10. Klasse Geometrie - Trapez 

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Das zusätzliche Dreieck ist selber rechtwinklig da die Basiswinkel 15° und 75° betragen. Damit sind alle Winkel bekannt und die Seiten können berechnet werden.

Eine "Fleissarbeit" 🤪, weil zwar nicht allzu schwierig, aber viel Rechnerei! Deshalb auch ein schönes Beispiel dafür, dass der frühe TR-Einsatz schnell zu signifikanten Rundungsfehlern führt. Ich hab mal die gesuchten Werte solange wie möglich mit tan(15°) = 2 - sqrt(3) und tan(75°) = 2 + sqrt(3) durchgerechnet. Schon beim ersten berechneten Wert (Susannes x) ergibt sich eine Abweichung von ≈1,99 zu ≈1,98 bereits in der zweiten Dezimalstelle. Ich schreib jetzt hier nicht die ganze Berechnung noch mal auf, aber der "Fehler" pflanzt sich natürlich fort. Hier nicht schlimm, aber im "richtigen" Leben kann das schon von Bedeutung sein. Fazit wie immer: TR und grobes Runden erst so spät wie möglich verwenden. 🙂👻 P. S. Wenn man gleich erkennt, dass die Spitze der Figur ein rechter Winkel ist, wird die Berechnung ein wenig einfacher.

Super erklärt und echt großartig rüber gebracht. Aber sei doch bitte so lieb und geh mit gutem Beispiel voran, indem du auch jeweils immer die Maßeinheiten dazu schreibst. Wenn Lehrkräfte das so in die Finger bekommen, dann ziehen sie den armen Kindern massenweise Punkte ab, obwohl sie so toll überlegt und gerechnet haben.

Hallo Susanne, wie bei meiner ersten Begegnung mit Dir/Deinem Kanal werde ich sofort von Optimismus und guter Laune umspült, wenn ich in Dein Forum klicke 🙂Das ist, neben Deiner erstklassigen Mathekompetenz, das nicht minder wertvolle Geschenk, welches Du bei jedem Video an mich und die ganze Welt austeilst. Wenn ich nicht gut drauf bin, brauche ich mir nur ein paar Videos von Dir anschauen und etwas Fröhlichkeit tanken, dann geht´s wieder besser. Danke dafür und alles Gute weiterhin - die Million ist Dir sicher, Uwe

