Does 0.999… equal 1? [English Subtitles] 

えっろ

ゾクゾクポイント謎でおもろい

なんかキモいけど好き

理想的には一般的な解釈をすべて列挙してそれらがすべてこの動画の定義と同等であることを証明するべきかもしれませんが、そもそもそれは可能かどうかすらよくわからないので割り切りました。

@@evimalab リプライありがとうございます。 確かにそうですね。解釈の同値性や、そもそもの正当性の吟味をするだけでもかなり大変そうです。

初項0.9,公比0.1の無限等比級数が1に収束するのは使えない？

まだあんまり数学のことを知らんからあれだけどそんなεがあったら極限が仕事しなくなっちゃうのかな

εと1/Nの逆数を取れば、ε/1>Nとなる。つまり、その当たり前だけど大切ってコメ主が言ってることは実はどんな数よりも大きい数ε/1が存在しないということと同値。これを公理(定義)としたのがアルキメデスの原理で実数の構成には必須の公理の一つ

ありうるというか、ちゃんと存在してる。超準解析という世界が。極限を超準解析で観測すると数として無限大や無限小が出現する。

？？？実数ですね

​@@user-mu4st4wq5o超実数の話では？

論文URL: scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1511&context=tme

私が貼れば非表示にならないと思うので貼ってみます。scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1511&context=tme

@@evimalabありがとうございます！

まあ確かに0じゃなければ何でも割っていいからね()

オイラーみたいに目潰せば心のホワイトボードができるね😊

かのノイマンは頭の中にそんな空間があったらしい

ラフに言うと、上限supが存在することを実数の定義にしたわけです。 supの定義に「実数」という言葉を用いていますが、厳密にはこの時点では実数ではなく、この時点では「体という代数構造(和と積の演算)と、全順序構造(大小関係)をもち、それらが整合性をもっている(同じ数を足しても大小関係が変わらないなど)集合」でしかありません。これに対してsupを定義し、存在することを要請することで実数を定義できるわけです。 実は有理数全体からこの「実数全体」に準同型かつ順序同型(演算が保たれ大小関係が保たれる)な単射を構成できて、有理数全体が実質的に実数全体に包含される(これを埋め込むという)という形で実数の体系が生まれるわけです。

数学界で偶に喧嘩になる奴だ…

一般人からすればP進数の方がキモいから帯に短し襷に長しというやつだ

任意の x < 1 に対して n = ceil(log10(1/(1-x))) をとれば 10^n ≧ 1/(1-x) ですが、log という関数の存在への依存を避けてみました。

いずれ 1920×1080 が主流になるかもしれませんが、スマホで見ることを考えるとまだまだ 1280×720 が最も無難だと思います。

確かに最小値が存在しない可能性がありますが（この可能性は特に否定していません。本当に存在しなければ「0.999…と表記される数は存在しない」という結論になります）、調べてみたら存在したので結果オーライとしています。 > 証明する必要があるものとそうでないものを見分ける力 「どの青い点よりも右の点のうち最小のものを0.999…と定義した、これは定義なので証明するものではない」というのは、 「最小値は存在する」という主張を含んでいたつもりではありませんでしたが（単に「その定義好きじゃない」と言われても知らんというだけ）、 誤解を招く表現だったかもしれません。ご指摘ありがとうございます。

@@evimalab 返信どうもありがとうございます！ > 確かに最小値が存在しない可能性がありますが、調べてみたら存在したので結果オーライとしています。 最小値が存在しない可能性、一つだけ存在する可能性、二つ以上存在する可能性のすべてを考えながら改めて動画を拝見したら、確かに「一つだけ」以外の可能性はないことが理解できました！ この問題が興味深いのは青い点に最大値がないからだ、と考えながら動画を拝見していたので、最小値という言葉が出てきた瞬間に思考がストップしてしまっていました。 青い点に最大値がないことを思考に組み込みたければ、 青い点の最大値を0.999…とする→そんなものはない→どの青い点よりも右の点の最小値を0.999…とする→あった！ と考えればよかったのですね。 とても面白い動画と丁寧なご返信どうもありがとうございました！

「すべての P_n より大きい最小の x」の存在を仮定したつもりはありませんでした。 （存在しなければ「そのような値は存在しない」という結論になるつもりでした。わかりづらくすみません。）

「すべての P_n より大きい最小の x」ではなく「すべての P_n より大きい x」の存在に関しては、少なくとも x = 1 は条件を満たすと考えています。 （任意の正の整数 n に対して 1 - P_n = 1/10^n > 0 です。）

