A+1=A A+A=A A×A=A 헐, 이런 황당한 계산법이 통하는 그곳은 신들이 살고 있는 무한의 세계입니다. ----------------- 여러분 안녕, 배티입니다. 인류 지성사에는 한마디로 미친 이론이 많습니다. 뉴턴의 역학 법칙, 오일러 공식, 아인슈타인의 상대성 이론, 괴델의 불완전성 정리... 등등 그런데, 이 중에서도 그 창의성으로만 봤을 때 칸토어의 발상은 수학사는 물론 인류 지성사에서 가장 압도적인 사건입니다. 이번 수업은 이런 위대한 성과를 내고도 인정받지 못하고 정신병원에서 생을 마감한 칸토어가 남긴 알레프 수, 대각선 논법, 연속체 가설을 힐베르트 호텔 에피소드를 통해 살펴보겠습니다. 지금부터 스타트합니다 🚘🚘🚘 [목차] 0:00 인트로 1:09 힐베르트 호텔 3:03 알레프 수와 연속체 가설 🔹 유튜브 채널 매스프레소 www.youtube.com/@MathPresso 🔹 철벽수학 손필기 수업 www.cbmath.com 🔹 업무제휴 & 수강문의 cbmath@cbmath.com 02) 3442-0007
5:18 자연수 집합의 크기가 알레프 0인 이유는 무한집합 중에서 가장 크기가 작은 무한집합이기 때문입니다. 즉 여기서 '0'은 '서수'로서 쓰입니다. 따라서 알레프 1은 자연수 집합보다 크기가 큰 무한집합 중에서 크기가 가장 작은, 쉽게 말하면 자연수 집합 다음이 되는 셈인 무한집합의 크기를 말하는 것입니다. 그런데 실수 집합의 크기는 연속체 가설에 따라 알레프 1이 될 수도, 안 될 수도 있습니다. 원래 실수 집합의 크기는 베트(알레프 다음 알파벳) 1이었으며, 연속체 가설의 원래 진술은 '알레프 0와 베트 1 사이의 크기를 갖는 집합은 존재하지 않는다.'였습니다. 그런데 이것이 괴델과 코헨에 의해 각각 거짓임과 참임을 증명하는 것이 불가능하다는 게 증명, 즉 연속체 가설의 참/거짓을 판별하는 것이 불가능하다는 것이 밝혀지게 되었습니다. 따라서 실수 집합의 크기가 알레프 1이 되는 여부는 연속체 가설의 수용 여부에 따라 결정되기 때문에 실수 집합의 크기를 알레프 1이라고 단정지을 수 없습니다.
'모든 삼각형의 개수는 직각 삼각형의 개수와 같다'라는 가설을 세우고 탐구를 진행해보았습니다. 1. 모든 삼각형은 원 위에 존재한다.(=한 원위에 존재하는 삼각형의 개수가 같음을 증명할 경우 모든 경우에서 성립한다. 2. 탈레스 정리에 의해 지름에 대한 원주각은 90도이다. 따라서 지름과 지름 위에 있지않은 한 점을 고를경우 직각삼각형이 결정된다. 3.원위의 세 점을 고를경우 삼각형이 결정된다. 4. (2)의 경우에서 고를 수 있는 경우는 실수 무한x실수 무한 이고 (3)의 경우는 (실수 무한)^3이므로 유리수의 개수=자연수 개수때처럼 생각하면 (자연수무한)^2=자연수무한이므로 성립한다 이러한 과정에서 오류가 있거나 보충해야 할 부분을 설명해주실 수 있을까요?
수직선 위의 격자점(정수)과 좌표 평면 위의 격자점(정수, 정수) 사이에는 일대일대응이 성립 합니다. 이는 카운터블 무한집합이라 그렇습니다. 하지만 언카운터블(비가산)인 수직선 위의 모든 점(실수)과 좌표 평면 모든 점(실수,실수) 사이에는 일대일대응 성립 하지 않습니다. 차원이 같지 않아 일대일 대응을 만들 수 없습니다. 점과 선 사이에 일대일 대응이 성립할수 없으며 선과 면, 면과 입체 사이도 마찬가지일 것입니다. 이런 사고가 도움이 될수도 있습니다. “원에 내접하는 정2n각형의 세 꼭짓점을 선택하여 삼각형을 만들 때 직각삼각형이 될 확률” n으로 나타내면 이차/삼차 … n이 무한대로 가면 확률이 0이 되죠 하지만 이 극한을 이용한 시도가 원 위에 있는 모든 점. 즉 실수의 연속성을 말하는건 아니고, 제 경험상 직관적으로 도움이 될 때가 있습니다. 참고 하시죠.