Sehr schöne Aufgabe, danke! φ = 30° → sin⁡(φ) = 1/2 → cos⁡(φ) = √3/2 → sin⁡(φ/2) = √((1/2)(1 - cos⁡(φ))) = (√2/4)(√3 - 1) → cos⁡(φ/2) = √((1/2)(1 + cos⁡(φ))) = (√2/4)(√3 + 1) ABCD → AD = d; AB = a; BC = b = 19/5; CD = 37/5; a = AN + NM + WM + BW = q + n/2 + n/2 + q DN = h2; CS = h1; DV = n = DS + VS → sin⁡(DSC) = 1; h = h1 + h2 = CT → sin⁡(ATC) = 1 sin⁡(AND) = sin⁡(VWB) = 1 → DV = NW = n; CDV = NDA = BVW = φ/2 ∆ CDV → cos⁡(φ/2) = c/n → n = (37√2/5)(√3 - 1) sin⁡(φ/2) = h1/c → h1 = (37√2/20)(√3 - 1) ∆ BCT → cos⁡(φ/2) = h/b → h = (19√2/20)(√3 + 1) → h2 = h - h1 = (√2/10)(28 - 9√3) ∆ ADN → cos⁡(φ/2) = h2/d → d = (1/5)(37√3 - 55) → tan⁡(φ/2) = sin⁡(φ/2)/cos⁡(φ/2) = 2 - √3 = q/h2 → q = (√2/10)(83 - 46√3) → area ABCD = area ∆ CDV + 2area ∆ AND + area ∎NWVD → area ∆ CDV = nh1/2 = (1/2)(37√2/20)(√3 - 1)(37√2/5)(√3 - 1) = (4 - 2√3)(37/10)^2 area ∎NWVD = nh2 = (37/25)(37√3 - 55) 2area ∆ AND = qh2 = (1/50)(3566 - 2035√3) → area ABCD = (4 - 2√3)(37/10)^2 + (37/25)(37√3 - 55) + (1/50)(3566 - 2035√3) = (1/25)(1117 - 333√3) ≈ 21,609 a = 2q + n = (√2/5)(37(√3 - 1) + 83 - 46√3) = (√2/5)(46 - 9√3) ≈ 8,6017 or: φ = 30° → sin⁡(φ) = 1/2 → cos⁡(φ) = √3/2 → sin⁡(φ/2) = √((1/2)(1 - cos⁡(φ))) = (√2/4)(√3 - 1) → cos⁡(φ/2) = √((1/2)(1 + cos⁡(φ))) = (√2/4)(√3 + 1) ∆ BCQ → BQ = 2r = AQ + AB = m + (2r - m) = m + a; BC = b = 19/5; CQ = CD + DQ = c + DQ = 37/5 + DQ CQB = φ/2; DAB = 5φ/2 → QAD = 6φ - 5φ/2 = 7φ/2; tan⁡(φ/2) = sin⁡(φ/2)/cos⁡(φ/2) = 2 - √3 sin⁡(φ/2) = (√2/4)(√3 - 1) = b/2r → r = b/2sin⁡(φ/2) = (19√2/10)(√3 + 1) cos⁡(φ/2) = CQ/2r → CQ = 2rcos(φ/2) = (19/5)(√3 + 2) → DQ = CQ - 37/5 = (1/5)(19√3 + 1) area ∆ BCQ = (1/2)sin⁡(φ/2)(CQ)2r = 2(√3 + 2)(19/10)^2 ∆ ADQ → DQA = φ/2; QAD = 7φ/2 → ADQ = 2φ; AQ = m; AD = d; DQ = (1/5)(19√3 + 1) sin⁡(7φ/2) = sin⁡(6φ - 7φ/2) = sin⁡(5φ/2) = cos⁡(φ/2) = (√2/4)(√3 + 1) sin⁡(φ/2)/d = sin⁡(7φ/2)/(1/5)(19√3 + 1) → √3/2d = (√2/4)(√3 + 1)/(1/5)(19√3 + 1) → d = (1/5)(37√3 - 55) ≈ 1,817 → a = 2r - d = (√2/5)(46 - 9√3) ≈ 8,6017 sin⁡(2φ)/m = √3/2m = sin⁡(φ/2)/d → m = (√6/5)(28 - 9√3) area ∆ ADQ = (1/2)sin⁡(φ/2)(m/5)(19√3 + 1) = (√3/100)(2054 - 1008√3) → area ABCD = area ∆ BCQ - area ∆ ADC = 2(√3 + 2)(19/10)^2 - (√3/100)(2054 - 1008√3) = (1/25)(1117 - 333√3) ≈ 21,609

Schöne Schulaufgabe.

Mit dem Satz des Pythagoras hätte man auch manches Dreieck berechnen können. Z.B. das obere Dreieck, denn da sind ja die Katheten bekannt geworden, oder die unteren Dreiecke, da waren ja die Hypotenuse und eine Kathete bekannt (h2).

21,58 :) finde es wunderbar wie man auf unterschiedlichen Wegen zum selben Ergebnis kommt 🙂 habe nur wegen dir immer einen Block aufm Schreibtisch :D

Für das rechtwinklige Dreieck zur Berechnung der Länge x benötigt man nur den tan(15°)=2-sqrt(3). Der rechte Winkel des Dreiecks ist leicht nachzuweisen. Der dargestellte Rechenweg ist also unnötig verlängert.

