여러분 안녕, 배티입니다. 역사상 가장 위대한 과학서(수학서)는 ＜유클리드 원론＞ ＜프린키피아＞ 두 권입니다. 이 두 권의 책을 통해 인류는 80분의 1에 해당하는 짧은 시간 동안 수학, 과학의 혁명을 일으켜 폭발적으로 문명을 만들 수 있었습니다 👍🏽👍🏽 그래서 오늘 수업은 도대체 이 두 권의 책이 어떤 점이 위대한 건지 알아보고, 이를 통해 현대인들이 압도적으로 수학을 잘하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 특별히 슈타인 샘을 초빙하여 인터뷰를 진행했습니다. 극한직업이 따로 없습니다. 지금부터 스타트합니다 🚘🚘🚘 [목차] 0:00 인트로 1:58 유클리드 원론 3:22 프린키피아 5:11 압도적인 수학 공부법 📌 매스프레소 영상을 정주행한 분들은 5:11부터 보셔도 됩니다. 🔹 유튜브 채널 매스프레소 www.youtube.com/@MathPresso 🔹 칠판없는 수학 교실 철벽수학 손필기 수업 www.cbmath.com 🔹 업무제휴 & 수강문의 cbmath@cbmath.com 02) 3442-0007
연역적 사고가 얼마나 중요한지 학창 시절에 알았더라면 수학과 조금 더 친할 수 있었을 것 같았는데 그 때는 알지 못했네요 ㅎㅎ 지금이라도 깨달아서 다행입니다^^ 어떤 정의와 개념이 나왔을 때 아 그렇구나~ 하고 당연히 받아드리는 것이 아니라 왜 그럴까?에 대해 한 번 더 생각 할 수 있다면 수학이라는 학문에 대해 이전보다 새롭게 느낄 수 있을 것 같네요. 항상 잘 보고 있습니다! 연말 마무리 잘 하시고 올 한해도 수고 많으셨습니다~
수학을 제대로 공부하고 싶은 학생입니다. (32살..) 처음 공부한다 보면 됩니다. 분수도 몰라요. (1/2 같은 분수요.. 제 분수를 모르는것이 아니라..) 저는 말씀하신 것처럼 연역적 수학을 배우고 싶습니다. 스스로 생각하고 찾아내고 증명하는거요 (맞나요...? 틀린거같긴한데 의미만 알아주세요) 철벽수학에서 공부하면 연역적 수학을 배울 수 있나요?
공리랑 정의는 증명이 있는 명제가 아니지만, 저는 저 나름대로 합리적인 이유를 대며 공리랑 정의를 받아들입니다. '두 점을 지나는 직선은 그을 수 있다'가 유클리드 기하학의 공리이지만, 저는 이게 자신만의 논리로 증명이 가능한 명제라고 생각하고 증명해보는 과정을 거친 다음 받아들입니다. (만약 두 점이 있는데 두 점을 그을 수 없는 경우가 존재할까? 라는 식으로 생각해봅니다. 제 머리속으로 이 경우를 찾을려고 해도 못찾겠으니 이건 공리구나 하고 받아들이죠.) 공리에 의미를 부여하는 것도 기계적인 사고에서 벗어나는 괜찮은 훈련법이라고 생각합니다. 왜 세상은 이런 식으로 증명이 필요없는 공리로 구성되어있지 라는 철학적 생각도 해보게 되고요.
