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Wie bereits von einigen bemerkt und gefunden: man kann diese kleinere Höhe h einfacher mit dem Höhensatz berechnen, denn wegen des Thaleskreises ist die Ecke, wo diese Höhe den Halbkreis schneidet, rechtwinklig. Und die Hypotenusenabschnitte sind hier ja schon in der Zeichnung vorgegeben: p = 6 und q = 2 (oder umgekehrt). Also gilt laut Höhensatz h^2 = pq = 2*6 = 12 und deshalb h = sqrt(12).
@@magdaliebtmathe Naja, ich hab auch erst ein bisserl nachdenken müssen. Vor allem war ich mir anfangs nicht sicher, ob das wirklich funktioniert, weil das noch ein weiteres rechtwinkliges Dreieck ist, welches auf dem Kopf steht, mit der Hypotenuse nach oben. Ich prüfe das dann zigmal nach, bevor ich mir sicher bin, denn allzuoft langt man mit solche Vermutungen auch mal daneben. Besonders in der Geometrie und Stochastik ist man oft zu Trugschlüssen versucht. Da denke ich immer wie ein Ingenieur an Murphy's Law. Z.B. verfolge ich zur Zeit mit großem Interesse das Artemis-Programm und den bevorstehenden Starship-Start. Mond- und Marslandungen wären toll, aber ich hätte immer Angst, daß was schiefgeht. Bin eher ein Kontrollfreak wie Sheldon Cooper :-)
@@magdaliebtmathe Weiß nicht. Vor ein paar Tagen hatte SpaceX noch einen erfolgreichen Start der Falcon Heavy mit Rückkehr zweier Booster auf den Startplatz. Dann hieß es von Elon Musk, erster Orbitalflug von Starship im Februar oder März, gestern las ich auf RU-vid, schon diese oder nächste Woche, jetzt les ich wieder von großen Problemen, aber das könnte auch Clickbait sein. Ich hab nachts eher Zeit, auf RU-vid zu gucken. Tagsüber muß ich grad ständig Prüfungen korrigieren und Deine Aufgaben lösen, hihi :-)
Liebe Magda, die Idee, die beiden dunkelblauen Flächen von der Rechteck-Fläche zu subtrahieren hatte ich noch. Die untere Dreiecks-Fläche konnte ich berechnen. Den Strahlensatz kannte ich auch. Aber den Halbkreis konnte ich nicht unterbringen. Das fand ich genial von dir. Na ja, wieder was gelernt. Ich muß wohl noch weiter üben. Viele Grüße!
Also wenn das Outfit nicht zum Rätsel passt, dann weiß ich auch nicht. Aber jetzt zum mathematischen Aspekt: Dunkel sind zwei Dreiecke, das dritte, das ist hell, und wenn ich das hier richtig checke, komm' ich zur Lösung schnell. Ohne das Video gesehen zu haben: Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei gleich große Dreiecke mit der Fläche: 6*8/2 = 24 Die beiden oberen Ecken des Rechtecks und der Schnittpunkt der oberen Begrenzungslinie des hellblauen Dreiecks mit dem Halbkreis bilden die Ecken eines rechtwinkeligen Dreiecks (Satz des Thales), der rechte Winkel befindet sich an besagtem Schnittpunkt. Für die Höhe dieses Dreiecks gilt der Höhensatz des Euklid: h² = p*q = 2*6 = 12 ⇒ h = √12 = 2√3 Mit dem Strahlensatz erhalten wir die Höhe des oberen dunkelblauen Dreiecks gemäß: 8/6 = H/√12 ⇒ H = (8/6)*2√3 = (8/3)√3 Damit hat dieses Dreieck eine Fläche von 8*(8/3)√3/2 = (32/3)√3 Somit beträgt die Fläche des hellblauen Dreiecks: A = 24 - (32/3)√3 ≈ 5.525
Wenn man sich direkt fürs hellblaue Dreieck interessiert, wie ich es gelöst habe, bleibt deine Lösung wegen der Subtraktion (um meine Basis b zu erhalten) auch bei mir schön erhalten. Und in Magdas Lösung letztlich natürlich auch. 😊
@@Waldlaeufer70 Wenn ich das richtig überblicke, dann unterscheiden sich unsere Lösungen lediglich dadurch voneinander, dass du am Ende erst subtrahiert und dann multipliziert hast, während ich umgekehrt vorgegangen bin. Jedenfalls warst du mit deinem Kommentar früher dran, als scheint das wohl die schnellere Methode gewesen zu sein oder so ... 🤔
@@eckhardfriauf Man kann es nicht ausschließen. Wer weiß, vielleicht äußert sich Magda auch selbst noch dazu. Das bringt mich übrigens auf eine Idee: Was, wenn Magda eine Modekollektion mit mathematischen Motiven herausbrächte. Ein lukratives Standbein kann schließlich nie schaden.
