Mille mercis pour vos brillantes explications. C'est toujours un soulagement de tomber sur une de vos vidéos lorsque je suis à la recherche d'éclaircissements sur mes cours.
cette chaîne est très bien vidéos incroyablement bien expliquées on sent un grand travail sur la réalisation de ces vidéos j'espère et je ne doute pas qu'elle va exploser !
Bonjour, merci beaucoup pour vos explications, mais j'ai une question par rapport au début lorsque vous expliquez que phi n'est pas injective : Pourquoi si ph1,....phn est une famille libre, il existerait des famille libres de cardinal aussi grands qu'on veut, sachant que E est de dimension n ? Merci
Salutations ! En fait, si φ était injective, alors l'image d'une famille libre de R[X] par φ serait une famille libre de L(E). Raisonnons donc par l'absurde et supposons que φ soit injective, et notons n = dim(E). Du coup, dim(L(E)) = n². Si je choisis, par exemple, (1,X,...X^{n²}), qui est une famille libre de cardinal n²+1, alors (φ(1),...,φ(X^{n²})) serait une famille libre de L(E) comptant n²+1 éléments, ce qui est absurde puisque cela excède la dimension de L(E): contradiction. Ainsi, φ n'est pas injective 👍 !
Vous pourriez pas faire une vidéo qui explique comment on détermine le polynôme minimal dans les cas concrets comme des matrice de taille 3 ? Je connais la théorie mais je ne sais pas faire sur des exemples.
Le plus simple, c'est de calculer un polynôme annulateur (par exemple le polynôme caractéristique, en taille 3 x 3 c'est pratique). Cette émission explique que le polynôme minimal est l'un des diviseurs de ce polynôme. Ainsi, il s'agit de vérifier, parmi ces diviseurs, qui est annulateur de la matrice et qui ne l'est pas. Exemple, dans les grandes lignes: polynôme caractéristique de A = (X+1)(X+2)(X-3). Premier filtre: 🔹 (X+1)(X+2) pas annulateur de A 🔹 (X+2)(X-3) pas annulateur de A 🔹 (X+1)(X-3) annulateur de A Le polynôme minimal est donc un diviseur de (X+1)(X-3). Deuxième filtre: 🔸 (X+1) pas annulateur de A 🔸 (X-3) pas annulateur de A Cela permet de conclure: (X+1)(X-3) est le polynôme minimal de A.
![[EM#18] Polynôme minimal d'un endomorphisme (Démonstration)](/img/logo.svg){kind=logo}
