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Ich finds immer wieder verblüffend, wie bei den Matheaufgaben auf wundersame Weise gerade dann Quadratzahlen herauskommen, wenn man noch die Wurzel ziehen muss. In meinem Berufsleben als Ingenieur war das eine dermaßen seltene Ausnahme, dass ich angefangen habe, nach dem Fehler zu suchen, wenn ein Rechenergebnis mal keine Nachkommastellen hatte.
Das ist halt der Unterschied zwischen Theorie und Praxis. Die Beispielaufgaben in der Schule sind halt oft so gestellt, das es am Ende auf wundersame Weise glatt aufgeht. Besonders in der Zeit, wo noch viel die Menge der natürlichen und ganzen Zahlen verwendet werden. Später kommt dann die rationalen und reellen Zahlen hinzu. Spätestens, wenn die Wurzel aus 2 behandelt wurde ist die Zeit der schön glatt aus Quadratzahlen zu ziehenden Wurzeln vorbei.
Genau genommen ist die Aufgabe überbestimmt. Die Längenangabe 5 ist zur Ermittlung von h nicht erforderlich, weil sich h=3 auch aus 2h+2=8 ergibt, wenn man die senkrechte Symmetrieachse der Figur als Hilfslinie verwendet. Aber wie immer toll erklärt!
@@MrHeadHaunter Nein, das betrifft noch die Bestimmung der Höhe von A1. Für A1 muss man nicht Pythagoras verwenden, für den man die 5 braucht, sondern kann die Abschnitte der Länge 2 auf die Mittelsenkrechte des Quadrates parallel verschieben. Und dann weiß man, das die sich dann als aus 3+2+3=8 zusammengesetzt ergibt. Für die Höhe von A2 geht es nicht ohne die 5.
@@MrHeadHaunter Es funktioniert alles ohne die Angabe der 5. Von ganz links oben geht eine Gerade über die gesamte Breite um 6 Einheiten nach unten. Folglich muss es auf der halben Strecke um 3 Einheiten nach unten gehen (Strahlensatz). Daraus ergibt sich für die Höhe der Raute 2, da 8 - 2 * 3 = 2. Wenn man dieses rechtwinklige Dreieck (Breite 8, Höhe 6) betrachtet, erhält man ein Seitenverhältnis der Katheten von 8 : 6 respektive 4 : 3. Der Rhombus in der Mitte setzt sich aus vier ähnlichen Dreiecken zusammen. Daraus ergibt sich Breite Rhombus : Höhe Rhombus = 4 : 3 = b : 2 und somit 3b = 8. Die Breite b des Rhombus ist also b = 8/3.
Die Pythagoras Rechnung für die erste Höhe ist vollkommen unnötig. Wir wissen doch, dass der rote Balken 2 hoch ist, daher bleibt noch 6 für die beiden Dreiecke übrig: 6/2 = 3.
Die roten Wege bestehen aus zwei Streifen (Parallelogramme), die sich überkreuzen: A(Streifen) = 2 * 2 * 8 = 32 FE Davon müssen wir noch die Raute in der Mitte einmal abziehen, weil die sonst doppelt gezählt wird. Die Höhe h der Raute: h = 8 - 2 * 3 = 2 LE Die Breite b der Raute: - grosses grünes Dreieck: Seitenverhältnis: 6 : 8 = 3 : 4 => Dieses Verhältnis haben wir auch in der Raute: - 3 : 4 = h : b = 2 : b 3b = 8 b = 8/3 LE A(Raute) = 1/2 * b * h = 1/2 * 8/3 * 2 = 8/3 FE A(rot) = 32 FE - 8/3 FE = 96/3 - 8/3 = 88/3 FE
Hallo Susanne, guten Morgen, ich hoffe, du bist gut in die neue (verkürzte) Woche gekommen. (in BW ist morgen Feiertag 🙂) Hier mein Vorschlag zur Lösung: LE = Längeneinheiten, FE = Flächeneinheiten Ich rechne zunächst ohne Einheiten. zunächst einige Beschriftungen: Die Punkte der Dreiecksspitzen seien nacheinander im Uhrzeigersinn A, B, C und D beginnend mit Punkt A auf der "12-Uhr-Position". S1 bis S4 seien die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden des Quadrates auch wieder im Uhrzeigersinn beginnend mit S1 auf der "12-Uhr-Position" h1 sei die Länge der Strecke A S1 h2 sei die Länge der Strecke B S2 h3 sei die Länge der Strecke C S3 h4 sei die Länge der Strecke D S4 Da keiner der Punkte A - D auf dem Mittelpunkt des Quadrat liegt, gilt: h1
3:00 oder so: da wenden wir statt dem satz des pythagoras einfach die 3-4-5er regel aus dem handwerk an und wissen sofort, dass die höhe h=3 ist :P (ja. ich weiss. ist effektiv auch pythagoras.)