패러독스 패러독스(모순) = 무한 호텔의 역설, 폭탄 상자 속의 고양이 확률 분기점 (랑그라주점) 1과 0의 중첩 = 1을 100%로 두고 무한히 상호작용하는 상용로그의 역함수 = 무한소수) 우리가 빛이라고 표현하는 하나의 상호작용 신호 방향 = 1 그것이 점의 직경을 탈출하기 위해 필요한 값 (1 = 상호작용 1+1 = 반대편 (1+1+1 = 탈출) 이 과정에서 밸런스를 깨기위해 소실된 e -i 라는 허수 에너지 이 3의 값의 상용로그 제곱수 에서 그만큼을 뺀 에너지 = 빛의 속도 즉 우리 세계에서 표현되는 고정된 신호 속도 값 우리의 원에 투입된 지점(무한 호텔에 입장한 손님) 우리의 원에서 나가는 지점 ( 무한 호텔을 나가는 문은 입구의 반대편 = 블랙홀 에 존재함 한 입장한 손님이 다른 손님의 객실을 밀어넣는 작용이 일어남 ) 중력자와 화이트 홀을 찾을 수는 없지만 중력파를 검출할 수 있는 이유 우리 세계의 껍질을 뚫고 탈출한 표면에 있기 때문 이 입구가 빅뱅. 정 삼각형의 각 선분에 대해 수직인 지점이 만나는 점이 그 삼각형의 높이인 이유 왜 그러냐? 자기가 존재(참이기)때문에 자기가 참으로써 존재하는 지점으로 새로운 길로 발산함 즉 좌표계 축에서 위쪽 1과 만나는 지점이지만 이는 기울기 값을 가짐 하지만 이게 다른 좌표축에서는 기울기라는 표현이 불가능 하기 때문에 두 면(두 각도에서 바라본 두가지 사실이 하나의 참이 되기 위해서는 = 진실로서 존재하기 위해서는 공간이 굴절돼야 함.(공간왜곡) 즉 중력이 공간을 왜곡하는건 질량에 대해 수평계를 맞추려는 작용 중력자와 입자가 서로 하나의 축에 대해 무한히 회전하고 에너지의 수렴 발산하는 자기장 축, 토러스 구조를 만들어냄 에너지가 한 축으로 발산되는 이유는 이 두 지점이 수평을 이루는 지점이기 떄문에 이 에너지를 발산하는 구조를 만들어냄. 즉 이 원리로 중력은 하나의 신호 (각 신호에 대해 수직으로 존재하는 전기장과 자기장이라고 말하는 축이) 중력에 의해 외곡돼서 수직축에 대해 지나가면서 분기함(확률분기) 그 중에서 있을 확률이 높은 지점들 (슬릿 실험의 간섭패턴,에서 보이는 지점 = 평균분포. 이를 원으로 표현한게 Airy disk 즉 각 표면에 위치할 확률이 높은 중첩지역이고 이게 원자의 궤도가 됨) 즉 물의 표면에 튀기는 물방울이 만들어내는 패턴과 입사한 빛이 굴절각과 반사각을 만들어내는 이유도 이를 통해 설명됨. 즉 하나의 축에대해 서로 다른 기울기를 가지지만, 이는 같은 1이기 때문에 각 운동량이 보존되어야 하는 이유 즉 열역학 법칙의 제 1원칙에 따라 에너지는 보존되어야 하기 때문 이게 각 운동량 보존 법칙 = 텐서 이 상호작용 균형을 다시 맞추려는 역 상호작용 ( 역발산 신호)가 엔트로피. 즉 엔트로피 평형은 이 신호가 균형을 다시 맞추는 순간의 지점. 이를 탑 다운 뷰로 본게 망델브롯 프랙탈 로지스틱 맵은 그것을 수평선에서 봤을때 보이는 중첩 프랙탈 이게 음수계 = 우리 세계를 탈출하는 지점이 리만 함수 이 현상을 하나로 설명한 모델이 현재 우리가 말하는 스핀 음수계에서 양수계로 들뜨는 상호작용 = 들뜸현상 안의 허수공간에서 튀어오른 중력 균형 에너지가 물방울의 표면장력처럼 작용한게 퀀텀 버블. 