@@unknownidentity2846 Ich glaube, du hast in der rechten oberen Hälfte das grössere Dreieck subtrahiert, um das kleine hellblaue Dreieck zu erhalten, während ich von der rechten Seite, die längere Strecke subtrahiert habe, um die kurze hellblaue Basis des gesuchten Dreiecks zu erhalten.
Es gibt ,wie ich finde ,einen etwas eleganteren Weg: vom langen Dreieck hat man ja die Höhe 8 ,also braucht man nur noch die Grundseite s . Die bekommt man , indem man den Höhensatz von Euklid benutzt , der gibt uns die Höhe h im rechtwinkligen Dreieck ,welches im Halbkreis drin ist ( h= √12.) Dann noch Aehnlichkeit : 6 / h = 8/(6 - s) ,woraus s und die Fläche folgen : F= (6-8/3 *√3 ) * 4 = 5. 52 .
Hi Magda, Superschöne Aufgabenstellung. 24 FE ist klar. Der Schlüssel für die Lösung ist aber dein schönes kleines grünes Dreieck. Das können wir zu einen gleichseitigen Dreieck machen, dann haben alle Winkel 60 Grad. Nun kennen wir auch die Winkel im gleichseitigen Dreieck links oben 30,120,30 Grad. Wir brauch nun die 30 Grad oben links und können jetzt mit dem Tanges im rechtwinkligen blauen Dreieck die Höhe und gleichzeitig die Fläche ausrechnen. 8x(8xtan(30):2=18.4752 FE 24 FE-18.4752 FE = 5.5248 FE für das schale hellblaue Dreieck in der Mitte. LG
Super, schneller ging es kaum. Vielleicht nur an der Stelle Strahlensatz: Man kann die Verhältnisgleichung gleich so aufstellen, dass die gesuchte Größe im Zähler steht ( a/b=c/d ist das Gleiche wie b/a=d/c). Dann braucht man beide Seiten der Gleichung nur noch mit 8 zu multiplizieren. Der Verzicht auf die Taschenrechnerlösung it mir sehr sympathisch! 🤭 Daumen hoch & LG
Man kann auch von der Weisheit des Herrn Thales profitieren: Der Schnittpunkt der senkrechten Hilfslinie mit dem Halbkreis bildet mit den beiden oberen Eckpunkten des Rechtecks ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Hypotenuse ist die obere Rechtecksseite. Die Längen der Hypotenusenabschnitte sind 6 und 2. Die gesuchte Länge bis zum Schnittpunkt von Kreis und senkrechter Hilfslinie ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks im Thaleskreis. Laut Höhensatz muß diese Höhe im Thaleskreis quadriert den Wert 6 mal 2, also 12 haben. Die gesuchte Länge beträgt also: Quadratwurzel aus 12. Dann weiter mit dem Strahlensatz. Erkennt man den Thaleskreis, hat man die Länge bis zum Schnittpunkt schneller als mit der Methode des Herrn aus Samos.
ZWEI DREIecke mit EINEM gemeinsamen ECK-Punkt und ZWEI parallelen Seiten!? Nachtigall, ick hör dir trapsen! I can tell which way the wind is blowing! Ahoy!