Die vier Ränder der Gehwege lassen sich auch als Geradengleichungen auffassen: y = 3/4 x, y = 3/4 x + 2, y = -3/4 x + 6 und y = -3/4 x + 8. Die 4 Spitzen der Dreiecke berechnet man dann durch Gleichsetzen und erhält so auch die Höhen. Die Angabe „5“ benötigt man nicht. Hübsche Aufgabe!
Ein "roter" Streifen hat die Fläche von 2 x 8 = 16. Wir haben zwei der Streifen - also eine Fläche von 32. Dabei habe ich in der Mitte eine Raute doppelt berücksichtigt. Die muss ich nun abziehen. Ich bestimme also die Diagonalen der Raute. Eine (die senkrechte) ist mit 2 vorgegeben. Für die andere brauche ich den Strahlensatz und komme auf die 8/3. Die Fläche der Raute ist 1/2 x 2 x 8/3 = 8/3. Ergebnis ist gleich - der Weg ist schneller.
Schade, dass Sie "Für die andere brauche ich den Strahlensatz und komme auf die 8/3." nicht näher erklärt haben. Vielleicht einmal die Gleichung mit zwei Brüche (x/a = b/c) angeben, damit man versteht welche Strecken Sie genommen haben?
@@ElvisSaturn Ok, das könnte aber verwirrend sein. Ziel ist es zunächst, die Höhe des grünen, rechten Dreiecks zu bestimmen. Ich habe das rechte grüne Dreieck um den roten Streifen erweitert. Die längste Seite ist dann 6 lang und die beiden kürzeren Seiten haben eine Länge von 5 (ganz ohne rechnen - müsste ich aber vielleicht erklären). Die Höhe dieses Dreiecke ist 4 (braucht man nicht groß für rechnen - rechtwinkliges Dreieck mit 3² + 4² = 5²). Das Zentrum für den Strahlensatz ist die grüne (obere) Ecke des Dreiecks. x ist die Höhe des rechten, grünen Dreiecks. Damit ergibt sich folgende Gleichung: x/4 = 2/3. Damit ist die Höhe des Dreiecks 8/3. Da das andere Dreieck auch die Höhe von 8/3 hat muss die waagerechte Diagonale der Raute ebenfalls eine Länge von 8/3 haben.
Die Berechnung der Rautenfläche stimmt zwar, aber leider falsche Berechnung der Streifen. Es ist nicht 8x2, obwohl dies auch den korrekten Flächeninhalt von 16 ergeben würde. 2x8 entspricht der Rechtecksformel Länge x Breite. Wir haben hier aber ein Parallelogramm und kein Rechteck. Der Flächeninhalt ist zwar 16. Aber Sie können aus dieser Zeichnung, die exakt reproduziert werden kann, nirgends die Länge 8 für einen Streifen hernehmen, weil das der Quadratseite entsprechen würde, was heissen müsste, dass die Streifen gar nicht diagonal durch das Quadrat verlaufen können, sondern an der Seite des Quadrats entlanglaufen müssten, was sie aber offensichtlich nicht tun, sonst wäre die ganze Aufgabe viel zu einfach gewesen. Im Gegenteil, die Länge eines Streifens ist 10! Dies ergibt sich aus Pythagoras 8^2+6^2=64+36 =100. Wurzel aus 100 =10. Weiter benötigt: Winkel Beta (gebildet durch Seite x und 2, oben rechts). Beta findet man, indem man die Steigung der Streifenlängengerade ermittelt, und mittels ein wenig Rechnerei erhält man den Winkel Beta = 126.87° Alpha wäre dann 180° -Beta. Dann ist es nicht mehr weit bis zur Höhe, und die ist 1.6cm.
@@irisgallati OK! Wenn also die Länge 10 ist und wenn man mit einigem Rechnen die Höhe 1,6 ermittelt, kommt man auf die Fläche 16. Das geht aber auch über die kurze Seite und erspart einen Teil der Rechnung. Die kurze Seite ist 2 und die Höhe ergibt sich aus der Seitenlänge des Quadrates. Die Länge des Streifens brauche ich nicht.