Wegen der Fehlerfortpflanzung würde ich die Ergebnisse erst ganz am Ende explizit ausrechnen und runden: zu a) h_1 = c * sin 15° = 7,4 * sin 15° h = b * sin 75° = 3,8 * sin 75° h_2 = h - h_1 = 3,8 * sin 75° - 7,4 * sin 15° d = sin 75° / h_2 = sin 75° / (3,8 * sin 75° - 7,4 * sin 15°) Wegen des Stufenwinkels von 75° ist das Dreieck rechtwinklig in der oberen Ecke. Damit hat die gestrichelte Linie die Länge cos 15° / c = cos 15° / 7,4. a = cos 15° / 7,4 + 2 * h_2 * cot 75° = cos 15° / 7,4 + 2 cot 75° (3,8 * sin 75° - 7,4 * sin 15°) zu b) A(Trapez) = 1/2 * (a + gestrichelte Linie) * h_2 A(Dreieck) = 1/2 * gestrichelte Linie * h_1 A = A(Trapez) + A(Dreieck) = 1/2 (a * h_2 + gestrichelte Linie * h) = 1/2 (cos 15° (3,8 * sin 75° - 7,4 * sin 15°) / 7,4 + 2 cot 75° (3,8 * sin 75° - 7,4 * sin 15°)² + cos 15° / 7,4 * 3,8 * sin 75°) Und jetzt alles in den Taschenrechner eintippen. 😁

Lösung: a) h1 = 7,4*sin(15°)[m] ≈ 1,9153[m] h = 3,8*sin(75°)[m] ≈ 3,6705[m] h2 = h-h1 = 3,6705[m]-1,9153[m] = 1,7552[m] h2/d = sin(75°) ⟹ d = h2/sin(75°) = 1,7552[m]/sin(75°) ≈ 1,8171[m] a = b*cos(75°)+c*cos(15°)+d*cos(75°) = 3,8*cos(75°)+7,4*cos(15°)+1,8171*cos(75°) ≈ 8,6017[m] b) Flächeninhalt der Figur = = h*b*cos(75°)/2+h1*c*cos(15°)/2+h2*d*cos(75°)/2+c*cos(15°)*h2 = 3,6705*3,8*cos(75°)/2+1,9153*7,4*cos(15°)/2+1,7552*1,8171*cos(75°)/2 +7,4*cos(15°)*1,7552 ≈ 21,6088[m²]

prinzipiell eine gute Aufgabe.., wenn man dann noch von der grafischen Seite kommt, stimmen die Werte alle nicht exakt, einschl. rechter Winkel des oberen Dreiecks, hier hätte man bestimmt eine bessere Aufgabe finden können, um auf exaktere nachvollziehbare runde Werte zu kommen...., trotzdem schön gelöst hier

Eine schöne Aufgabe für Winkelfunktionen, die ich vorher selber ausgerechnet habe. Habe zuerst mit dem rechtwinkeligen Dreieck angefangen, weil man eigentlich sehen konnte, dass oben die Spitze 90 Grad hat. Als ich mir dann das Video angeschaut habe, sind mir die Rundungsfehler auch direkt aufgefallen😂. Wenn ich als ehemaliger Realschüler genauer rechnen kann, dann hätte die Schülerin vom Gümminasium bei diesen Rundungsfehlern sicherlich nicht die volle Punktzahl erreicht. Das Niveau vom Gymnasium hat auch sehr nachgelassen, so einfach wie die Aufgabe war😂.

Danke - hatte so ziemlich alles vergessen, was die Winkelfunktionen angeht, insbesondere die Formeln. Und mir das selbst wieder herzuleiten hmmm... ähhhmmm... nein, wäre eher nicht gelungen. Wir hatten auch noch keine Taschenrechner und haben die Zahlen aus Tabellen oder vom Rechenschieber abgelesen. In der einfacheren Mathematik kann man sich ja alles noch schön plastisch vorstellen ("Wir haben zwei Körbe mit Äpfeln drin..." - da waren aber nie Körbe mit Äpfeln... ), später waren die Dinge mehr abstrakt, und ich zumindest hab dann die Herleitung und die Aufgaben nicht mehr miteinander verbinden können und vor allem in der fortgeschrittenen Infinitesimalrechnung dann eben nur noch Formeln angewendet. Das hat dann für gute Noten noch gereicht, für ein echtes, tiefes mathematisches Denken und Verständnis nicht mehr... Gut, dass es Susanne gibt, da kriegt man zum Lösungsweg immer auch noch einen Klacks Charme obendrauf! : -)))

💯👍

Tolle Aufgabe! …Stufenwinkel 🤔

Da es sich um viele ähnliche Dreiecke handelt, könnte man auch die Verhältnisgleichungen verwenden. damit müsste man nur einmal mit Sinus oder Cosinus rechnen 😉

