Soit z \in C une solution: z = a+ib avec a, b réels On à 9^(a+ib) = 3^2022 On passe au module: On à a = 1011 D’où 9^ib=1 ie exp(i*b*ln(9))=1 Donc b*ln(9) = 0 [2pi] D’où b = kpi/ln(3) avec k \in Z Réciproquement, tout complexe de la forme 1011+i*(k*pi)/ln(3) est solution. Ainsi, l’ensemble des solutions est 1011+i*(k*pi)/ln(3) ou k parcourt Z
Merci pour ta vidéo, toujours un plaisir de les découvrir à chaque fois :) Arrivé à 3x3^(2x)=3^(2023), on pouvait aussi faire passer le 3 à droite pour obtenir 3^(2x)=3^2022) puis avec les propriétés avoir 2x=2022 => x=1011. Mais c'est claire que passer par une rue parallèle ^^
complètement d'accord avec toi, je ne comprends pas ce que ln vient faire ici sachant qu'il suffit juste de diviser par trois au bon moment pour avoir 2X+1=2023 donc 2X=2022...
à tout hasard, 1011 est réel ,mais finalement 1011 modulo 2pi convient également comme solution, il suffirait alors d'écrire que les solutions sont z=1011e(2*n*i*pi), avec n, naturel....(je ne suis pas certain de ce que j'avance...)
Je ne sais pas si c'est plus simple: Ok pour la 1ere ligne améliorée : 3 × (9^x) = 3 × (3^2022) // motif : (a)^(m +n) = (a)^ m × (a)^n // Ici : 2023 = 1 + 2022 ; Et (a)/^1 = a (9)^x = ( (3^2) )^1011 // motif : (a)^(bp) = ( (a)^b ) ^p // Ici : 2022 = 2 × 1011 (9)^x = (9)^1011 Et en raison de l'injection : x = 1011. // Donc en 4 étapes.... Very Happy 😊😊 Pour les formes complexes, Vous faites sans moi. 😁😊😁☹️🥰v
Avant de lancer, j'ai fait ceci de tête. Moins des 9 étapes annoncées, me suis-je trompé quelque part ? 9^x + 9^x + 9^x = 3 . 9^x Je divise par 3 => 9^x = 3^2022 (3^2)^x = 3^2x = 3^2022 J'applique un log3 car positif => 2x = 2022 x = 1011 Edit : ouf :) Par contre les complexes, c'était facile quand j'étais en MP. 15 ans sans math plus tard je suis à la rue, je ne sais plus le faire. Edit : en fait ça m'énerve, alors je tente un truc Franchement un peu à l'intuition, et surtout vérifié à la calculette (avec une puissance plus petite, elle ne gère pas 3^1011) car je ne sais plus comment y arriver correctement ! x = 1011 + (2.n.e/3).i.pi, pour tout n entier Ça a l'air de marcher ...
Pour les solutions complexes : On peut simplifier l'équation de base de la manière suivante : 9^x + 9^x + 9^x = 3^(2023) 3.9^x = 3^(2023) 9^x = 3^(2022) (3^x)^2 = 3^(2022) On a donc une équation du second degré avec les deux solutions suivantes : 3^x = 3^(1011) => x = 1011 ou 3^x = -3^(1011) Essayons de trouver les solutions de cette deuxième équations : 3^x = -3^(1011) On applique la fonction ln(x) des deux côtés de l'équation en revenant à la définition de la fonction : lnx = le nombre qu'il faut mettre en puissance à 'e' pour trouver x ln(3^x) = ln(-3^(1011)) x.ln3 = ln([-3]^(1011)) x.ln3 = 1011.ln(-3) x.ln3 = 1011[ln(-1) + ln3] ln(-1) ? Quel nombre peut-on mettre en puissance à 'e' pour retrouver -1 ? Il y a par exemple iπ, mais aussi -iπ et en réalité une infinité d'autres. On peut donc écrire : ln(-1) = i(2k+1)π avec k appartenant à Z Donc : x.ln3 = 1011[i(2k+1)π + ln3] x = { 1011[i(2k+1)π + ln3] } / ln3 avec k appartenant à Z Voici donc l'ensemble des solutions complexes de cette équation. Vous pouvez vérifier, ça marche bien.
Bravo pour l'effort ! Mais ce n'est pas ça...😅 C'est assez "dangereux" de passer le logarithme complexe (il n'en existe pas un unique mais une infinité). Il vaut mieux passer par l'exonentielle complexe (qui est bien définie et unique). Je te conseille de partir de l'équation : 3^(2x)=3^(2022) et de l'écrire sous la forme : exp(2xln(3))=exp(2022ln(3)) et à partir de là déterminer ce qu'implique que exp(z)=exp(z') sur z et z'.
D"habitude tu te débrouilles plutôt bien mais là tu t'es compliqué la vie pour rien. Voilà ma méthode, beaucoup plus rapide. On commence par diviser les deux membres par trois, mais on le fait intelligemment. Comme dans le premier membre on a trois fois le même terme, diviser par trois revient à n'en prendre qu'un seul. Quant au deuxième membre, diviser par trois revient à diminuer la puissance d'une unité. On se retrouve donc avec 9^x=3^2022 sans forcer. Ensuite, on transforme juste 3^2022 en 9^1011. Pour conclure, deux options : soit on connaît le concept de fonction injective, et l'égalité force x=1011, soit on ne se complique pas la vie avec le logarithme, on divise le premier membre par le second et on a 9^(x-1011)=1 qui force une nouvelle fois x=1011.
