Hab mir alles im Kopf vorgestellt und kam auch rasch und locker auf das pythagoräische Trippel 3 4 5 und den Umfang 16 Hab allerdings nicht gedacht dass es stimmt, sicher hab ich wieder irgendeinen Vorzeichen Fehler oder die Angabe nicht genau gelesen, wie das letzte Mal. Doch diesmal hat's tatsächlich auf Anhieb gepasst. Fein. Durch Fehler wird man beides, klug und arm, so sagt ein chinesisches Sprichwort.
Wahrscheinlich hatte ich Angst vorm Pythagoras, weil ich sehr weit gekommen bin, aber am Schluss die Angabe vergessen und die Fläche ausgerechnet habe anstatt des Umfangs. Da mir das in meiner Schulzeit auch ein paarmal passiert ist, nicht nur in Mathe, vielleicht ein guter Tipp von mir: Egal wie sehr ihr gerade vertieft seid und eurer Lösung auf der Spur, werft zwischendurch immer mal wieder einen Blick auf die Aufgabe, ob ihr alles richtig verstanden und euch korrekt gemerkt habt. In der Oberstufe wird das unheimlich wichtig, und oberflächliche Leser wie ich bekommen da gerne mal Probleme.
Falls es dir ein Trost ist: Ich hätte fast den gleichen Fehler gemacht, nachdem ich beim ersten Lesen von Teilaufgabe (b) bereits nach dem ersten Satz innerlich abgeschaltet hatte. Vielleicht liegt es auch daran, dass Magda auf diesem Kanal ja schon eine ganze Reihe ähnlicher (Teil-)Aufgaben vorgerechnet hat, bei denen in vergleichbaren Fällen die Größe der eingeschlossenen Fläche gesucht war. Deshalb kann ich mich deinem Tipp nur anschließen bzw. den Rat geben, den Aufgabentext zunächst erst einmal vollständig durchzulesen, bevor man loslegt.
Eine relativ überschaubare Aufgabe, die man gut durcharbeiten kann. Ich gehe von einer vollen Punktzahl aus bei mir. Ich wollte den Umfang des Dreiecks mit Hilfe der Vektorenrechnung beweisen, musste aber dafür noch die Höhenberechnung des Dreiecks und hilfsweise den Pythagoras-Satz hinzuziehen.
Lösung: a) Tangente t1: y = 4/3*x+4 y(1) = 4/3*1+4 = 16/3 = 5+1/3 Der Graph hat also den Punkt P = (1;16/3) und an der Stelle x = 1 die Steigung 4/3 und ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse. Bei Achsensymmetrie lautet der y-Achsenabschnitt der neuen Tangente t2 dann ebenfalls 4 und die Steigung nicht 3 nach rechts und 4 nach oben, sondern 3 nach rechts und 4 nach unten, also -4/3. Die Gleichung der neuen Tangente t2 lautet also: y = -4/3*x+4 b) Beide Tangenten haben den y-Achsenabschnitt 4 und kreuzen sich daher bei dem Punkt S = (0;4). Nullstelle von t1: 0 = 4/3*x+4 |-4 ⟹ -4 = 4/3*x |*3/4 ⟹ x = -3 Bei Achsensymmetrie ist die Nullstelle von t2 dann bei x = 3. Die Eckpunkte des Dreiecks lauten also: A = (-3;0), B = (3;0) und S = (0;4). Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ist somit: AB+2*BC = 6+2*√(3²+4²) = 6+2*5 = 16
Hallo Magda, wieso kann man nicht einfach bei Aufgabe a die Orthogonale nehmen, bzw. was wäre da der konkrete Unterschied? Die geraden hier bilden doch auch einen rechten Winkel aber bei der Orthogonalen wäre die Steigung ja -3/4 (ca. bei Minute 6) Vielen Dank im Voraus für deine Hilfe!