Danke❤️🙏

Hier sieht man mal, wie sehr sich Rundungsfehler aufaddieren. Die Gesamtfläche beträgt auf drei Nachkommastellen 21,609 m², was ja schon eine sichtliche Abweichung ist. Hier meine exakte Formel für die Gesamtfläche, mit der man den Wert, je nach Rundungsvorliebe, beliebig genau berechnen kann: A = (7,4 m / cos 15° + (3,8 m * sin 75° - 7,4 m * sin 15°) / tan 75°) * (3,8 m * sin 75° - 7,4 m * sin 15°) + ½ * 7,4 m * sin 15° * 7,4 m / cos 15°

Sehr schöne Aufgabe! Dennoch habe ich leicht andere Ergebnisse: h2 = (28*Wurzel(2)-9*Wurzel(6)) = 1.7553, gerundet also 1.76 d = 37/5*Wurzel(3) - 11 = 1.8172, gerundet also 1.82 Die Fläche berechnet sich entsprechend zu A = (1117-333*Wurzel(3))/25 = 21.6091, gerundet 21.6 Das gibt einen Fehler bei der Flächenberechnung von 0.13%. Gar nicht so schlecht dafür, dass Du nur so wenige Nachkommastellen verwendet hast. (Darf man mit 1.3 Promille eigentlich noch Auto fahren?) ;-)

what do you use for writing?

Genial, wenn man jemanden findet, der die Hausaufgaben für einen macht. 🤗🤫

hallo vielen dank für die Aufgabe du erklärst es echt super... was für ein Programm ist das was du benutzt also das Whiteboard ? Mfg

Eine zeichnerische Lösung geht auch problemlos. Große waagerechte gerade Linie. Am rechten Rand die 75 Grad nach oben. Die Länge ist ja auch bekannt. Dann ist oben der Winkel ja auch klar und auch die Länge der nächsten geraden Linie. Wo diese endet fängt die nächste gerade Linie an die ja der gespiegelten 75 Grad Linie entspricht. Also auch 75 Grad zur Wagerechten, nur andere Richtung. Bis man wieder bei der ersten wagerechten geraden Linie heraus kommt.

Wie immer: 👍👍👍👍👍

Hab alles richtig, aber die krummen Werte - und vor allem mit denen weiterrechnen zu müssen, weil man nicht weiß, wie viel Rundungsabweichung der Lehrer durchgehen lässt - hätte mich in der Schule sehr angep***t, muss sagen. 😅 Trotzdem schöne Aufgabe. Geometrie geht immer. 👍

Mit Trigonometrie sollte das eigentlich recht schnell gehen: h1 = 7,4 m * sin (15°) = 1,915 m h1 + h2 = 3,8 m * sin (75°) = 3,671 m h2 = 3,8 * sin (75°) - 7,4 * sin (15°) = 1.755 m d = h2 / sin (75°) = 1,817 m Wenn man oben ein 30-60-90°-Dreieck aufsetzt, erhält man ein gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln 2 * 75° + 30° = 180°: lange Kathete = kurze Kathete * √3 = 7,4 m * √3 = 12,817 m b(verlängert) = 3,8 m + 12,817 m = 16,617 m a = 2 * b(verlängert) * cos (75°) = 2 * 16,617 * cos (75°) = 8,602 m h(gleichschenkliges Dreieck = b(verlängert) * sin (75°) = 16.051 m A(gleichschenkliges Dreieck) = 1/2 * a * h = 69,033 m² A = A(gleichschenkliges Dreieck) - A(30-60-90°-Dreieck) = 69.033 - 1/2 * 7,4 m * 7,4 m * √3 ≈ 21,6 m² Ich befürchte, Susanne, dass du jeweils mit gerundeten Zahlen weitergerechnet hast, weshalb du am Schluss auf ein mässig korrektes Resultat gekommen bist. Gleich mal die Rechnungen in LibreOffice Calc tippen: A = 21.6090832431825... m²

Ich habe vieles über den SdP gelöst. Dann die blöden Rundungsfehler, deshalb eben eine leichte Abweichung (A=21,591 m^2)

Danke!