Genauso wie mit anderen Zahlen auch. Wo genau liegt die Unklarheit (Beispiel)? Mein Tipp bei rationalen Dezimalzahlen allgemein: Erst in Bruch umwandeln, dann rechnen. Vorteile: Bruchrechnung ist einfach und das Ergebnis ist genau (keine Rundungsfehler). 🙂👻
Die Höhe der größeren Dreicke kann man auch ohne Pythagoras bestimmen. Man muss nur rechts die roten Abschnitte der Länge 2 zur Quadratmitte hin parallel verschieben. Die roten Wege haben ja alle immer dieselbe Breite. Daher ist der rote Abschnitt der Mittellinie des Quadrates ebenfalls 2 Einheiten lang. Ergo ist 8 - 2 = 6. Und die Hälfte davon ist 3. Oder wenn einem der Pythagoras lieber ist geht es auch ohne Rechnen. Man kann aus den Längen 4 und 5 erkennen, das hier das pythagoreische Tripel (3,4,5) vorliegt. Und hat damit ebenfalls die 3 als die gesuchte Länge.
Ich habe beide Höhen über Strahlensätze definiert. Kleines Dreieck: Höhe durch die Hälfte der Grundseite entspricht Quadratseite durch die Hälfte der Quadratseite h/2 = 8/4
Statt Pythagoras könnte man auch beim ersten Dreieck den Strahlensatz verwenden: 😜☝ 8 : (2 + 4) = 4 : h 8h = 24 h = 3 Die 5 LE lange Strecke hätte also gar nicht angegeben werden müssen. Sie zeigt uns aber auch ohne Pythagoras, dass es sich um ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3 : 4 5 handelt (ein pythagoreisches Tripel). Da alle Dreiecke in dieser Aufgabe, die durch das Einzeichnen der Höhen entstehen, ähnlich sind, bräuchte man den Pythagoras für A2 gar nicht erneut anzuwenden. Wir haben erkannt, dass die Dreiecksseiten ein Verhältnis von 3 : 4 : 5 aufweisen: 3 : 4 : 5 = 6/3 : 8/3 : 10/3 => h von A2 ist also 8/3 lang.
Ohne Pytagoras und Strahlensätze : Ich lege eine Wagerechte durch den Mittelpunkt. Diese besteht aus 2h + 2x/2 . Da h und x/2 jeweils symmetrisch sind muss x = h sein , also 8/3 . Die Fläche berechne ich aus den Trapezen ; 2(8*2 = 96/3 - 8/3 = 88/3
Beide Höhen lassen sich doch direkt über den Strahlensatz ermitteln, warum dann Pythagoras? Das hat der Aufgabensteller doch sicher auch gewollt, denke ich mal. Ansonsten kannst ja auch noch die Winkelfunktionen ins Spiel bringen um die Sache schön zuverkomplizieren :)
Mein Lösungsvorschlag: Wenn man von der gesamten Fläche des Quadrats die Fläche der Dreiecke subtrahiert, erhält man die Fläche des roten Bereichs💡 Das grüne Dreieck mit der Basis c= 4 [LE] ist dem Dreieck, das die rote Fläche enthält und die Seitenlänge b=5 [LE] hat, ähnlich. Demnach: x/5= 4/(4+2) 6x= 20 x= 10/3 die beiden Seiten des gleichschenkligen Dreiecks wären a= b= 10/3 [LE] c= 4 [LE] Die beiden großen und kleineren Dreiecke haben die gleichen Flächen. Bei den großen Dreiecken ist die Basis c= 8 [LE]. Die Seitenlänge dieses gleichschenkligen Dreiecks beträgt 5 [LE]. Die Höhe teilt die Basis in zwei gleiche Längen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: h²+(8/2)²= 5² h²= 9 h= 3 A₁= 8*3/2 A₁= 12 [FE] Dieselbe Vorgehensweise wird auch für das kleine Dreieck angewendet: h²+(4/2)²= (10/3)² h²= 100/9 - 4 h= √64/9 h= 8/3 A₂= 4*(8/3)/2 A₂= 16/3 [FE] Arot= 8²- 2(A₁+A₂) Arot= 64- 2(12+16/3) Arot= 64 - 104/3 Arot= 88/3 [FE] Arot ≈ 29,33 [FE]
Das lässt sich deutlich kürzer ohne Pythagoras lösen Warum so umständlich? Die erste Höhe lässt sich ganz einfach aus der Figur ablesen. Die senkrechte Symmetrieachse des Quadrates ist 8 lang. Davon die "Breite" (also senkrechte "Breite") 2 des Weges abgezogen ergibt 2 mal die Höhe. Also h1=3 Für die h2 brauche ich nur die geeignete Strahlen. Sieht man gut bei 5:08 Gemeinsamer Punkt ist unten rechts der Schnittpunkt des Randes des Quadrates mit dem oberen Rand des Weges. Da sieht man das h2/2 = 8/6 ist. Daraus ergibt sich direkt das h2=8/3 ist.
Habe die verbale Beschreibung ("oberer Rand des Weges") zwar nicht verstanden, habe aber ebenfalls h2 als 8/3 ohne Pythagoras über Strahlensatz ermittelt.
