A Nice Quintic | Video Response to  

If ω is a complex cube root of unity then we have ω⁵ + ω⁴ + 1 = ω² + ω + 1 = 0 so it is immediately clear that x⁵ + x⁴ + 1 contains a factor x² + x + 1.

I know this nice trick from another channel. You just add the missing powers x^3, x^2 and x to both sides: x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^3 + x^2 + x and extract the quadratic term x^2 + x +1 from three groups: x^3(x^2 + x+1) + 1(x^2 + x+1) = x(x^2 + x +1) Then subtract the right side from the left side: (x^3 - x +1)(x^2 + x+1) = 0 And thus we have factorised the quintic polynomial into a cubic and a quadratic one, whose zeros are easier to find. The quadratic x^2 + x +1 = 0 has two complex conjugate solutions: x4,5 = (-1 +- sqrt(3)i)/2 The cubic x^3 - x +1 = 0 can be solved by Cardano's formula: x^3 = x - 1 Write x = u + v: (u + v)^3 = (u + v) - 1 u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = (u + v) - 1 (u^3 + v^3) + 3uv(u + v) = 1*(u + v) -1 This is solvable by u^3 + v^3 = -1 and 3uv = 1 uv = 1/3 (uv)^3 = 1/27 u^3 * v^3 = 1/27 Since we know the sum and product of u^3 and v^3, we can obtain u^3 and v^3 as the solutions to the quadratic resolvent z^2 + 1z + 1/27 = 0 u^3, v^3 = z1,2 = -1/2 +- sqrt(23/108) = (-9 +- sqrt(69))/18 In the end, u,v = cubrt(z1,2) = 1/6*(cubrt(-108 +- 12sqrt(69))) And we get one real and two further conjugate complex solutions: x1 = u + v (real) x_2,3 = - (u + v)/2 +- (u - v)/2 * sqrt(3)*i A bit complicated to write them down here.

Using the Lambert-Tsallis Wq function, the real solution is simply -(1/(5Wq(1/5)) = -1.3247 (up to 4 digits) with q = 6 (q is the parameter of the Wq function). This is a special case of the general solution of ax^r +bx^s +c = 0 that can be found in the paper "Solving the Fractional Polynomial ax^r +bx^s +c = 0 Using the Lambert-Tsallis Wq Function" that can be downloaded on Researchgate site.

8:09 - Wait, how the hell did you get this? It should be -1/2 plus minus root(23)/(6root(3)). You can turn root(23)/(6root(3)) into root(69)/18, but the 9 and 8 are an enigma to me. This is just wrong.

Shouldn't there be five roots? Are the two complex roots double roots? Not sure why Wolfram Alpha is only listing three.

Spread sheet: solution is X = -1.3247345. No other REAL solutions. Approx is SQRT(7/4).

At 8.15 : divided by 18 and not 8

I've noticed that out of all the math problems that you work on, you haven't done any that deal with taking a square root of a polynomial. Why is that? Believe it or not, they are very easy to solve. For example, try this one: sqrt(x^4 - 4x^3 + 10x^2 -12x + 9) Once you get good at taking the square root of polynomials, then try doing them with trigonometric functions. Eventually, you will be able to solve this dreaded one from Calculus: sqrt((cos x)^2 + 1) It turns out to be an infinite series that is appropriately equal to: (cosx) + (1/2)(secx) - (1/8)(secx)^3 + (1/16)(secx)^5 - (5/128)(secx)^7 + (7/256)(secx)^9 + .... Take care

To solve the cubic I used the "depressed cubic" formula: When a cubic is of the form x^3 +px +q=0 the discriminate is sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3). If the discriminate is positive there is only one real solution. Let D be the discriminate. Then the solution is (-q/2 + D }^1/3 + (-q/2 -D)^1/3. So for x^3 - x+1 =0 we have D=sqrt((1/2)^2 + (-1/3)^3) D=sqrt(1/4 - 1/27) = sqrt(23/108)=.4614791 and the solution is (-.5+D)^(1/3) + (-.5-D)^(1/3)= -1.324717956. When I plugged this into the original equation x^5 + x^4 +1 =0 I got -4.0795956 + 3.0795956 + 1 = 0.

what i've done with x³-x+1=0 is (x+1)³-3(x+1)²+2(x+1)+1=0 but no further outcomes

Hi @SyberMath, I would like to ask what drawing software do you use for your videos?

X⁵+x⁴+1=0 Using unknown coefficients in a solvable form - its relation to the current state - forming 4 equations and having 3 unknowns - solving equations by substituting - and then substituting the obtained values ​​and a simple solution (x³+ax²+bx+1)(x²+cx+1)=0 X^5+(c+a)x⁴+(ac+b+1)x³+(a+bc+1)x²+(b+c)x+1=0 1)c+a=1 2)ac+b+1=0 3)a+bc+1=0 4)b+c=0 a=1-c and b=-c 1-c+c(-c)+1=0 so -c²-c+2=0 C=1 b=-1 a=0 (x³-x+1)(x²+x+1)=0 Easy

Another Video from the Master.

Hi @SyberMath, Thanks for your informative channel. I think there is something amiss about the simplification of "C". I think it should be: (-9 +- sqrt(69))/18.