@@evimalab 『9が無限に続いたとき……』の証明に、『全てのP_n＝無限個のP_n』を用いると循環論法になっています。回避するには、ε-N論法風に『全ての……』を避けて『どのような……』を用いるべきです。また、式中に1/(1-x)が出てくるため、ｘ＝1は、発散してしまうので解になり得ません。

1.「すべての正の整数 n に対し、～」と「どのような正の整数 n に対しても、～」は同義だと思いますが、違うのでしょうか。 2.「解」とは何でしょうか？動画で述べたのは、「すべての（= どのような）正の整数 n に対して（も）x > P_n であるような実数 x の最小値は 1」ということです。最終的な結論はこの一点のみです。

@@evimalab ① 2:43 x=1の場合は、 0

他のコメント見てて思ったけど今までの自分は無限小の解釈が違ってたっぽい？(高校生並感)

まあ、循環小数の定義方法なんていくらでもあるから、その定義が同値かどうかの議論はいいと思う。

というか、そもそもの定義でlimは=ではなく→で表記すれば良かったのでは？とも思うけど、それでは何か弊害があるのかな。

a[n] → α (n → ∞) のとき α のことを lim_{n → ∞} a[n] と書く、と言うのが定義なので、「=」は厳密に=なんですよ。 a[n] = 1/10^n のとき、a[n] → 0 (n → ∞) であって a[n] たちはいずれも0ではなく、nが大きくなったところでa[n] はただ0に近づくだけで0にはならない、ここまでは完全に正しいです。 ただ、lim_{n → ∞ } a[n] = 0, という等式において、 「lim_{n → ∞ } a[n]」という部分は「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」というのと正確に同じ意味なので、この等式は 「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」 = 0ということです。 そして、「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」はもはやnに依存していないので、nの増大につれて0に近づくというよりは、最初から既に0です。

どちらかというと、”0.999…”の表記が極限のニュアンスを含むのにlim記号を略記してしまっていることが、多くの人が誤解する原因である気がする

@@EEquals2718281828 もちろん定義のことは理解してるつもりです。私の中ではlimも関数のようなもので、関数,変数,変数の収束先をinputしたら関数の収束先をoutputするような関数という認識なので、limでの=は両辺同じ値という意味で厳密にイコールです。ただ私が言いたいのは、初学者の人はグラフなどでイメージすることが多いですが、そこでlimの=の意味を実際に到達する値だと誤解している人が多いから、混乱が生じやすいのでは？と思っただけです。結局表記方法の問題でしかないですが、0.999…が9を1つずつ増やしていくという意味でなら厳密に1に到達しないし、限りなく近づく値というlimでの意味なら1と厳密に等しいことになります。

@@user-hz6jk6gf6o まさにそうだと思います。limの意味をちゃんと考えるきっかけになるという意味では、ある意味いい問題かもしれません笑

10のn乗より1/εのほうがでかいしなあ

超准実数だとそうだけど、実数に無限小は定義出来ないよ

答え何...

@@ℯðℊℒℙℱℌℋℛℳℴþℬ 保母さん（ほぼ3）

@@matsuokenshirou なるほどぉ!...てあれ?

@@user-river_mountain あってる確信あるからコメントしてそう

@@chrome1838 そらそうよ でもやってみたことがあるわけじゃないのでね

有理コーシー列であって差の極限が0に収束するものをグループ化していくと実数ができる。有理数qに対して数列{q}[n=0→∞]を含むグループが対応して、対応する有理数がないグループは無理数を表す。 あとは{a₋ₖ₊ₙ/N⁻ᵏ⁺ⁿ}[n=0→∞]っていう列がk,Nは自然数でa₋ₖ₊ₙ＝0,1,2,3, ⋯ ,N−1って制約のもと有理コーシー列になってることを確認したらN進位取り記数法完成じゃない？

デデキント切断みたいなとはなんぞやか、というのは置いておくとして、深く知りたいならε-N論法あたりを調べるとよいのではないかな。（一般通過浪人生より）

色んな解析学の教科書の最初の方にでできんともεNの解説も載ってました(数学科)

「任意の正の整数 n に対して x > P_n である」（これを条件 A とします）ような「最小の」実数 x を 0.999… として定義しており、1 が条件 A を満たすため 1 より大きい値に関してはどうでもよいことになります。

​@@evimalabそうじゃん、、、、 0.99...が定義の具体的な数字だったわ、、、

メインの層は日本人だからね、しょうがない

You can move subtitles by dragging them.