Ich bin zwar nicht Magda, aber versuche mich mal an einer Erklärung. Zunächst einmal hast du recht, dass die Orthogonale zur gegebenen Tangente t₁ die Steigung −3/4 haben muss. Man könnte aus Magdas Skizze tatsächlich den Schluss ziehen, dass die beiden Tangenten einen rechten Winkel einschließen, aber würde man das maßstabsgetreu zeichnen, könnte man erkennen, dass dem nicht so ist. Magdas Argumentation ist somit nicht hinzuzufügen. Man könnte sich mal eine Funktion überlegen, welche alle Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt, um die Ergebnisse nachzuprüfen. Dazu mache ich folgenden Ansatz: f(x) = a*x² + b Diese Funktion ist definitiv achsensymmetrisch zur y-Achse: f(−x)=f(x). An der Stelle x=1 hat diese Funktion die gleiche Steigung wie die Tangente t₁. Das ergibt: f'(x) = 2*a*x f'(1) = 2*a*1 = 4/3 ⇒ a = 2/3 Außerdem haben Funktion und Tangente an der Stelle x=1 den gleichen Funktionswert: f(1) = t₁(1) (2/3)*1² + b = (4/3)*1 + 4 = 16/3 ⇒ b = 14/3 f(x) = (2/3)*x² + 14/3 Wie sieht es nun an der Stelle x=−1 aus? f'(−1) = 2*a*(−1) = −4/3 f(−1) = (2/3)*(−1)² + 14/3 = 16/3 Damit muss die Funktionsvorschrift für die Tangente t₂ so lauten: t₂(x) = (−4/3)*x + 4 Fazit: Magda hat, wie nicht anders zu erwarten, alles richtig gemacht.🙂
Orthogonale würde per Definition rechtwinkelig bedeuten. Bei der achsensymmetrischen Spiegelung an der y-Achse ergeben sich aber recht offensichtlich selten rechte Winkel - genau nur dann, wenn die Steigung 1 oder -1 ist, also einen 45°-Winkel zu den Achsen bildet. Nimm eine Steigung von 2. Bei der Spiegelung willst du eine Steigung von -2. Die Orthogonale hätte aber die Steigung -1/2. (negativer Kehrwert) Konstruiere in GeoGebra eine Gerade und eine Orthogonale dazu. Drehe die Gerade, und die Orthogonale wird sich immer rechtwinkelig mit der Geraden in die gleiche Richtung mitdrehen. Konstruiere eine gespiegelte Gerade. Sie wird sich wie die Klingen einer Schere in die entgegengesetzte Richtung drehen. Tatsächlich bilden die Geraden aus dem Video keinen rechten Winkel. Die Skizze ist nur sehr ungenau gezeichnet. Das sieht man schon daran, daß 4 Einheiten auf der y-Achse ähnlich lang sind wie 1 Einheit auf der x-Achse. Manchmal können Skizzen sogar irreführend sein. Man darf sie wirklich nur als Gedankenstütze hernehmen. Eine Skizze ist keine millimetergenaue Konstruktion. Und selbst bei der exakten Konstruktion kann man sich nicht auf Augenmaß verlassen, besonders, was Winkel anbelangt. Aber auch, wenn man mit Zirkel und Lineal drei Geraden konstruiert, die in größerer Entfernung einen gemeinsamen Schnittpunkt haben sollten, wird man selten die Präzision erreichen, daß sich auch zeichnerisch ein exakter Schnittpunkt ergibt. Die algebraische Berechnung ist der Konstruktion immer überlegen.
Das ist ja durch die Bank trivialster Mittelstufenstoff - wirklich lächerlich für eine Abituraufgabe! Was soll daran „herausfordernd“ sein??? Der Steigungsbegriff einer Geraden, was eine Tangente ist, Flächeninhalt eines Dreiecks… alles Stoff der Klasse 8-9! Mich nervt dieser Niedergang des Anforderungsniveaus nur noch an. Abi 87, also Alter Sack, ich weiß…
Ja, das kommt uns "Alten" heute vielleicht nur einfacher vor als damals. Darüber hinaus hat ein Abi heute viele kleinere Aufgaben anstatt wenige aufwändigere. Es geht ja auch nicht um komplizierte Kommazahlen, sondern um's Verständnis und dessen Abfrage. 10:11