매스프레소 채널에 오랜만에 옵니다! 덕분에 수능 괜찮게 봤어요. 감사합니다!! 요즘은 고민하던거 답을 많이 찾은거 같아요. 그나저나 이번영상에 수학을 공부한다는 분 댓글에 적어주신 답글에 질문할 점이 있어서 댓글을 달게 되었어요. 레퍼런스 없이 증명에 도전해야 하는 이유가 있을까요? 그리고 피타고라스 증명이 채택된 이유가 있을까요? 연역법으로 수학을 접하는건 그냥 증명을 보면서 연역적인 과정이 펼쳐지는것을 눈여겨 살펴보면 되지 않나요? 최초의 전제에서 결론으로 이어지는 그 연역적인 과정에 고개를 끄덕일줄 아면 되는게 아닐까요? 그리고 기억만이 생각되는 것이기때문에 암기는 필수 아닌가요? 수학이 연역적인 학문이라는 것을 직접적으로 느끼게 하기위해서 그렇게 설계한걸까요? 아무래도 그냥 읽어서 보는것은(저는 이해할순 없지만) 암기만 하려드는 사람들의 버릇이 나올 수 있어서? 그치만 읽고 이해하면 되는게 아닌가요? 저는 학교에서 배운 나눗셈 방법에 대해서 다시 생각하고 있는 중이긴 합니다만.. 증명이 다른 것이라도 상관없을까요? 마침 제가 증명을 까먹은 제곱근 2의 실수형태구하는 방법? 그거 도전중이거든요. 다음은 그 댓글과는 많이 유관하진 않지만 더불어 궁금해진 점에 대해서 입니다. 스스로 직접 생각해야 되는거면, 교과서는 도대체 왜 그런 형태(예제,증명 해설,답안지 등등)로 만들어졌을까요? 단지 학생에게 어떤 기대도 하지 않기 때문일까요? 너희들이 역사에 남을 천재가 아니라고 생각하고 또, 기대도 안하기때문에 암기해서라도 계산이라도 해봐라. 라는 의미로 교과서를 쉽게 편성했다? 그러다가 진짜 관심을 가진 천재들이 그런 교과서에 맞춰져서 천재성을 잊고 살게 되면요? 전세계에서 머리 잘쓰는 사람들이 자신들이 학습하던 방법을 AI에 구현하고 있듯이 교과서도 그런게 아니었나요? 예제같은게 도대체 왜있는지 모르겠구요. 유형을 왜 나눠서 대비 해야되는지도 모르겠구요. 하물며 증명을 써놨다는것도 이해가 안가요. 전부 지워버리고 문제도 스스로 만들게 하면 안될까요? 학생한텐 레퍼런스를 받은 스승만 있고, 스승은 레퍼런스를 바탕으로 생각이 유도될 수 있도록 힌트만 주는거죠. 진짜 국력을 위해서, 국력에 미친 국가라면... 이것도 실현해 보는게 어떨까요? 만약 적절한 형태의 교과서를 만든다면 어떤 형태일까요? 약속과 기초개념빼고는 전부 백지로 비워버리고 학생이 다 채우기전까진 졸업 안시키는게 수학을 잘하게 되는 최선 아닐까요? 정말 스스로 생각해내는 것이 그렇게 중요하다면 우리 앞에서 어휘책과 상식을 제외한 모든 책을 집어치워버리고 스승이 잘 보필할 수 있도록 앞에 놔둔뒤에 백지를 다 채울때까지 절대로 학교에서 내보내주지 않는게 맞지 않을까요? 그냥 궁금합니다!! 이에 대해 어떻게 생각하시는지요? 학생이 소설 10권, 만화 10권, 음악 10곡, 미술작품 10곡 등등등의 창작작품 심사 합격 이익 도모 가능. 합동 창작 작품 1개. 매일매일 체력장과 탈무드 토론 대회,. 그 외 선택과목들 이수 및 수학 커리큘럼 모두 스스로 증명, 5개국어까지 할때까지 졸업 안시켜주는건 어떻게 생각해요? 이왕 입시판으로 만든거 정말 학교에서 배운게 쓸모있게 만들기 위해서 말이죠. 학년이 아니라, 저걸 다 하면 바로 학교가 끝나는거죠. 그리고 바로 대학교를 들어가는 겁니다. 선조들의 시행착오가 담긴 레퍼런스 많이 아는 것도 충분한 사고력 진전에 도움이 많이 되지 않을까요? 수명이 만약 무한대인 사람이라면 레퍼런스 없이 독방에 갇혀서 스스로 모두 증명할때까지 안나오는게 최고의 수학자가 되는길에 맞지 않을까요? 과연 내 사고력이라는것이 내 스스로 생각하는 것에 비롯된다면 도대체 어디까지 독립해야 되는걸까요? 추론을 패러디하거나 오마주하거나, 훔치거나 해서는 안되는걸까요?
경험과 레퍼런스는 중요합니다. 이미 알게 모르게 배어있죠. 중요한 것은 어떤 이론을 받아들일때, 무작정 받아들이지말고, 잠시 멈춰서서 스스로 증명을 해보는 습관입니다. 특히 피타고라스 정리와 같은 중고등학교 수준의 수학은 그렇게 알게 된 것과 무작정 외우는 것은 차이가 많습니다. "삼각형의 무게중심은 중선을 꼭짓점으로 부터 2:1로 내분한다"라는 명제도 그냥 받아들은 것인지, 증명으로 해본것인지 생각해보세요. 이는 평소에 수학 문제를 풀거나, 일상에서 요리를 할 때도 무작정 매뉴얼을 꿀꺽 삼키는가, 왜 그런지 생각해보는가와 관련이 있습니다. 세상 모든 것을 연역적으로 알 수는 없지만, 수학에서 연역적 사고는 매우 중요합니다.
