Très long, très technique; pour obtenir ce résultat, la vision du début à la fin n'est absolument pas triviale et le chemin obscur. Le mérite du découvreur de cette solution lui revient donc immensément. La longueur fastidieuse des calculs rend le déroulé risqué, ou l'erreur peut subvenir à chaque instant. C'est intéressant mais peu enivrant car la beauté mathématique ne transparaît pas finalement, dans ce cheminement. Merci de votre contribution courageuse et pédagogique
Cardan au lycée ? De mon temps, ce n'était pas même vu en prépa. Ceci dit, je l'ai apprise en première (C, à l'époque...), grâce à un excellent prof de maths qui m'incitait à sortir des sentiers battus. Quoi qu'il en soit, je préfère cette vidéo de 26' à celles qui proposent de résoudre des polynômes de degré 3 à l'aide d'une racine évidente, et en une heure. Donc un pouce vers le haut, bien que je n'apprenne rien ici.
Excellente vidéo, félicitations. Tu as traité uniquement le cas où le coefficient du terme de degré 3 est 1, une précision aurait été une bonne chose. Dans le cas général le changement de variable est x=X-b/3a où l'on a ax^3+bx^2+cx+d=0, puis une division par a.
Superbe vidéo. Merci monsieur Hans Amble, très pédagogique. Petit plus : j'ai acheté le livre"La Formule Magique" de Fabio Toscano où l'histoire de cette résolution est décrite. Très intéressant.
je voulais m'entraîner sur le poly llg mais je ne voyais pas du tout de quoi il était question lorsqu'il parlait de la méthode de Cardan! Merci mille fois pour cette découverte monsieur
Bonjour Monsieur, J'ai deux questions : - 8:02 : qu'est-ce qui vous permet de poser 3uv+p=0 ? Il se démontre normalement que pour tout Z complexe, il existe un couple de complexes (u,v) tel que z=u+v et 3uv=-p. Cela se démontre assez facilement en passant par le théorème bien connu sur les sommes et produits de racines. Le souci c'est que vous ne le faites pas ici, car vous vous contentez de choisir u et v tels que X=u+v. Rien ne nous permet de dire que 3uv+p=0. Ai-je raison ? -12:09 Vous dites que le système est symétrique, et je suis d'accord. Seulement, vous dites que puisqu'il est symétrique, les deux solutions (dans le cas delta>0) de l'équation sont U et V. Pourtant, je ne vois pas pourquoi vous dites cela. En effet, le fait que le système est symétrique nous dit simplement que U et V sont solutions de la même équation du second degré. Mais alors, rien ne nous dit que U et V ne sont pas égaux ? Dans le cas delta>0, il est possible d'avoir deux solutions Z1 et Z2 et d'avoir U=V=Z1 ou bien même U=V=Z2 ? Rien ne nous dit que U=Z1 et V=Z2 ou l'inverse ? Qu'en pensez-vous ?
Bonsoir, De loin une des meilleures vidéos que j'ai vu traitant de la méthode de Cardan. Raisonnement très détaillé et clair. Un régal à suivre pour se remémorer cette méthode. Il me reste néanmoins une interrogation. Pourquoi -7 est racine simple et 2 racine double ? Lors de la recherche de la première racine, nous arrivons à la conclusion que le discriminant est égal à 0. Donc -7 devrait être racine double. Or, effectivement, la représentation graphique du polynôme n'est pas tangent à l'axe des abscisses en -7. Pour la racine double en 2, là par contre la logique est respectée. Pourriez-vous m'éclairer à ce sujet ? Encore merci pour cette vidéo. Cordialement
@@sabrifreih1538 Oui en fait je viens de comprendre en regardant à nouveau, j'avais pas compris qu'on disait que soit 3uv + p = 0, soit u^3 + v^3 + q = 0 mais que 3uv + p = 0 et qu'on en était sûr (j'avais pas compris qu'on séparait les cas pour résumer quoi) mais merci d'avoir essayé d'expliquer :)
Pour moi je souhaiterais utiliser la division eucludienne a la fin une fois que j'ai trouver une racine, tant s'enfaut le contenu a ete tres bien expliquer, merci @Hans Amble
Une question Monsieur svp. Quand vous aviez pris Y = X-6, est-ce que vous saviez qu‘on n’aurait plus de constante? Pour ensuite factoriser? Ou bien est-ce que c‘était un hasard? Merci et bon réveillon
Non je savais qu'il n'y aurait plus de constante car si P(a)=0 alors P(X+a) est un polynôme qui s'annule en 0 et donc qui a une constante nulle. Bon réveillon à vous .
Je crois qu’étant donné que u et v sont choisies de manière arbitraire, nous décidons des « conditions » de ces inconnues. Ainsi, le fait que 3uv-p=0 est inhérent à u et à v. On aurait pu dire dès l’introduction de ces inconnues « Soit u et v des réels (ce ne sont pas toujours des réels mais dans le cas de la vidéo si) tels que X=u+v et que 3uv-p=0. Et on choisit cela de manière à trouver les solutions u et v. En effet, si on a 3uv-p=0 et u^3 +v^3 + (u+v)(3uv-p) + q =0 on peut éliminer (u+v)(3uv-p) (car c’est égal à 0) et il ne nous reste plus que u^3 + v^3 + q =0. Et là, la vidéo explique bien la suite.
