Cohomologie : une histoire de groupes, d'anneaux et de géométrie

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Cette vidéo est la seconde partie d'une série de deux, consacrée à la cohomologie. La première partie est ici : • Les mathématiques de l...
Dans cette vidéo, je présente les bases de la théorie de la cohomologie (simpliciale), illustrée par de nombreux exemples de variétés simples (sphère, tore, cylindre, plan projectif). Je montre en quoi la cohomologie offre un invariant topologique très riche, en ce qu'il est doté d'une structure d'anneau, et est relié à l'homologie par la dualité de Poincaré dans le cas des variétés lisses. Je montre aussi rapidement des applications à la théorie de l'intersection, avec en particulier le théorème de Bézout pour les courbes complexes projectives.
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ERRATA :
- à 12:00 je parle de simplexe régulier, j'aurais dû écrire singulier (autrement dit, on autorise que l'application sigma soit singulière).
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Références et liens :
Hatcher, Algebraic topology.
Ma vieille série de vidéos :
- sur l'homotopie (groupe fondamental) : • Topologie Algébrique I...
- sur l'homologie (théorie) : • Topologie Algébrique I...
- sur l'homologie (exemples) : • Topologie Algébrique I...
- sur les formes différentielles : • Autour des différentie...
- sur l'utilisation des formes différentielles en physique : • Électromagnétisme et P...
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Plan :
00:00 Début
02:22 Rappels de topologie algébrique
17:45 Définition de la cohomologie
29:38 Exemple de la sphère
46:00 Cup produit et structure d'anneau
55:35 Exemple : anneau de cohomologie du tore
1:15:18 Plan projectif et coefficients dans Z/2Z
1:39:20 Anneaux gradués commutatifs
1:44:25 Dualité de Poincaré
1:55:40 Exemple : tore et coefficients binomiaux
1:57:25 Théorie de l'intersection
2:04:10 Théorème de Bézout
2:10:25 Cohomologie de de Rham et formes différentielles
2:13:37 Conclusion et résumé

Наука

Опубликовано:

14 июн 2024

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Комментарии : 62

@Pounjavery Год назад

Je ne comprends rien, mais le simple fait de voir des maths me rend heureux

@hindigente 2 месяца назад

J'aime la façon dont vous expliquez.

@Karim-nq1be Год назад

Merci, j'attendais cette seconde vidéo sur la cohomologie avec impatience :-)

@antoinebrgt Год назад

J'espère que c'est à la hauteur!

@jamelbenahmed4788 11 месяцев назад

⁠Large

@ducdeblangis3006 Год назад

Si tous les cours de maths étaient de cette trempe, on sortirait des tréfonds des classement PISA; merci encore

@antoinebrgt Год назад

Merci à toi :)

@samuelblarre4522 Год назад

Merci pour cette excellente vidéo. J'avoue avoir un peu décroché à partir de Poincaré. Mais le résumé à la fin est très utile.

@antoinebrgt Год назад

Merci! Oui ça peut demander un deuxième visionnage dans quelques semaines, le temps de laisser infuser un peu !

@blytox6136 Год назад

Merci j’adore tes vidéos !

@antoinebrgt Год назад

Merci, je suis content que ça te plaise !

@numv2 Год назад

Excellent, j'adore ! Merci. Question, quel est le nom du software qui te sert de tableau noir pour les vidéos ?

@antoinebrgt Год назад

Merci ! J'utilise Gimp (voir ma video FAQ pour les détails de comment je fais).

@numv2 Год назад

@@antoinebrgt Super, merci ! J'avais loupé la FAQ. J'ai regardé beaucoup de tes vidéos mais il m'en reste pas mal.

@antoinebrgt Год назад

@@numv2 Oui il y a de quoi faire !

@misterdouchet7067 Год назад

Elle est belle cette mathématique avec cette dualité dans cohomologie-homologie comme si elle révélait le caché dernière beaucoup d'idées !

@antoinebrgt Год назад

Oui, c'est vraiment un bel ensemble ! J'ai essayé de le montrer mais je n'ai pu qu'esquisser le paysage...

@bouhschnou Год назад

@9:00 delta 3 existe en plusieurs exemplaires, ou faut-il que (0, 0, 0, 1) est le dernier point (0,0,0,1) accessible par les flèches en partant de (1,0,0,0)?

