А не знаете как можно решить такую задачу? Пусть задано n мерное векторное пространство V. Пусть операторы Е,А,…,А^(n-1), определённые в V, линейно независимы(Е тождественный оператор). Доказать, что существует вектор u такой, что Eu,Au,…,A^(n-1)u линейно независимые векторы из V
Детали долго расписывать, но вы можете прочитать доказательство в книге Гантмахера Теория матриц (глава 7, §2, теорема 2). Там доказывается, что в пространстве всегда существует вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом оператора. Но линейная независимость E, A, A^2,..., A^(n-1) как раз и означает, минимальный многочлен имеет степень n (если быть совсем педантичным, то надо сослаться на теорему Гамильтона-Кэли). Из теоремы 2 вытекает, что существует вектор, который не аннулируется никаким многочленом степени меньше n. Отсюда и вытекает требуемый результат.
