Fun integer problems for the Math Olympiad

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1990年数学オリンピック日本予選の整数問題です！
整数問題の3パターンに加えて、常に「何を求めるのか」を意識しなければならない面白い問題です！
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『神脳・教育界の革命家　河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。頭脳王連覇。
初書籍『シンプルな勉強法』( www.amazon.co.... )はタイ語版、繁字体版など世界でも翻訳され、シリーズの累計１２万部突破。2020年3月14日には図解版が刊行。
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15 сен 2024

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Комментарии : 214

@karin___05 3 года назад

理解したらめちゃめちゃ面白いけど、実際に初見でこの問題出されたら、涙で問題が読めないと思う。

@だまけいと 3 года назад

@@真人間-n4i げんげんならできそうと思ってしまう

@沖田研司 3 года назад

涙💧が意味不明。

@user-pg6el1qk8l 2 месяца назад

@@沖田研司感動の涙でしよ？

@user-lm8ue1vl2o 3 года назад

この問題作った人が1番すごい

@user-sk9cl4oo6e 3 года назад

すげぇなあ、教え方めちゃめちゃ上手いわ

@user-oi3gy9cv7w 3 года назад

河野玄斗さん教えるの上手い

@user-rg4du7oe3y 3 года назад

うまそうだけどごめん🙇わかんね

@user-mp2nq6lm1l 2 года назад

@@user-rg4du7oe3y 自分が理解しようとしてないからだろ

@user-rg4du7oe3y 2 года назад

@@user-mp2nq6lm1l ごめんお前が返信してねぇー期間でわかったわ

@ANN-r1t9o 3 года назад

すごいな〜この人が分からない問題と向き合った時の反応が見てみたい

@user-qr2lz4id7g 3 года назад

整数問題は思考過程こそが大事だと思うので、河野先生の問題への向き合い方や解く視点を知ることができて、とても勉強になります！

@Khaiyam0903 3 года назад

すごくおもしろかったです積の形の正体に笑っちゃったり2^N+2^Nが2^N+1になってあわてたりそんな自分でも非常に楽しかったです改めて河野さんがこれら問題たちを一つ一つ選んでupしてくれていると思えばうれしさも感謝もひとしおですいつもありがとう！

@c.k1219 3 года назад

別解 (a+b)^2の形にするのがゴールだから (2^27+2^n)^2と予想展開して 4^27+2^28×2^n+4^n これを与式と係数比較してあげるとn=972 数オリなら途中式求められないから結構ガバガバだけど大丈夫だと思う

@user-gp7mu7ob9m Год назад

天才...?

@user-pv8mw3tu3l Год назад

すげえ

@raiha_mh Год назад

この場合、そのnは本当に最大なんだろうかという疑問が残る気がするんですけど、どうなんでしょうか

@nazo_no_message Год назад

厳密さを少し加えると、(2^250+2^N)^2も考えるべきってとこかな？でもこれは答え出すだけなら考えるまでもないよね。これで問題ない？

@sss-mj8ms 7 месяцев назад

2行目をどうやって出したのか教えて欲しいです

@いろはす-q3w 3 года назад

むっず...こんなん解けないわ。解けた人ほんと尊敬

@MT-qt9dz 3 года назад

4が平方数なのでとりあえず4^27で括ってみて、(2x+1)^2=4x^2+4x+1の形に近い、と気付けば簡単に答えが出せる気がします。

@みっく-x7g 3 года назад

よろしいかな、って言い方がほんとに好き

@user-pd3im2jx8u 3 года назад

相変わらず分かりやすい解説

@user-ee5yb6ne9n 3 года назад

つまづいたら問題文を再確認すると道が拓けるかも、と学んだ

@Vtuber_kenty 3 года назад

9:05 ここまで参考にさせて頂きましたが、そこからは何とか自力で解けました😅

@かっさん-y6u 3 года назад

ただ足し算しただけで草

@user-bw1hg2wo9b 3 года назад

めっちゃ頭良くて草

@user-oe3kd9px5b 3 года назад

すげええええ

@西久保林太郎-n8e 3 года назад

4^27+4^500+4^n=k^2·····① k=4^a+2^bと置く (ここをこう置く理由は割愛します) k^2=2^2b+2^(b+1)∙4^a+4^2a·····② ①と②の対応する指数を比較 2a=n,2b=2∙27,a+(b+1)/2=500 これを解く b=27 a+14=500 a=486 n=2∙486 よってn=972