아! 이해됐어요. 중요한 버릇같은걸 말씀하신거였네요. 피타고라스 정리가 참이라고 그냥 받아들이지 말고, 왜 참인지에 대해서 생각해보자는 말씀이시군요!! 예를 들면 밥을 먹어야 배부르다는 당연한것도 굳이 밥을 먹어야만 배고픔이 달래지는지, 한번 의심해볼 수 있겠구요. 자연철학자들이 물이 흐르는 것을 보고 물이 흐르는 갑다. 이러는게 아니라 물이 왜 흐르는지 궁금해하듯이!! 수학교과서는 그런 왜?에 대한 답을 수록해놓은 것이었구요.중요한건 참인 명제를 여럿이 아는게 아니라, 명제를 증명하는 습관!! 기본중의 기본에 관한 말씀이셨군요!! 그 경험과 레퍼런스들을 받아들일때 그냥 그런갑다. 하지말고 다시 생각해보는 버릇!! 사과는 왜 빨갛지? 어떻게 빨갛지? 언제 빨갛지? 등등등... 당연하게 보지 말고 생각해라.!! 이해됐습니다!! 수학교과서가 왜 그렇게 설계됐는지도 알게됐어요. 교과서 제작자가 우리에게 그걸 말해주고 싶었나보네요 ㅎㅎㅎ. 철학 소개한 도서같은것도 누가 언제 어떤 배경에서 무엇에 대한 철학을 내놓았는데, 내용은 이렇다. 그것은 이런이런 영향과 평가가 남았으며 의의는 이렇다. 식으로 나오잖아요? 그 누구도 이걸 스스로 생각해야 철학자가 된다고 생각하지 않지만요. 단지 세상을 그렇게 설명하는 방식과, 생각하는 방식을 따라 보고 배우면서 점차 그런식으로 생각하고 표현하는 방법을 익히는거예요. 수학도 마찬가지 인거죠. 수학적인 개념이 약속과 더불어 증명을 써놨을때, 이걸 내가 생각해냈어야 하는데!하는 아쉬움이 아니라, 아하 이런 패턴을 추측했고, 진실로 밝혀졌구나? 과연 이게 왜 참일까? 아하 이런 과정을 통해 나오는 것이구나? 를 경험해보면서 마찬가지로 수학적으로 생각하고 표현하는 법을 배우는것이죠. 세상을 설명할줄 알아야 한다. 그것이 밝을 철자를 쓰는 철학의 뜻이자, 모든 학문의 목표니까요. 설명해야 한다. 설명할 수 없다는 것조차 설명해야 한다. 그게 수학쪽으로 가면 증명이 되는거군요?? 수학에 가지고 있던 오랜 한이 풀리는 느낌입니다. 진짜 감사드립니다. 장문의 질문에 언제나 성의껏 답변해주셔서 정말 감사합니다!!! @@MathPresso
너무 좋습니다. 이렇게 계속 거슬러 올라가면 소위 "궁극의 질문"을 만나게 됩니다. 물론 모든 궁극의 질문이 해결되진 않고, 연역법과 귀납법의 경계가 애매한 경우도 많지만, 세상 모든 지식 앞에 잠시 멈추어서서, 그 지식을 영접하는 시간.... 이게 바로 "why"라는 질문일 것 같습니다.
트집 잡는 건 아니고 그냥 좀 덧 붙여 이야기해보자면, 사실 아인슈타인의 논문에 그의 아내인 밀레바 마리치가 기여했다는 이야기는 일부는 사실이고 일부는 아닙니다. 대학 재학 시절 논문 편찬에 도움을 준 것은 맞으나 아인슈타인을 유명하게한 1905년의 굵직한 논문들에 기여했다는 근거는 없습니다. 실제로 아인슈타인은 대학 졸업에 성공했고 밀레바 미리치는 수학 점수가 문제가 되어 두번이나 졸업에 실패했다고 합니다. 그리고 논란의 시초가 된 논문에 쓰여있는 '아인슈타인-마리치'는 당시 스위스에서 관습적으로 서명할 때 아내의 옛 성을 붙여넣던 방식이라고 합니다. 심지어 그 당시 밀레나 마리치는 결혼한 후 였기에 이미 '밀레나 아인슈타인'이였다고 합니다.
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