@BigToinE976 Год назад

Bonjour, merci pour cette super vidéo que j'attendais ! Je ne comprends pas la triangulation du tore T2 à 57:30 , les point 2-3-4-5 ne sont ils pas un seul point, car ils sont tous le point de départ et d'arrivée de a et b, pourquoi portent ils des numéros différents ? D'ailleur c'est marant qu'on puisse déssiner sur un tore 4 triangles non triviaux avec 2 points.

@antoinebrgt Год назад

En effet ce sont bien tous le même point, j'utilise ces numéros uniquement pour désigner les différentes faces. Par exemple la face 124 et la face 145 sont différentes, mais si j'avais utilisé le même numéro je devrais les appeler 122 et 122, pas moyen de les distinguer ! Donc c'est juste un outil ici. Mais tu verras qu'à aucun endroit dans le calcul je n'ai utilisé ces points, je m'en sers juste pour désigner les côtés et les faces. Merci pour la précision, c'est en effet un point utile à mentionner !

@nizaru100 Год назад

@@antoinebrgt Bonjours , Mille Mercis à SCIENTIA EGREGIA, à Vous DOCTEUR BOURGET !! Doit-je être étonné de ne jamais avoir entendu parler de la Cohomologie et de la conjecture de Hodge de la part de mes prof. de Prépa MP années 2002 - 2005 et des Prof. du mon Ecole D'ingénieur en GENIE ELECTRIQUE, jusqu'à l'avenement de Wikipedia et de Scientifique sur RU-vid plus Jeunes que moi ? ((Anecdote : Durant ma Prépa en MP 2002-2003 Y'avait un etudiant parmi -nous qui s'appelait '' Mohamed Bendriss Alami '' qui s'est qualifié pour Les Olympiade Internationales 2003 De MAthématique à TOKYO, Japon, c'est dire le niveau de la classe!)). Je suis né en 1984, et originaire du Maroc Pas de France ! d'ailleur depuis le programme de Prépa en 1995 en France comme au Maroc le RELATIVITE RESTREINTE A ETE SUPPRIME DU PROGR. MP DE LA PHYSIQUE !! Dommage Donc Ceci ne Casse pas la Legende selon laquelle la Prépa c'est Difficille ? Parceque par rapport à vous Docteur Bourget, le bagage des prépa est peut-etre Riquiqui , et je pense que le principe meme de la Prépa juste pour un concours est à reformer profondemment!! TAMAM SHUD

@jamelbenahmed4788 11 месяцев назад

Incroyable, c’est vraiment très joli T’as l’air d’être une tronche en maths ! Combien dannées a duré ta thèse ? Quel était le sujet de ta thèse ? Ou l’as tu fais ? ( à quelle école, à Ulm) ? J’ai aussi une question sur cette vidéo : On prend une variété différentielle où topologique avec une forme différentielle dessus. On a des formes exactes de degré k qui forment le groupe Zk(M) et des fermées qui forment le groupe Tk(M). Toute forme exate est fermée. La cohomologie de ces formes différentielles est donc Hk(M)=Zk(M)/Tk(M) ?

@antoinebrgt 11 месяцев назад

Merci, pour ta question, c'est l'inverse, la cohomologie c'est les formes fermées modulo les formes exactes. Et oui j'ai fait ma thèse à l'ENS Ulm, ça a pris 3 ans, durée normale :)

@nicolasburgh83 Год назад

Merci

@untrefri8945 Год назад

Excellent vidéo !👍👍 - moi, j'ai laché après le cup-produit, à partir du cas RP² pour cause de manque de bases suffisantes. Dommage qu'il n'y ait pas de vidéos équivalentes pour les faisceaux (entités intrigantes qui cotoient souvent la cohomologie dans les textes mathématiques que j'explore... de loin).

@antoinebrgt Год назад

Merci! Je vais parler des faisceaux prochainement :)

@untrefri8945 Год назад

Top ! Merci Antoine

@HB-kx8lb Год назад

merci beaucoup pour tout ce que vous faites. S'il vous plaît, pourriez-vous me dire la référence de la tablette graphique que vous avez utilisée ?

@antoinebrgt Год назад

Tous les détails sont dans la vidéo FAQ !

@idiosinkrazijske.rutine Год назад

Веома садржајно и квалитетно урађено, лако је пратити и са средњим знањем француског језика, само настави пријатељу!

@antoinebrgt Год назад

Merci, ainsi qu'à Google traduction pour m'avoir permis de lire ce commentaire :D

@ever_lord Год назад

tu pousses le bouchon un peu loin maurice ! j'ai suivi mais rien compris, et c'est marrant. sinon, le théorème de l'intersection c'est un cup ou un cap ? vu que tu introduis le cap pour ce théorème, je suis surpris d'y voir un cup.