中学で習った時は10aにすることで9が1つ減るやん！ふざけんな！って思ってた。無限を受け入れるのは難しい

10a-a=(9-0.9)+(0.9-0.09)+…=8.99…

@@okiami_4774 結局9.999…-0999…=9 のところで10^-∞=0を認めちゃってるからな それ認めて良いなら、 0.999…=1-10^-∞=1だよねって感じ 厳密な極限を語るならε-δ論法使うしかない

高校数学レベルでは十分に厳密

9を「無限に」並べるという行為を考えるなら、それには1が割り当てられるかもしれません。有限個であれば何個並べても届きません。 そのほかは問題ないと思います。

0.999•••(以降xと表記)の定義がこの動画では”全てのPnより大きい最小の数”なので10x-x=9が明らかでありません。 したがってそのような証明は難しいでしょう。

全く同じ数です。（1/2 と 2/4 が全く同じ数であるのと同様です。） 確かに lim[x→1-0] 1/(1-x) = +∞ ですが、この「1-0」は数とはいえないでしょう。少なくとも実数ではありません。

この手の本質的な問題は「全く同じ」や「厳密に同じ」をどう捉えるかによるものだと思います。 私は実数を主とする数学において、２つの等号が存在すると考えています。 １つめは　実数と実数を結ぶ等号(ex. 1+2=3)で、これは100人中100人が唸る、厳格な法則です ２つめは　超実数と実数を結ぶ等号(ex. lim における等号)で、超実数を実数として受け入れたときに「限りなく近づく」ことが認められるという意味の等号です （ここでは両者を区別するために同じ体系どうしの等号を＝①、２つめを＝②と表記します） 0.999... は超実数の体系で 1 - ε (無限小) と表されるので　0.999... ＝① 1-ε ＝② 1　になります ここで、実数の体系で評価する人は＝②を認め、「0.999...と1は全く同じだ」というでしょうし、 超実数の体系で評価する人は＝②を区別し、「0.999...と1は異なる」と答えるでしょう。 これはいわば、円柱と球を上から光源で照射した際に、できた円形の影だけを評価して「同じだ」と評価するものもいれば、 立体形状も視野にいれたうえで「異なる」と評価する人もいる、というようなものに近いでしょう

@@evimalab ありがとうございます。 つまり、 1/(1-0.999...)は「定義なし」ということでしょうか。 私の主張は 1と0.999...が同じ数なのであれば、 a=1, b=0.999...としたとき 1/(1-a) 1/(1-b) が同じ答えになる というものです。これに論理的な破綻はないと考えているのですが。

​@@chikatetsu147はい、そういうことです。

最後1で終わってる時点で桁数が有限

@@user-hf6yf5tz3i ｢1を3つに分けた時の余り｣とかがこれに当たるのかな(いわゆる無限小？) 個人的に存在してくれた方が嬉しいんだけどね…

@@タンガンちゃん 0.000…1が余るように感じるのは十進数の欠陥であって本来はぴったり割り切れる 1/3は3進数では0.1になって綺麗に足せる

@@user-hf6yf5tz3i 🤔🤔🤔🤔🤔？？？？？ ぜんぜんわかんないや… 無知無知で申し訳ない

@@user-hf6yf5tz3i 🤔🤔🤔🤔🤔？？？？？ ぜんぜんわかんないや… 無知無知で申し訳ない

おぉん？ 公式丸暗記の下でただ初項0.9公比0.1を代入してるだけならまだ浅いという言説が出るのも分かるけれど、大抵は等比級数の和の公式の証明もセットですよね？そしてその公式はえびまラボさんの過去動画でも登場しています（1/n^2の無限級数の和）。 何を持って議論が浅い/深いとなるのか教えてもらえますか？

数学的正しさや、深淵にある真理から積み重ねて事実を作ることに、価値を見いだす者ばかりではない事は確かだ。 どこかの誰かが既に正しいとした物に頼れば、先生や皆の言った通りになることも教室における価値である。 また、以前より高度な概念で、別方向から同じことを見つめることが出来れば、より分かったと思うだろう、これをそういう高校生は腑に落ちたと呼んでいる。 恐らく、真に数学に通じれば、どんどんと腑が深くなり、そう納得しなくなるのだろうが、それはつまりあらゆる教科の納得を得るために時間が足りなくなるor納得を諦める選択を毎回する ことになるわけで、数学特化の高校でも無い限りはそこで腑に落ちるのをとめて、まだ納得するなと言うのは酷な話かとも思う。 日常的な感覚、慣れ親しんだ形式、現実で観測する程度の厳密さ、これらでもって分かったと思わせ、人生の次に必要なもの準備に向かわせる。これが数学的教育かというと否定したいが、教育ではあるだろう。多分。