Nice!

Why x²? Because it works... 😀 OK, but is it obvious to use x² here and not for example 2x² or -x³?

Solution is the plastic ratio

Итак, решаем уравнение x^5+x^4+1=0 :) Я решил эту задачу следующим образом: 1. Представим исходное уравнение в виде x^3(x^2+x)=-1. Удачное разложение, потому-что из системы уравнений {x^3=1,(x^2+x)=-1} можно сразу получить два корня исходного уравнения: x1=-0.5-0.866025i и x2=-0.5+0.866025i. Другие комбинации разложений и присваиваемых уравнениям системы значений не работают! 2. Вспоминаем о том, что исходный полином 5-й степени, а значит его можно представить в виде (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5),затем подставляем два найденных корня и приравниваем к исходному полиному (т.е. используем мой метод :) из комментариев к другому видео ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-SROVlxHUmKQ.html) и получаем (x-(-0.5-0.866025i))(x-(-0.5+0.866025i))(x-x3)(x-x4)(x-x5)=x^5+x^4+1, откуда можно получить систему уравнений для оставшихся корней полинома полинома, связанных с его коэффициентами: {1+x3*x4*x5=x3+x4+x5,1+x4*x5+x3*(x4+x5)=x3+x4+x5,x4+x3*(-1+x4)*(-1+x5)+x5=x4*x5,x3*x4*(-1+x5)=(x3+x4)*x5} Четыре уравнения и три неизвестных! Снова не пугаемся, т.к. с помощью некоторых манипуляций его можно свести к системе двух уравнений с двумя неизвестными! 3. Для этого из последнего уравнения находим x3=(x4*x5)/(-x4-x5+x4*x5), а затем подставляем во все оставшиеся уравнения! Получим {(-x42-x4*x5-x5^2+x4^2*x52)/(-x4-x5+x4*x5)=x4*x5; (-x4-x5+x4*x5+x4^2*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)=(-x4^2-x4*x5+x4^2*x5-x5^2+x4 x5^2)/(-x4-x5+x4*x5); (-x4-x5+x4*x5+x4^2*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)=(-x4^2-x4*x5+x4^2*x5-x5^2+x4*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)} Видно, что два результирующих уравнения получаются одинаковыми! Дальше работаем с системой {(-x4^2-x4*x5-x5^2+x4^2*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)=x4*x5; (-x4-x5+x4*x5+x4^2*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)=(-x4^2-x4*x5+x4^2*x5-x5^2+x4*x5^2)/(-x4-x5+x4*x5)} 4. Из первого уравнения выражаем x4=(x5-x5^2-x5*Sqrt[-3+2 x5+x5^2])/(2*(-1+x5)) и подставляем во второе, которое, после упрощений, будет выглядеть как (1-x5+x5^3)/(-1+x5)=0. Удивительно, но оставшихся корни исходного полинома нам даст решение уравнения 1-x5+x5^3=1-x+x^3=0 5. Это уравнение 3-й степени уже не такое простое и удачное, т.к. оно не раскладывается на удобную систему уравнений, как в пункте 1! Я долго пытался найти к нему подход, но мне это не удавалось, пока я не попробовал подстановку, содержащую тригонометрическую функцию. Сочетание x и x^3 натолкнуло меня на мысль, что с помощью такой подстановки можно будет преобразовать это сочетание во что-то, содержащее синус тройного угла! Я использовал подстановку x=f*sin(t), получив затем уравнение 1-f*Sin[t]+f^3*Sin[t]^3=0, а затем f=2*Sqrt[1/3], получив в итоге -((2*Sin[3*t])/(3*Sqrt[3]))=-1, откуда t= 1/3*(π-ArcSin[(3*Sqrt[3])/2]+2*π*k). Подставляя f и t в подстановку x=f*sin(t) и для k=0,1,2 получим 3 оставшихся корня полинома x3=0.662359+0.56228i, x4=0.662359-0.56228i, x5=-1.32472. Оказывается, что подобные подстановки уже известны для полинома 3-й степени, и были придуманы Виетой и Кардано! Только они использовали ещё одну дополнительную модификацию, которая не особо-то и нужна! И это отлично, потому-что активно пропихиваемые во многих подобных задачах подстановки с логарифмами и экспонентами уже набили оскомину и порядком зае....ли! Таким образом, ответ: x1=-0.5-0.866025i и x2=-0.5+0.866025i, x3=0.662359+0.56228i, x4=0.662359-0.56228i, x5=-1.32472

Cool - although this doesn't make me like quintics any more than I already do!

Root 69 Nice

0:09 "This is a video response to Black pen red pen" In what way was it a video response? This video doesn't refer specifically to anything in his video. Your factors at 4:30 match bprp's at 5.09 in his video. He used the cubic formula on the second factor, you did not. The answer is the same: -1.3247 Maybe this is WolframAlpha's response to the way he expressed the radicals. There are varying opinions about the "best" way to express radicals that are messy in any case. Invoking bprp's name seems to have been clickbait.

🙃

Bro just use the rational zero theorem, sure it’s a lot of synthetic division but, goes much quicker

What is the solution? Only a lot of bla bla, but NO solution. I do not like these videos without solution.