@@le_st0rm182 u et v dépendent de X mais X dépend aussi de u et v. On doit juste trouver u et v : il y a une infinité de solutions pour u et v à l’équation X=u+v. Il nous faut au moins une seconde équation dont le nombre de solutions pour u et v serait également infini. Ainsi, on croiserait les deux infinités d’u et de v et on verra qu’il y a au moins un couple qui vérifie X=u+v et 3uv-p=0. Et cela ne se produit que parce que 3uv-p=0 car sinon, le u+v dont il est facteur ne s’annulerait pas et on galèrerait encore plus.
@@yanisben3656 merci d avoir répondu ca fait tjrs plaisir, j ai pas tt saisi, a vrai dire je suis en terminale donc il me manque certainement certaine notion ; )
Merci beaucoup pour ces expliquations, vous auriez cependant pu mieux expliciter pourquoi la deuxième racine est U Sinon super vidéo j'aurai pu faire un balayage pour trouver la racine mais jme la pète un peu
Ce qui aurait été plus intéressant c'est de nous expliquer comment on peut avoir l'idée de poser u et v (car ce n'est pas naturel a priori), plutôt que nous sortir la recette de cuisine à appliquer.
Merci beaucoup, je trouvais insupportable de devoir trouver une solution évidente aux polynômes de degré 3 afin de les résoudre. Mais est il obligatoire d'avoir un coefficient pour x^3 égal à 1 ?
Cela simplifie les calculs mais si tel n’est pas le cas on peut toujours tout diviser par ce coefficient pour avoir une nouvelle équation avec un coefficient devant x^3 égal à 1
il serait intéressant (pour moi) de comprendre cette notion de changement de variable. Car par exemple je ne comprend pas l'intérêt d'inventer ce Y= X-6 quand on aurait pu directement factoriser par (X+6) le polynôme avec X ( voir factorise le polynôme de base par (x+7) ). Il y a des cas ou la factorisation ne marche pas quand on a trouvé une racine ? ( le premier changement de variable est il également évitable grâce à une factorisation ?)
ce qui donne (la factorisation par x+7): pour faire 1 x cube on doit rajouter x², pour avoir 3x² on a déjà 7x² il faut en enlever 4 donc -4x pour avoir 28 on doit rajouter +4 (4*7=28) (x+7)(x²-4x+4)=0 ==> Delta = 0 une racine double ==> -b/2a = 4/2= 2 plus facile que le changement de variable je trouve
bonjour, parce que v n'est qu'une solution de cette équation en X . Je la résous ( on ne peut résoudre que des équations avec une inconnue ou plusieurs inconnues) ) et j'essaie de trouver v parmi les solutions.
bonjour monsieur, j ai a peu pres la meme chose dans mon dm de mpsi mais on me demande de demontrer qu'il existe 2 nombres complexe u et v qui verifie justement : u^3v^3 = -p^3 / 27 et u^3 + v^3 = -q, je ne vois pas trop comment m y prendre mercii pour votre contenu
bonjour, en posant X=U^3 et Y=V^3, vous connaissez la somme de X+y et le produit XY donc X et Y sont les solutions du trinôme x²+ q x+( -p^3 / 27)=0 . (x²-somme x + produit). Ce trinôme a deux racines ( meme quand son delta est négatif) donc vous pouvez trouvez U^3 et V^3 donc avec les racines cubiques vous prouvez l'existence de deux complexes u et v . C'est ce que j'en pense . ;)
Nou kite vòlè sa a ap pale sou moun toujou men vòlè sa gnlè bon pou se vòlè parèy nou li ye vòlè yo jovnèl moyiz la ki fè pitit ak kouzin li an sil chèf se chèf vòlè yo li ye Mwenmenm se pa chèf vòlè sa ye.
Je sais bien mais pour un exemple accessible de cette méthode il vaut mieux un polynôme avec des racines simples sinon c est vraiment très difficile. 😀
Les solutions sont -6, 3 et 2 ….? Méthode de la solution évidente (2 est racine) puis division euclidienne du polynôme pour trouver une équation de degré 2 X^2+5x-14 puis résoudre cette équation ( 2 solution dans R -6 et 3 ) exactement 3 minutes !
Moi j'pense que pour être bon en math il faut des capacités, tout le monde peut pas tout capter directement, et encore moins avec les programmes d'aujourd'hui
Je sais comprends. On n'a pas de vue d'ensemble, et les calculs ont été développés ou détaillés sur le tableau. Cela a rajouté une difficulté plus grande au niveau de la forme. Personnellement, pour apprendre ou expliquer, je garde l'essentiel des étapes pour ne pas m'embrouiller. Les détails des calculs figurent sur un papier indépendant. Par exemple, (ax4+pqx²+etc.)² sera développé et traité à part, puis je récupère la forme désirée pour la suite. Cela évite plusieurs lignes encombrants dans la démonstration ou l'explication. Ensuite, j'évite comme la peste, si possible, de poser x²=X...je fais (x²)² ; mais c'est personnel !