Es geht auch anders... Das gesamte Dreieck oben ist ein rechtwinkliges Dreieck und so kommt man mit tan(15°)*7,4m unmittelbar auf x=1,98m und damit auf d=1,82m. h1 wie gehabt, sonst müsste man p (7,15m) und q (0,51m) von y (7,66m) berechnen, was letztendlich h1=1,91m ergibt. mit y+2*z (z=0,46m) ergibt bei mir jedoch a=8,59m, aber gut... Zuletzt komme ich auf einen Flächeninhalt von 21,6m²... Alles im Rahmen, würde ich sagen.

Fläche = 21.6091, Perimeter = 21.6189 wenn darauf geachtet wird, dass nicht zu stark gerundet wird. Fläche und Perimeter sind fast gleich

Lösung: Zuerst stellen wir fest, dass das Dreieck oben ein rechtwinkliges Dreieck ist, da: 1. Der Winkel unten rechts ein Stufenwinkel zum Winkel des Trapez ist. Er ist also auch 75° 2. Die Innenwinkelsumme von Dreiecken 180° beträgt. Daher ist der letzte Winkel oben 180° - 75° - 15° = 180° - 90° = 90° Damit können wir sowohl die Hypotenuse (= "e" = gestrichelte Linie) als auch "d" berechnen, die kurze Kathete "b - d" ist. Hypotenuse: cos(15°) = c/e cos(15°) = 7,4/e |*e/cos(15°) e = 7,4/cos(15°) e ≅ 7,66104... d: tan(15°) = (b - d)/c tan(15°) = (3,8 - d)/7,4 |*7,4 3,8 - d = 7,4 * tan(15°) |-3,8 -d = 7,4 * tan(15°) - 3,8 |*-1 d = 3,8 - 7,4 * tan(15°) d ≅ 1,81718... Da es sich um rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir die Höhe h₁ bestimmen: 1/2 * c * (b - d) = 1/2 * e * h₁ 1/2 * 7,4 * (3,8 - (3,8 - 7,4 * tan(15°))) = 1/2 * 7,4/cos(15°) * h₁ |*2 /7,4 3,8 - 3,8 + 7,4 * tan(15°) = 1/cos(15°) * h₁ |*cos(15°) h₁ = 7,4 * tan(15°) * cos(15°) h₁ ≅ 1.91526 Wenn wir mit d und h₂ (nach links verschoben) ein Dreieck bilden, hat dieses die gleichen Innenwinkel (15°, 75°, 90°) wie das große Dreieck und ist damit ähnlich. Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse, daher können wir sagen: h₂/d = c/e |*d h₂ = cd/e h₂ = 7,4 * (3,8 - 7,4 * tan(15°)) / (7,4/cos(15°)) h₂ = 3,8 * cos(15°) - 7,4 * tan(15°) * cos(15°) h₂ ≅ 1.75526... h = h₁ + h₂ h = 7,4 * tan(15°) * cos(15°) + 3,8 * cos(15°) - 7,4 * tan(15°) * cos(15°) h = 3,8 * cos(15°) h ≅ 3.67052... Durch die Symmetrie des Trapez können wir auch sagen: (a - e)/(2d) = (b - d)/e |*2d a - e = (2bd - 2d²)/e |+e a = (2bd - 2d²)/e + e a = (2 * 3,8 * (3,8 - 7,4 * tan(15°)) - 2 * (3,8 - 7,4 * tan(15°))²)/(7,4/cos(15°)) + 7,4/cos(15°) a = (28,88 - 56,24 * tan(15°) - (28,88 - 112,48 * tan(15°) + 109,52 * tan²(15°)))/7,4 + 7,4/cos(15°) a = (28,88 - 56,24 * tan(15°) - 28,88 + 112,48 * tan(15°) - 109,52 * tan²(15°)))* cos(15°)/7,4 + 7,4/cos(15°) a = (56,24 * tan(15°) - 109,52 * tan²(15°)) * cos(15°)/7,4 + 7,4/cos(15°) a ≅ 8.60168... Damit sind alle Längen bekannt. Die Fläche ist dann: A = A(Dreieck) + A(Trapez) A = 1/2 * c * (b - d) + (a + e)/2 * h₂ A = 1/2 * 7,4 * 7,4 * tan(15°) + ((56,24 * tan(15°) - 109,52 * tan²(15°)) * cos(15°)/7,4 + 7,4/cos(15°) + 7,4/cos(15°))/2 * (3,8 * cos(15°) - 7,4 * tan(15°) * cos(15°)) A = 27,38 * tan(15°) + ((56,24 * tan(15°) - 109,52 * tan²(15°)) * cos(15°)/7,4 + 14,8/cos(15°))/2 * (3,8 * cos(15°) - 7,4 * tan(15°) * cos(15°)) A ≅ 7,336448... + 14,2726343... A ≅ 21,609083...