@antoinebrgt Год назад

A quel endroit exactement ? C'est possible que j'aie fait une erreur à un moment...

@ever_lord Год назад

@@antoinebrgt à pile 2h00

@antoinebrgt Год назад

@@ever_lord Non c'est bien le cup, puisqu'il faut obtenir une 2n-forme qu'on évalue ensuite sur le cycle [M].

@ever_lord Год назад

@@antoinebrgt ok merci pour cette réponse, et pour tout ce que tu proposes (ça fait bizarre de pouvoir communiquer directement avec un futur prix nobel)

@antoinebrgt Год назад

@@ever_lord Futur prix Nobel c'est peu probable :D Mais merci pour les encouragements !

@clmasse Год назад

Donc les bords n'ont pas de bord. Ça semble très simple, mais pour le démontrer on utilise R^n qui a beaucoup de propriétés importantes. La question c'est alors, quelles sont les propriétés minimale d'un autre ensemble qui jouerait le rôle de R^n pour que ce théorème soit vrai? Il me semble que c'est un problème d'"intégrabilité." Comme on sait, Wheeler a expliqué que les lois fondamentales de la physique se réduisaient au seul principe selon lequel le bord d'un bord est 0.

@louleke77 Год назад

Oh la c'était dense... Poincaré et de Rham vont être mis de côté un peu. J'vais m'en aller calculer quelques anneau de cohomologie dans des tas d'exemples, puis j'y reviendrai 😂

@antoinebrgt Год назад

Oui c'est un peu l'idée de ce que je fais ici, je le calcule pour divers exemples ! Mais en effet tu peux t'entraîner sur d'autres exemples, c'est la meilleure façon de comprendre.

@smartcircles1988 Год назад

Tu peux mettre tes vidéos en HD stp

@antoinebrgt Год назад

Hm je ne sais pas si c’est facile à faire, je pourrais essayer d’augmenter la résolution la prochaine fois, est-ce que ça serait vraiment utile ?

@smartcircles1988 Год назад

@@antoinebrgt Oui, bien sur, cela serait encore plus agréable à regarder que ça ne l'est déjà ; ) L'image est un peu floue parfois !

@antoinebrgt Год назад

@@smartcircles1988 d'accord, je verrai si je peux changer les réglages!

@antoinebrgt Год назад

@@smartcircles1988 D'accord, je vais essayer de faire en 1080 la prochaine fois !

@themonstrousmoonshine Год назад

@@antoinebrgt Ce serait un peu dommage, le numérique est le premier domaine qui voit son empreinte carbone galoper d'année en année. Cette empreinte carbone se reparti pour moitié sur la fabrication du matériel, et pour l'autre, le fonctionnement du réseau. Pour cette seconde partie, l'empreinte est directement liée à la consommation de données. On comprend ainsi très vite que la vidéo concoure pour l'immense majorité de cette empreinte. En augmentant la qualité des vidéos, nous augmentons au carré nos rejets de CO2. Ou de façons plus positive en baissant volontairement grâce à la petite roue d'engrenage la qualité de lecture, nous pouvons donc diminuer significativement l'empreinte général du numérique. Personnellement, je regarde vos vidéos en 360p, et je trouve le confort de lecture très acceptable pour des graphiques tels que vous les dessinez cette chaîne. Donc si je me permettrais une demande sur ce sujet, ce serait au contraire que vous baissiez au contraire la qualité maximale proposée à par exemple 480p, ce qui laisserait un confort de lecture encore un peu plus supérieur à celui auquel je me suis habitué, et diminuerait automatiquement la qualité des utilisateurs non avertis sur ce sujet si important. Et je sais de source sûre, que nos amis les ours polaires soutiendront ma proposition ;-)

@alimoufid8187 Год назад

Si le bord d'un bord était nulle alors les périmétre serait infini

@antoinebrgt Год назад

Hm je ne comprends pas le raisonnement...

@alimoufid8187 Год назад

@@antoinebrgt un objet sans bord un objet sans ilimite alors son volume est infini mais le volume d'un bord c'est le périmètre de la surface qui il délimite

@antoinebrgt Год назад

@@alimoufid8187 Non je pense que tu interprètes mal ce que "sans bord" veut dire. Une sphère par exemple est sans bord, mais a un volume fini

@alimoufid8187 Год назад

@@antoinebrgt non la sphére est borné Par elle même

@jamelbenahmed4788 11 месяцев назад

non il parle de la surface quand on parle de bord on parle de surface