사실 ‘평행선은 만날 수 있다’는 거짓이에요. 평행선의 정의가 ‘만나지 않는 두 직선’이기 때문에, 성립하지 않는 문장입니다. 오히려 ‘두 직선을 서로 다른 두 점에서 만나게 할 수 있다’가 좀 더 맞겠네요. 이는 ‘선분이란 두 점을 잇는 가장 짧은 길이의 선이다’라고 하는 정의를 평면이 아닌 곳에 확장할 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 구면에서 선분은 그 두 점을 지나면서도 중심이 구의 중심과 일치하는 원(대원)의 일부가 됩니다. 다시 말하면 구면에서의 모든 직선(선분을 연장한 것)은 대원입니다. (비행기의 최단 이동 경로가 평면 지도 상에서는 때때로 살짝 휘어 보이는 것도 이 때문입니다.) 그리고 어느 두 대원을 고르더라도 반드시 두 개 이상의 점에서 만납니다. 비슷한 정의를 쌍곡면(e.g. 말 안장)에 확장해보면 ‘서로 교차하는 두 직선이 어떤 다른 직선과 동시에 평행인 경우가 가능하다’는 성질을 찾을 수도 있습니다. 이 역시 평면에서라면 절대 성립하지 않지요.
'평행선은 만날 수 있다' 가 무슨 내용인지 궁금해서 찾아봤는데, 우리가 아는 유클리드 기하학에서 설명하는 평행선이 아닌 비(non)유클리드 기하학에서 말하는 평행선을 얘기하나봐요😲 유클리드 원론에서 5번 parallel postulate를 증명하기 어려워서 (무한을 정의하기 어려워서라고 하는데 그 당시만 그랬던 건지는 정확히 모르겠음) 그걸 다른 시각에서 보았을 때 나오는 정의들이라고 해요! 그 중에서 hyperbolic geometry (쌍곡선 기하학)에서는 무한히 뻗어나갔을 때 만난다고 하고, spherical/elliptic geometry (구/타원 기하학)에서는 서솔님이 말씀하신 것처럼 구면에서 평행선을 그었을 때 만나는 걸 얘기한 거래요! 처음 등장한 건 과거에 무한이라는 개념을 정의하기 어려울 때 나온 정리가 애매한 부분을 찔러서 나온 것들이라고 하네요🤔 결론은 사진의 두 경우 모두 평행선이 있는 평면에 변화를 줘서 나온 결과인 듯 합니다!✨ 당장 정확히 알기 어려워서 기하학잘알 호요요의 설명을 기다려볼게요😵💫
비유클리드 기하학이 유클리드의 마지막 5번째 공준(평행선 공준)에 대한 의구심으로부터 출발한 것은 맞습니다! 하지만 그것을 증명하기 어려워서라 하기보다는, ‘공준’이라고 부르며 맞다 치고 넘어가기에는 그다지 자명하지 않기 때문이라고 보는 게 맞을 듯해요. 유클리드의 5공준 가운데 평행선 공준만 유독 설명이 길고 복잡하기 때문입니다. 예를 들어 4번째 공준은 ‘모든 직각은 서로 같다’여서 직관적으로 이해하기 쉬운 반면, 평행선 공준은 ‘두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 내각을 각각 구해 더한 것이 180도보다 작으면 그 두 직선은 반드시 교차한다’는 내용이지요. 실제로 이를 포함한 몇몇 유클리드 공준은 완전한 평면에서만 (정확히는, 유클리드 기하에서만) 성립하는 문장이고, 그렇지 않은 곡면에서 기하학을 ‘잘’ 정의하면 얼마든지 부정될 수 있습니다.
와 평행선이 만난다니 너무 신기한데요. 기하학은 대체 무엇이기에 평행선이 만나는 거지? 아니 선생님들 만물박사세요? 어떻게 저런 걸 세세하게 알고 계시지 이게 더 신기해. 당신들 척척박사야... 솔님 연유를 묻는 왜? 모먼트 너무 재밌엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 너무 공감가곸ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 머라고 설명에 표준어라고 표기 안 된 거 보면 허용적 표현이려나? 한국어 어렵다...ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