Lösung: Nach dem Satz des Thales bilden die Verbindungen aller Punkte des Halbkreises zu den Endpunkten des Halbkreises einen rechten Winkel. Der obere Teil der senkrechten Strecke zwischen der 6-Strecke und der 2-Strecke ist praktisch die Höhe h dieses rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Höhensatz von Euklid gilt: h² = 6*2 = 12 ⟹ h = √12 Für den oberen Teil der rechten senkrechten Strecke c kann ich eine Verhältnisgleichung aufstellen: c/8 = √12/6 ⟹ c = 8*√12/6 = 4*√12/3 = 4*2*√3/3 = 8*√3/3 Hellblaue Fläche = Grundseite mal zugehörige Höhe geteilt durch 2 = (6-c)*8/2 = (6-8*√3/3)*8/2 = (18/3-8*√3/3)*4 = (18-8*√3)*4/3 ≈ 5,5248
Wir haben oben zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke, deren Höhen ich h und H nenne, und einen Thaleskreis, also einen rechten Winkel, und laut Höhensatz gilt h^2 = p * q = 6 * 2 = 12, also h = sqrt(12) = 2*sqrt(3). Laut 2. Strahlensatz gilt h/6 = H/8, also H = 8/6 * h = 4/3 * h = 8/3 * sqrt(3) = 8/sqrt(3). An der rechten Seite des Rechtecks gilt für die Grundseite des hellblauen Rechtecks: g = 6 - H = 6 - 8/sqrt(3). Der Flächeninhalt ist also 1/2 * (6 - 8/sqrt(3)) * 8.
Liebe Magda, Dein x kannst Du einfacher mit dem Höhensatz von Euklid berechnen. Denn Dein x ist die Höhe in dem rechtwinkligen Dreieck, dass nach dem Satz des Thales in dem Halbkreis liegt.
Du hast so recht!! Der Höhensatz ist definitiv ein megasmartes Tool, das ich nicht wirklich auf dem Schirm habe. Deshalb habe ich heute direkt mal eine Aufgabe angenommen, die mit dem Höhensatz von Euklid und dem Thaleskreis gelöst wird 😀😀😀.
@@magdaliebtmathe Hervorragend reagiert! Ich hatte etwas Bedenken, das zu schreiben, vielleicht würdest Du es falsch auffassen, ich wollte Dich nur auf eine etwas einfachere Methode aufmerksam machen. Aber Deine Methode mit dem Satz des Pythagoras ist ja auch nicht so viel umfangreicher und richtig ist es sowieso. Ich hatte ja auch mal geschrieben, wir lernen voneinander, und ich habe natürlich auch von Dir gelernt, Du kriegst das nur nicht so mit.
Haha. 🤣 Hab in Anlehnung an unsere Diskussion um den Höhensatz des Euklid geschwind die Höhe des Thalesdreiecks berechnet und dann g des hellen Dreiecks über die Differenz der Geradengleichungen im Koordinatensystem gebildet. 🙈😂
Haha! Wolle! Sehr schön zu sehen, wie man automatisch auf die Methoden zurückgreift, die man am präsentesten hat! Ist bei mir auch ganz oft so 😃😃. Tolle Lösung auch ein Koordinatensystem in die Figur zu setzen und über Geradengleichungen zu gehen. So habe ich es hier gemacht, im Backsteinrätsel: 💫💫💫 MATHE RÄTSEL WINKEL | Wie groß ist Alpha? ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-47-in0WBfIU.html
@@magdaliebtmathe obwohl ich mal viel mit Trigonometrie zu tun hatte, sehe ich das in den Rätseln oft nicht (sofort). Und manchmal bin ich selbst überrascht wie verschlungen manche Gedankengänge am Ende sind. 🤭
Also... Die hellblaue Fläche ist ein Dreieck. Fläche berechnet sich nach A = gh/2. h = 8, g ist zu berechnen. Einfacher, als das hellblaue Dreieck zu berechnen ist es, die beiden dunkelblauen Dreiecke zu berechnen und vom Rechteck abzuziehen. Das Rechteck hat eine Fläche von 6 • (6 + 2) = 48 FE. Das untere dunkelblaue Dreieck ist genau die Hälfte, also 24 FE. Für das obere große dunkelblaue Dreieck berechnen wir erst das kleine und extrapolieren dann mit dem Strahlensatz auf das große. Das obere kleine dunkelblaue Dreieck hat eine Grundseite von 6 LE. Die Höhe ergibt sich aus dem Höhensatz des Euklid, einem Spezialfall des Sehnensatzes, in dem die eine Sehne der Durchmesser des (Thales-) Kreises ist und die andere Sehne senkrecht dazu steht und damit halbiert wird: h² = pq. In diesem Fall: h = √(6 • 2) = √12 = 2√3 LE. Um die Höhe des großen dunkelblauen Dreiecks zu erhalten, muss man diesen Wert mit (6 + 2)/6 = 4/3 multiplizieren: h = 2√3 • 4/3 = 8√3/3 LE. Das multipliziert mit der Grundseite 6 + 2 = 8 LE und halbiert ergibt 32√3/3 FE. Und nun können wir die Fläche des hellblauen Dreiecks berechnen: A = 48 FE - 24 FE - 32√3/3 FE = 72/3 FE - 32√3/3 FE = (72 - 32√3)/ 3 FE ≈ 5,52 FE.
