@@maths-lycee Désolé d'insister mais je suis très intéressé par cette formule. Il me semble que cette dernière ne marche que lorsque ((q^2)/4)-((p^3)/27) ≥ 0, insinuant que le polynôme ne possède qu'une racine réelle. Pouvons-nous faire appel aux nombres complexes pour résoudre par l'équation : x^3 = 51x + 104, possédant trois solutions réelles distinctes comme le site " www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/cardan.html " le suggère ?
@@maths-lycee j'ai oublié de mentionner que ((104^2)/4)-((51^3)/27) = -2209 < 0, ce qui pose problème lorsque nous voulons calculer sa racine carrée. Auriez-vous le temps de préparer une vidéo sur ce sujet qui m'a l'air passionnant ?
@@Skyxo Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées complexes distinctes, qui sont opposées. Par exemple, les racines carrées complexes de -1 sont i et -i, et les racines carrées complexes de 2i sont -1-i et 1+i. La méthode de Cardan générale consiste à d'abord opérer une substitution (changement de variable affine) pour éliminer le terme en x^2 comme sur la vidéo avec X+2/3. Après on pose X = u+v et on trouve que u^3 et v^3 sont solutions d'une équation de degré 2 via système somme produit. Si on a nécessité de calculer une racine carrée complexe ou une racine cubique complexe, on le fait, ça n'est pas un problème.
@@alexandregaeng3638 Je suis allé me renseigner sur cette méthode ensuite et c'est magnifique, seul bémol : comment fait-on lorsqu'on substitue U = u^3 dans l'équation du second degré (dans notre système avec u et v), puis qu'on veut trouver u = U^(-1/3) (ou v d'ailleurs) mais que l'expression U^(-1/3) est incroyablement complexe à réduire ? Notons qu'à la fin on désire que X = u + v soit au moins une approximation d'un nombre rationnel, car parfois même la calculatrice n'arrive pas à calculer la racine cubique d'un nombre...
C'est bien le problème, elle marche forcément puisqu'elle a été démontré mais la mise en œuvre est très laborieuse et donne des nombres tellement compliqués qu'on ne l'utilise presque pas. Rien que des exemples qui tombe juste peuvent se révéler très compliqué .
@@tommy7592 oui parce que pour illustrer Cardan, on est obligé de prendre des polynômes avec des racines simples . On peut en fait trouver que 3 est racine évidente et factoriser alors par (x-3) par identification ou division euclidienne . Dans le cas général, il n'y a pas d'autres méthodes.