（あかん、2人が何を言ってるのか全然分からん。誰か解説してくれ）

@@user-so9by7pb6m 現文要約で修正されなかったこと無いし、小論文では「何言ってるか分からない」「どういうことなのか」と先生を不機嫌にさせた様な者が書いた文だし、どうやらそもそも私が文というものから読み取る認識も偏っているようし、恐らく私の文の方に非がある。きっとまた的外れなことを間違っていないとしか思えていないことに恐怖、未だ諸々整わんまま書いてすまない、理解を求めてくれたことに感謝を。

@@user-so9by7pb6m まあ浅い/深いに関しては「実数の構成からすると〜」って書いてる通り相対的な意味で、数列の極限の話(証明とかも含む)が実数の構成の話に含まれるってだけ。 0.999…=1を証明するだけなら極限の話だけでいいけどそもそもなんで数の表し方が2通りあってもいいの？とか、0.999…ってこれはそもそも数なの？とかの疑問があるから1/3=0.333…の3倍の説明で納得いかなかったんじゃないかと思うんですよね。そしてこの疑問に答えられるのが実数の構成の話で、「実数は有理数数列の極限」なのでまさしく左辺の0.999…は実数として定義されてる。したがって右辺も実数で構成された1であって、それらが等しい事を言って初めて等式が説明される まあいろいろごちゃごちゃ言ったけど [lim x (x→0.999…) となるような極限]=1と 0.999…=1は別物ってこと 極限を用いた証明は上しか説明してないから浅いという風に言った

むしろこれこそが極限の考え方だったりする

ε-δ論法

@@__yuper__ やっぱ関係あるんだ！

@@glunp789 数学科で習うやつか！

今回は数列の極限なのでε-N論法と言った方がいいかも

0.333… も実数ではないとおっしゃいますか？ （なお ja.wikipedia.org/wiki/0.999.... というページがあります。）

@@evimalab FYI: www.ijam.latticescipub.com/wp-content/uploads/papers/v3i1/A1148043123.pdf

言葉を選ばずに申し上げると、その論文の内容は支離滅裂です。 （1ページ目右カラム真ん中付近の "Which is possible only if the number 9 is divisible by the number 1 but numbers 1 and 10 are not divisible by the number 1." のあたりから物凄いことになっています。） 見なかったことにしましょう。 おそらく「任意の実数の十進小数としての表記はただ一つである」と思っていらっしゃる気がしていますが、実際には「一つまたは二つ」です。 例えば 0.5 は 0.4999… とも表記できます。この点は高木貞治『増訂解析概論』にも表記があります。 linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_6.html を見てください。 （ linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_9.html でも 0.5000… = 0.4999… であることに触れられています。）

@@evimalab えぇ…こちら査読付きのカンファレンスで通っているものですが… そもそも、0.333…x3という、無限桁を含む数の計算や3/3によって0.999…を厳密に導くことはできず、0.999…を1とすると定義づける以外には、0.の後に9を無限に置き続けるという「操作」的解釈でしかなり得ません。 これは他の方の指摘にも合ったように、x

上の論文が査読付きのカンファレンスで通っているというのは本当でしょうか？ > III. RESULT > The number 0.999... is only a virtual number, not a real number and does not exist on the real number line. Hence the number 0.999... is called a pseudo number. この記述が正しいとすると、この論文以外にも 0.999… を pseudo number と呼ぶ文献があってしかるべきだと思いますが、そのような文献を提示していただけませんか。

0.0000000...1は無限に小さいから、0.99...99からそれを引いたとしても0.99...98にはならない

そもそも0.999...は[0,1)の中に無いってことが動画見てたらわかると思う。

@@paper-igzsb まあ確かに、これは無限って言葉出したのがいけなかった 私が言いたかったのは 任意の自然数nについて1-1/10^n

@@user-kt6fq5il9u ＞任意の自然数nについて1-1/10^n

すべての実数で1に最も近い実数は存在しません……存在したら実数の性質が崩れちゃいます