@あいよ-w3x 3 года назад

最大を証明しなきゃ

@user-ro7fs6vq8f 3 года назад

ここをこう置く理由が一番知りたいんだが… 数学弱者にあなたの脳内を覗かせてくださいな

@appearenceace4096 3 года назад

これは数学っていう概念を理解してるような人じゃないと解けないだろうなぁだからこそ数オリに出されてるんだろうけど

@user-kd3ph6cx8i 3 года назад

言語化が上手いからほんと頭いいんだなあと思うよね。

@user-mu9zt6gg5e 3 года назад

これは面白い。「最大の」がこんなに鍵を握るなんて。

@はしけん-v4t 3 года назад

問題を捌いていくぅ

@ケロケロ-k5e 3 года назад

塾講やってるけどこんなに教え方上手い人いないよ... やめるか迷う

@ベルガモ-z6z 3 года назад

本当に頭がいい人は教えるのも上手い。塾の先生が言ってたえ

@伊藤実-n4f Месяц назад

差というより、 (K-1)(K+1)=8 だったら8の約数は1，2、4、8と 4つあるけどKが最大となるには K+2を8と置けば良い、するとK−2が1 となり結局のところ約数の差が一番大きい組に分ければいいと言う意味だ。 Kが最大になるには

@assstoya5110 2 года назад

分かりやすかったです。河野さん出会って良かったです

@user-jtgajo 3 года назад

難しい問題を初見で解いてる過程を見たい

@user-gj6qg1qq8y 3 года назад

整数徹底解説動画お願いします

@asu2487 3 года назад

4^27+4^500+4^n=(2^27)^2+2•2^999+(2^n)^2 2^27•2^n=2^999 27+n=999 n=972 って考えたけど違うんやね

@ピコラ-y5i 3 года назад

7:09 (k^2+2^n)(k^2-2^n)=(4^473+1)×1から k^2+2^n=4^473+1･･･① k^2-2^n=1･･･② ①-②より 2×2^n=4^473 2^(n+1)=2^946 n=945 差⇒距離ですね

@ふぁんくしょなるいくうぇいしょん 3 года назад

4^a+4^b+4^cが平方数となる正の整数の組(a,b,c)は(m,m+n,m+2n-1)と任意のその並び替え

@NatureJapan3776 3 года назад

答えのみで良いなら、4²⁷+4⁵⁰⁰+4ⁿ=4²⁷(1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴) なので、2n-54=945*2の時が最大で、この時n=972 ＼(^O^)／ m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²だから、nが大きくなりすぎると、平方数にならんのよねぇ～

@user-pu7hb7dl4e 3 года назад

n=972のとき平方数になることはいえても, n>=973では平方数にならないことはいえないよねつまり最大かどうかはわからずたまたま正答だった

@NatureJapan3776 3 года назад

@@user-pu7hb7dl4e 「m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²」の部分を解釈できてますか？ 2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²ですが、次の平方数は？と考えてみてください。→(1+2ⁿ⁻²⁷)² 1+2*2⁹⁴⁵の部分が固定値なので、nが大きいと次の平方数まで足りない。

@user-pu7hb7dl4e 3 года назад

@@NatureJapan3776 ありがとうございます。わかりました。 n-27≧1のとき2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²だから，もしそれより大きい1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴が平方数になるならば 1+2*⁹⁴⁵+(2ⁿ⁻²⁷)²≧(1+2ⁿ⁻²⁷)²=1+2*2ⁿ⁻²⁷+(2ⁿ⁻²⁷)²　∴n-27≦945 等号(n=972)の時は確かに平方数.　■

@user-cf1wz2gt7c Месяц назад

高一でも簡単に理解できるってのが最高に面白い

@1-4-7s 3 года назад

全く同じ問題2次で出ないかな〜ww

@qb3926 3 года назад

類題は本当に出そう

@yt-rq8nc 3 года назад

頭が豆腐みたいに柔らかいですね。(誉め言葉です) 私は別の意味で豆腐みたいな脳ミソですが笑

@だいどら 3 года назад

解説聞いてるだけで楽しいw

@ここあ-g6p 3 года назад

頭おかしいだろ笑

@watermelon3288 3 года назад

@@ここあ-g6p ブックオフなのに本ないんですけど

@user-wi9qz9yu2r 3 года назад

1:14 捌いていくぅ

@jo5319 3 года назад

うっわぁスッゲ！！ゾクッとする！！

@user-cu9vo1wl4q 3 года назад

1:15 捌いていくッ！

@赤飯と歩く 3 года назад

数学オリンピックと名のつくモノの中では非常に簡単ですね。 1988年の国際数学オリンピック第6問解説してくれないかな、個人的に好きな問題なので...(笑)