Darf man die Wurzel 3 im Nenner stehen lassen? Mir hat die Wurzel 3 oben besser gefallen, ich hätte aber alles noch auf Drittel gebracht. Also 40/3 * sqrt(3)! Naja, egal…
Lösung: Die Höhe des Schnittpunktes zwischen dem Halbkreis und der Trennlinie zwischen Quadrat und Rechteck bekommt man folgendermaßen: Vom Mittelpunkt des Halbkreises zum gesuchten Schnittpunkt ist es genau ein Radius. Dieser beträgt (6 + 2)/2 = 8/2 = 4. Das ist gleichzeitig auch die Hypotenuse des Dreiecks im Halbkreis. Die Höhe h ist eine der Katheten, die andere Kathete ist der Abstand der Trennlinie zum Mittelpunkt. Die Trennlinie ist 2 vom Rand und daher 4-2=2 vom Mittelpunkt entfernt. Daher ist 4² = 2² + h². Umformen: 4² = 2² + h² 16 = 4 + h² 12 = h² h = √12 Jetzt wendet man den Strahlensatz an, um die Höhe des kompletten oberen dunkelblauen Dreiecks zu berechnen. (√12)/6 = h/8 h = (√12)*8/6 h = (√3*4)*4/3 h = (√3)*2*4/(√3*√3) h = 8/√3 Wenn man jetzt die Höhe des Rechtecks minus die gefundene Höhe rechnet, erhält man die rechte Seitenlänge des hellblauen Dreiecks: x = 6 - 8/√3 Dann nimmt man diese Seitenlänge als Grundseite und die Breite des Rechtecks als Höhe und erhält: A = 1/2 * (6 - 8/√3) * 8 A = 4 * (6 - 8/√3) A = 24 - 32/√3 A ~ 5.525
Vorschlag: A.hb = 8 * 6 = 48 (ges. Rechteck) - 24 (u. Dreieck) = 24 - A.db (o. Dreieck), alles in FE. Berechnung o. Dreieck: A.db = g * h / 2, mit g = 8 und h = ? (o. Teil der r. Seite) 1) Kreisgleichung (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 16: Für x = 6 ist y = 2,536 und 6 - 2,536 = 3,464 2) Strahlensatz: 3,464/6 = h/8, also ist h = 4,619 und A? = 8 * 4,619 / 2 = 18,476 FE 3) Letztlich: A.hb = 24 - 18,476 = 5,524 FE 🙂
Haha coole Aufgabe, mein Ansatz ist etwas „mathematischer“😁 Ich würde mir ein Koordinatensystem in den Mittelpunkt des Kreises legen und dann den Schnittpunkt zwischen Kreis und der vertikalen Linie berechnen. Durch den Schnittpunkt und der linken oberen Ecke des Rechtecks weiß ich die Geraden gleichung der oberen Linie, die zweite kann ebenfalls durch den linken oberen und rechten unteren Eckpunkt berechnet werden. Anschließend ziehe beide Geraden von einander ab, integriere und fertig😁
Ich habe es anders gemacht. Die Grundseite des hellblauen Dreiecks ist 6-(sqrt(4*4-2*2)*8/6 = 6-sqrt(3)*8/3. Und das ganze mit der Höhe 8 multipliziert und durch 2 geteilt.