표면을 가진 물체는 중력자와 상호작용 하기 떄문에 서로 다른 중력자를 가진 물체끼리 끌어당김 이때, 서로 밀어내거나 합쳐지거나 튕겨나가거나 등의 상호작용을 간단히 나타낸 수식 (파인만 그래프) (중력자가 더 큰 입자는 이 입자들을 끌어들임) 즉 우리의 지구가 태양궤도를 도는 이유.. 각 지점의 공핍지역이 균형을 이룬 지점 즉 중간의 중간의 중간의 중간인 지구가 생명체가 살고 다른 행성에는 생명체로 보이는 걸 발견 할 수 없는 이유. 이런 원리로 LP판 축음기, 요트, 배가 물에 뜨는 이유, 요트의 돛을 통해 앞으로 나아갈 수 있는 이유. 이 개념을 사용해 중력 궤도를 탈출하는 계산을 할 수 있음.. 이게 안정화된 (완전한 원)을 이루는 Phase transition Critical Point 끼리 만나서 중첩돼어 다시 Critical Point의 완전 균형을 이루는 지점 프랙탈 ( 이게 면으로 표현된게 아발란치 맵 = 스케일을 아무리 키워도 이 관계는 조금 달라보이지만, 똑같은 균형지점) 즉 물을 끓였을 때 섭씨 100도에서 물이 증발하기 시작하는 극점이 이 지점이고 대기층에서 응집해 다시 물로써 증발하는 지점인거고 이데아 개념에서 우리가 그림자로 밖에 인식할 수 없는 이유는 우리는 표면만 볼 수 있고 그 속은 알 수 없기 때문에 표면 그림자 1에 대해서 (붕괴한 1이 왜곡을 통해 다시 1로 보이는 지점) 우리는 이 그림자 1을 1로 생각하기 때문에 계속해서 더 작은 입자를 발견하고 더 큰 우주를 발견하는 거고... 이 관계를 수학적으로 증명한게 정 삼각형의 각 선분에 수직인 지점이 그 삼각형의 높이인 이유와 동일한 거고 이걸 직각 삼각형으로 표현했을 때 2라는 지점을 표현하기 위해 3:5:2라는 비율이 필요한 이유고. 이렇게 펼쳤을 때 한 선분에 대해 이 지점이 위치한 곳이 1:1.618이라는 황금비를 만들어 내는 이유고. 이를 통해 예술 작품에 대해서 사람들이 황금비를 찾아내는 이유고(자연계의 기본상호작용 비율) 이걸 모르는 사람들도 결국 같은 비율에 도달하는 이유도 이게 자연의 기본 원칙에서 파생된 결과이기 때문에 바텀 업 방식의 접근법을 취한거고.. 앵무조개의 껍질이 이 무한히 수렴 발산하는 나선회전과과 근사한 모양을 가지는 이유는, 눈송이가 같은 육각형 구조로 발현했고 똑같은 하나로 인식하지만 자세히 봤을 때 같은 이유인거고... 같은 원리로 작용하지만 서로 다른 상호작용 결과값을 나타낸 프랙털 형상이기 때문. 이게 소수 프라임 넘버가 그런 배치로 존재하고 서로 역함수 관계를 지니는 이유고. 이런 세상의 이치를 나타낸게 음양, 태극 문양인거고 새옹지마라는 속담도, 기승전결이라는 구조가 그런 문양을 띄는 것도 한의학은 각각 개별의 결과값이 상호작용해 뭉친 임상실험의 중첩치에 따라 얻어낸 결과값인 거고 - 이런 상호작용이 어떻게 연관되어있는지 나눈게 태양인 음양인... 남여로 나눈거고.. 서양의학은 이걸 탑다운 방식으로 계속해서 쪼개서 검증해 나가는 과학적 접근 방식에 따른 결과값이고.. 왜 우리가 시계 모양을 기준으로 세계의 순환을 이해하는지도 설명되는거고 황도 12궁, 12지신, 축시 자시의 연관성과 1시간 30분의 집중 사이클, 사람이 왜 그만큼 자는거고 자야하는지...
