概率为1/4。

還是有點不懂，三種方法得出不同概率的原因是因為任一種方法都並非包含了一個圓的所有弦嗎? 就例如 用方法1的某條弦其實無法用方法2畫出來，是因為這樣嗎?如果是的話這題有真正的答案嗎?

永乐老师说的对，这道题不是讨论哪个答案对，哪个答案错的问题。是分析问题的角度不同。3个解题思路分别是：“点，线，面”3个不同的视觉角度。第1个方法是假定你就站在这个圆环上去划线。第2个方法是假定你仅从平面的一个方向上（比如从上至下）去划线。等3个方法是假定你在空中俯视这个平面圆，随意划线。特别是在统计学里，从不同的角度，观点出发，会得出不同的统计数字，很正常的事情。

分部密度问题，即使都是无穷多、无穷大，密度也是有区别的，也是不均匀的

随机长度很明显说的是长度从0到2R平均分布。所以三种解法都不对。

内切 内接

這是一個無限的概念，看你怎麼分