Einfach als Dankeschõn🎉😊😊

Ich wähle den Joker "Architekt für Waldorfschulen". 🙂

Du bist meni kizim Doim zoh salomat bolib yirgin😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊😊

DIE FLÄCHE DREIECK = SIN 15° × 7, 4 ^2 / 2× COS 15 ° = 7, 34 DIE FLÄCHE TRAPEZ = 1, 81 ( 7 , 4 + COS 15° ^ 2 × TAN 15 ° × 1 , 81 ) = 14 , 22

Da gibt's Abzüge in der B-Note wegen fehlender Einheiten!

Hallo Susanne Könntest Du bitte so eine Aufgabe barrierefrei für Blinde beschreiben? Du dürftest z.B. dann nie nur diese Seite sagen, sondern müsstest diese genau beschreiben. Alles sollte nur durch zuhören verständlich sein.

Das hat man mal gewusst.

Der Umfang des rot umrandeten geometrischen Körpers, beträgt 21,7 cm und sein Flächeninhalt beträgt insgesamt 21,2 qcm

Und wieder Punktabzug für die Verschlamperei der Maßeinheiten!!!!!!

Bei 11:50 wäre ich faul gewesen und hätte den alten Griechen Pythagoras bemüht😊

Hallo, ich will ja nicht kleinlich sein, aber der Flächeninhalt vom Dreieck ist 7,36. 14:05 Du hättest mit den 1,99 rechnen müssen, nicht mit den 1.92.

Hi! Meine TR App besitzt einen Verlauf, der alle berechneten Werte mit allen Nachkommastellen speichert. Habe dann immer diese genauen Werte weiter verarbeitet anstatt gerundete. Am Ende kam dann gerundet 22,01FE heraus. Kann das stimmen?

Dann mal los: . .. ... .... ..... h₁/c = sin(15°) ⇒ h₁ = c*sin(15°) = (7.4m)*sin(15°) = 1.915...m h/b = sin(75°) ⇒ h = b*sin(75°) = (3.8m)*sin(75°) = 3.670...m h₂ = h − h₁ = 1.755...m d/b = h₂/h ⇒ d = b*h₂/h = 1.817...m Die Länge der gestrichelten Linie ergibt sich gemäß: e = c*cos(15°) + (b − d)*cos(75°) = 7.661...m Die beiden Summanden entsprechen den Längen der Teilstücke links bzw. rechts der Höhe. Nun kann die Länge von a ausgerechnet werden: a = e + 2*d*cos(75°) = 8.601...m Der Flächeninhalt der Figur kann nun wie folgt berechnet werden: A = (1/2)*(a + e)*h₂ + (1/2)*e*h₁ = 21.609...m² ≈ 21.61m²

Vie viel Zeit hat ein Schüler um solch eine Aufgabe in einer Klassenarbeit zu lösen?

Ich hab in 4 std Mathe Prüfung 💀

hmm, finde den gezeigten Weg ein wenig zu umständlich. Habe sofort gesehen, dass wir hier ganz oben einen rechten Winkel haben. Dadurch werden die nachfolgenden Berechnungen einfacher.

Ich finde es kritisch bei Zahlen von Flächen zu sprechen. Entweder m2 oder erwähnten das hier alles in Metern gerechnet wird.

Grrrh, Mathematiker, rechnen mal mit [°], mal ohne [m] Einheiten ... Sonst eine schöne Fleißaufgabe.