@矢印-z9j 3 года назад

Vieta jumpingゲー

@赤飯と歩く 3 года назад

ですね

@赤飯と歩く 3 года назад

Vieta jumping 知らずに完答した方々強すぎませんかね

@TukamaeTeiTene 3 года назад

やってみたけど、思ってたより簡単で面白かった

@shun560 3 года назад

頭柔らかすぎだろ

@zero56420960 3 года назад

楽しい解説なので30秒を10分に感じる！

@fyuu_0211 3 года назад

明日で現役生最後の日です

@user-dj2yp8sm5r 3 года назад

受験生最後の日にしてこいよ

@user-hitonokokorotokanainka 3 года назад

@@user-dj2yp8sm5r かっこよ

@カズ-t4h2h 3 года назад

数学オリンピックは、ほんとに思考力問われる問題多いから良く2次試験の対策に解いてました。

@くくちきさき 3 года назад

2次試験対策ってちなみにどこの大学出身ですか？笑

@user-jk6ii7dp8f 3 года назад

対策に向いてない気がするけど

@toaru_math 3 года назад

おもしろい問題。難易度はJMO予選5-6番くらいかな。

@kochaaan 3 года назад

nが最大の時=差が最大は思いつかんて、、、、、

@user-haruto420 3 года назад

これってなんでこうなるんでしょうか…

@gejqijdhkdnwjdkn2h9267r 3 года назад

解けました❗ 嬉しい

@地医牛 3 года назад

数学苦手だから、解けたの嬉しい😃

@大学生-z2n Год назад

いや分かりやす！

@yoshikiyo9488 3 года назад

1+4∧473+4∧N-27=1+4×4∧472+4∧N-27だから (1+2×4∧472)∧2=1+4×4∧472+4×4∧944=1+4∧473+4∧945 よってN-27=945 すなわちN=972 で解いたら答えだけでた。なんか足りないような気がするもう一つのパターンは(1+2×4∧236)∧2で考えると (1+2×4∧236)∧2=1+4×4∧236+4×4∧472=1+4∧237+4∧473 N−27=237でN=264 やっぱりN=972 動画の解答は思いつかない

