선생님 제가 역함수 미분 문제를 풀다가 모르는 부분이 나와서 질문드립니다. 양의 실수 전체 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 f(x)가 있고 f(x^3)의 역함수를 g(x)라고 하면 g(f(x^3))= x^3이고 미분시 g'(f(x^3))f'(x^3)3x^2=3x^2가 나오고 정리하면 g'(f(x^3))=1/f'(x^3)가 되던데 여기서 구한 식 말고 그냥 역함수끼리는 대칭점에서의 기울기는 역수이다 라고 하면 3x^2f(x^3)=g(x)라고 나와서 3x^2가 있고 없고의 차이가 나타나서 그러는데 혹시 위에 식중에 잘못된 부분이 어딘지 궁금합니다.
수업 멘트 넘 재밌어요 ㅋㅋ 무슨 가 함수가? 물어보면 아기들이 증가함수요 ㅋㅋㅋㅋ 저도 수학 가르치는 강사인데 어느 순간 애들한테 무슨 고라스가? 하면 애들이 피타고라스요 ㅋㅋㅋ 이렇게. 대답합니다. ㅋㅋ 중독성이 ㅋㅋㅋ 오늘은 무슨 모르간이.? 이거 했습니다 드~~모르간이요 ㅋㅋㅋㅋ 잘배워갑니다 ㅎㅎ
전 그냥 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 했을 때, f(a)=b이면 g(b)=a이고, 대응 관계에 따라 f'(a)=1/g'(b)이다 이런 식으로 풉니다. 사실상 선생님이 제시한 항등식 f(g(x))=x를 이용한 풀이와 같은 풀이긴 하지만 좀 더 직관적이어서 좋더라고요 ㅎㅎ 합성함수의 대응관계는 공부하면 할수록 재밌는 것 같아요. 물론 고대 수학과 나온 선생님에게 현역 고3이 할 얘기는 아니지만 말입니다 하하.... 물론 f(x)의 역함수가 g(x)가 아니라 f(2x-1)의 역함수가 g(x)다 이런 복합적인 상황에서는 그냥 합성해서 풀긴 합니다.
저는 마지막 예시의 경우 세 집합 A, B, C에 대해 A->B를 2x-1, B->C를 f(x), C->A를 g(x)로 잡고 접근하는 편인데 '함수 f(x)의 역함수를 g(x)라고 했을 때, f(a)=b이면 g(b)=a이고, 대응 관계에 따라 f'(a)=1/g'(b)이다'와 같은 맥락으로 푸는 느낌이라 편하더라구요
김재하선생님입니다. 역함수가 존재할조건을 확인하는 과정인데요 증가함수이기 위한 조건에 등호가 들어가는것이지 그 등호가 꼭 도함수가 0인경우가 있다를 뜻하진 않습니다. 다시 설명 드리면 증가함수임을 검증하는 과정에 들어간 등호이며 설사 도함수가 0 인 지점이 있더라도 그 점을 제외한 지점에서 역함수의 미분계수를 질문하게끔 보통 출제자가 문제를 설계합니다.
y=x^2 (x>=0) 의 역함수인 y=루트x의 경우만 보더라도 x=0에서의 우미분계수가 발산합니다. 이 경우를 생각해보면 미분계수가 발산하는 지점이 있다고 해서 역함수가 존재하지 않는다고는 할 수 없습니다. 그리고 역함수가 존재하려면 함수가 증가만 하거나 감소만 하는 것보다 더 중요하게 생각해야 할게 일대일대응입니다. 예를 들면 변곡점의 미분계수가 0인 삼차함수의 경우에 변곡점을 포함한 모든 x에 대해 y값이 일대일대응이 되기 때문에 역함수가 존재한다고 할 수 있습니다.
이 선생님 채널을 처음 접했울 때 본 영상이 이거였는데 당시에는 무슨말인지 하나도 이해하지 못했어요. 근데 이 채널에 여러 영상들을 보다보니 수학적 체계가 머리에 짜여졌나봐요 이 강의를 보면서 이해가 안되는 부분 없이 전부 이해했습니다. 이게 수학 실력이 올라간 느낌인걸까요