Rotes Parallelogramm=g*h=2*8=16. Bleiben noch die zwei roten Stücke. Fläche vom Dreieck, das aus einem roten Stück+kleinem grünen Dreieck besteht=1/2*g*h=1/2*4*6=12. Dann Höhe vom kleinen grünen Dreieck mit Strahlensatz hergeleitet, g=4 also 2/3 vom Rot-Grünen Dreieck, damit ist die Höhe auch 2/3 so groß, also 4*2/3. Grünes berechnen, vom Rot-Grünen abziehen, mal 2 weil sind ja zwei rote Stücke. Also letzlich A = Parallelogramm+((RotGrünes Dreieck - kleines grünes Dreieck)*2) = 29 1/3.
=> Die Abmessungen auf meiner Zeichnung und die Berechnungen der einzelnen Streckenabschnitte gemäß dem Strahlensatz 1 und dem Strahlensatz 2 bestätigen mit einer Hundertstel-Abweichung die Richtigkeit meiner Zeichnung und bestätigen meine errechneten Flächeninhalte, als die wären: (12 + 12)+(2,66' + 2,66')=29,33'; 8×8=64 64-29,33'=34,66' Somit steht fest, dass die grüne Fläche im Quadrat 29+1/3 FE groß ist und die rote Fläche eine Größe hat von 34+2/3 FE
DIE HÖHEN FÜR DIE BEIDEN DREIECKE ❤ H 1 = 6 × 4 / 8 = 3 CM UND H 2 = 2 × 8 / 6 = 2 , 333 CM ❤ BEIDE FLÄCHEN ADDIEREN UND VON 64 CM ^2 ABZIEHEN MACHT 29 , 33 CM ^2 ❤
Ich sehe gerade, dass ich sogar ohne Strahlensatz auskommen kann. Ich will weiter die Flächen der roten Streifen addieren und die doppelt berücksichtigte Raute abziehen. Hier tauchte die Frage auf, warum so ein Streifen die Fläche 2 x 8 = 16 habe. Man nimmt eine Seite (die 2) und bestimmt die Höhe (8). Das Produkt ergibt dann die Fläche. Nimmt man die lange Seite (10), wäre die Höhe 1,6. Man nehme die Zeichnung aus dem Video und füge 3 waagerechte Linien hinzu - jeweils nach 2 Höhen-Einheiten - an der rechten Seite sind zwei Markierungen schon vorgegeben - die dritte Linie ist in der Mitte. Wenn ich mir jetzt einen der Streifen ansehe, stelle ich fest, ich brauche 4 Schritte (je 2 Einheiten) von oben nach unten aber nur 3 Schritte (je x Einheiten) von rechts nach links. Beispiel: ich beginne oben rechts. 2 runter und x nach links (ich habe hier genau die Hälfte des kleinen grünen Dreiecks) - dann 2 runter (ich bin direkt an der spitze des kleinen grünen Dreiecks) und x nach links (ich bin an der Spitze des anderen Dreiecks) - dann 2 runter und x nach links (ich bin auf der anderen Seite angekommen - 2 runter (ich bin in der Ecke angekommen). Ich habe also die Seite der Länge 8 in 3 gleiche Teilstücke geteilt (jede 8/3). Das ist somit die länge der einen Diagonalen in der Raute. Die andere hat die Länge 2. Die Fläche der Raute ist 1/2 x 2 x 8/3 = 8/3. Die ziehe ich also von 2 x 2 x 8 = 32 ab - das sind 29 1/3. Wenn ich einen der roten Streifen an den waagerechten Linien zerschneide, kann ich die Teilstücke zu einem Rechteck der Größe 2 x 8 zusammenlegen. Man braucht keinen Strahlensatz und keinen Pythagoras.
Wenn man annimmt, dass die roten Wege überall gleich breit sind (was so aus dem Aufgabentext nicht explizit hervorgeht), dann gilt für die Höhen der größeren grünen Dreiecke: 2H = 8 - 2 H = 3 für die der kleineren h/2 = 8/6 h = 8/3 und damit für die Summe aller grünen Flächen Ag = 2 × ½ × 8 × 3 + 2 × ½ × 4 × 8/3 Ag = 24 + 32/3 = 104/3 Fläche des Quadrats Aq = 8×8 = 64 und somit für die rote Wegefläche Ar = Aq - Ag = 64 - 104/3 Ar = 88/3 = 29⅓ ≈ 29,33 😉: Nichts gegen Pythagoras, Strahlensatz & Co., aber die werden hier ebensowenig benötigt, wie die mit 5 gegebene Seitenlänge des oberen grünen Dreiecks 🤔... 🙂👻