@hiro-ty8we 3 года назад

すごいとしか言いようがない

@user-oq9ms8tv6t 3 года назад

何も考えずに何となく (4^x+1)^2＝k^2(＝1+4^473+4^N) って置いて解いて、大きい方のN取ったら答え合ってたんだけど、だめかな…？

@user-tl9xk8st4q 3 года назад

4^x+1の形の自然数の平方数となるnの最大値は求められてますが、それ以外の形かもしれませんよね？

@joycon_breaker 3 года назад

聞いたらすっと入ってくるから整数問題は好かれてるんだと思う

@user-ik6tl1io4e 3 года назад

分かりやすいはずだけど一つもわからんw

@user-lm2yq3jg1e 3 года назад

文系だけどなぜか毎回見てしまう

@uKhaiyam 3 года назад

00:59 04:22 整数問題の3箇条 06:44 答えから逆算 08:08 よろしいですかね 08:57 よろしいかな

@ジョンろう-w5m 3 года назад

数学オリンピックは、ただの数学の知識わ問われるだけでなく、思考力もやはり大事だと感じました。難しい…。

@ジョンろう-w5m 3 года назад

@@真人間-n4i 僕らみたいな凡人には解けません笑

@ジョンろう-w5m 3 года назад

@@真人間-n4i 言いたいことは分かります‪w

@user-gg1jh6nz9l 3 года назад

(与式)=2^2n+2・2^(972+27)+2^54 =(2^n+2^27)^2 となるのはn=972ってしたけどこれが最大ってのはこれからじゃきついかな？

@クラロワクラクラ-m4r 3 года назад

1:14 捌いていく⤴︎

@カッキー遠さく 3 года назад

片栗粉恐怖症

@user-mb3hb3fg7e 3 года назад

デデン

@user-tl4tj4zx2u 3 года назад

聞いたことあるな

@user-lw5zk7xw5m 3 года назад

余った数字はね、ご近所さんに配りたいと思います

@tbeturan9887 3 года назад

n=264という答えを出したけど論証がわからないと思ったら答えも違いました😤

@rm-rv2df 3 года назад

わ、か、、、り、や、、す、い、、、めちゃくちゃ参考になります

@Coolantoolant 3 года назад

平方根……??となって詰まった俺、、

@のの-e6d Год назад

1:13 魚みたいにいうな！気まぐれクックか！

@s009kawa 3 года назад

2進数で考えた時になんとなくy=10...010...010...0の形だろうなと思ったら答えが出たけど最大であることが示せなかった yがこの形に限ることを示せればいいのだけれど

@user-ww4is4zi4p 3 года назад

3:53秒あたりの式から 4^N+4^473+1={4^(x)+1}^2[x>1]…① となるxを考えました。 ①の右辺を展開して、 (右辺)=4^(2x)+2×4^(x)+1 両辺の対応する指数を比較して 2x=N(N=n-27)…② x+1/2=473…③ となり、③より x=945/2 これを②に代入して 945=n-27 n=945+27=972 と解いてみましたがこれ合ってますでしょうか。

@okina_naayo 3 года назад

すごいスッキリ…

@user-lm8ge3wn2w 3 года назад

感動するね

@raymond9588 3 года назад

抜群に教え方うまいな

@junemt.1691 3 года назад

ほ、ほほぉーーーーーん。。。奥が深い。

@gamepoy4436 3 года назад

この人でも手も足も出ない天才が数学オリンピックのメダリスト達か

@らさ-h9r 3 года назад

はい

@こいつの友達あいつの友達 3 года назад

なるほど。つまり9×Nは無セキツイ動物ってことねぇ

@user-od5td4bg6h 3 года назад

大学院修了したけどまた大学入試からやり直したくなってくる

@soshark 3 года назад

アホな私は何も考えずにとりあえずログつけます()

@sinoa7000 3 года назад

数学オリンピックの問題って誰が作ってるの？

@hugoabe1809 3 года назад

ハーバード大生

@矢印-z9j 3 года назад

Olympianです(クソリプ)

@user-tj5fs9im1t 3 года назад

頭脳王勝ちましたか

@GS-np4dv 3 года назад

はー、なるほどね笑わかったわかった。つまりは、4が平方数ってことでしょ？

@ロン-u2n 3 года назад

言われたら分かったけど、自分でこの発想が生まれる気がしない

@montalker 3 года назад

1 + 4^473 + 4^N が平方数になればいいからこれを二次方程式的に考えたらN=946になるかなと思ったんだけど、これってどうなんだろう？

@user-cm1bx4vq4w 3 года назад

こんなに凄い問題が沢山出る数学オリンピックにももう出れないんだなぁって感じた(高３)

@roseluca8352 3 года назад

きみ頭いいね、東大行くといいよ

@ああ-z2s6k 3 года назад

医者とか向いてそうだよね

@gozytang 3 года назад

弁護士もいけそうな顔してる

@dutcuiasuy3163 3 года назад

頭脳王でもいいとこ行くんじゃないかな

@user-gj6ym1ce1m 3 года назад

きっと投球100キロ出せるよ

@user-ho5ss7om2i 3 года назад

会社創ってもうまくいきそう

@kansai0214 3 года назад

途中で4^473+1を計算し始めるのを想像して笑っちまった…

@user-bv9rf1pz6s 3 года назад

分からんけどおもろい!

@user-jk9bk2ok9r 3 года назад

4:20あたりまでは同じ考え方なのですが、その後の考え方が違ったので、どなたかに添削?評価?していただきたいです。累乗の記号の出し方が分からなかったので、それっぽい∧で代用します。(めっちゃ省略して要点だけ書きます) 奇数の平方数は整数kを使って4・k(k+1)+1と表せるので、 4・k(k+1)+1=4 ∧473+4∧n−27+1 k(k+1)=4∧472+4∧n−28 nが最大のとき、 4∧272+4∧n−28=4∧472(4∧472+1) 4∧n−28=4∧944 n=972