IDENTITÉ D'EULER - La plus belle formule mathématique - Tous niveaux 

Avec plaisir ! 😊👍

Merci ! 😁 Content que tu aies compris !

Tout à fait, mais là c'est d'un tout autre niveau 😉 il faudrait que j'évoque les développements en série entière...

Exactement, en prenant ça comme acquis, il n'y a plus de démonstration. C'est ça le coeur de la démonstration de la formule

Oui c'est vrai que le problème de Bâle est magnifique ! 😍

@@medematiques c’est juste zeta de 2 non? Je connaissais pas le nom que tu lui donne

Merci, content d'avoir été clair ! 😊👍

C'est vrai, mais je voulais vraiment me concentrer sur la formule d'Euler en introduisant simplement la forme exponentielle, sans rentrer les détails, car cette vidéo doit pouvoir s'adresser à tout le monde ! 😉 Je rajoute tout de même ça à ma liste de potentielles futures vidéos !

@@medematiques la façon la plus simple de le prouver reste d’utiliser Taylor c’est ultra intuitif et assez intéressant je te conseille de faire une vidéo dessus

@@lekiwi_4145 Il y a aussi la démonstration par les équations différentielles : Prend @(x) la fonction qui donne cos(x) + i*sin(x) On constate que @ vérifie les conditions suivantes : - Solution de y' = i*y - @(0) = 1 Or, il a été prouvé que seule la fonction e^ix la vérifie. Ceci signifie que cos(x) + i*sin(x) = @(x) = e^ix

@@vat1n456 ouai mais le problème c’est que tu « trouves » pas la formule c’est comme quand tu fais une récurrence

@@lekiwi_4145 Oui je vois ce que tu veux dire. C'est une histoire d'intuition. En fait, je pense que cela dépend ce que l'on connaît : si tu sais faire l'expansion de Taylor, tu sauras faire la démonstration avec le dev' de sinx, cosx et e^x. Mais si tu maîtrises les équations différentielles, tu sauras faire celle que j'ai montrée (en effet, tu sauras que e^ax est l'unique solution de y'=ay)

Salut, merci pour ton message ! 🙂 Effectivement, tu peux passer par la forme trigonométrique, et utiliser ce que l'on appelle les développements limités (ou développement en série entière). C'est très simple à expliquer (ce sont des façons d'approcher des fonctions en un point à l'aide de fonctions polynômiales), donc parfaitement faisable en 5 minutes si tu ne rentres pas trop dans les détails techniques. En calculant ainsi les développements du cosinus et du sinus, on peut ainsi facilement montrer l'identité d'Euler (ou même avec le développement de l'exponentielle, qui demanderait même encore moins d'étapes de calcul). On peut en parler sur Discord ou par mail si tu veux (liens dans la description).

Bonjour, merci ! 😀 Oui totalement !

Bonjour, ce sujet est celui aussi de mon grand oral, as tu déjà ton plan la dessus ?

Cette formule n'est pas vraiment utilisée en tant que telle, sauf dans des cas très spécifiques où l'on veut multiplier par -1. Mais elle permet de comprendre la forme exponentielle de n'importe quelle nombre complexe, qui est utile pour calculer plein de choses (comme les puissances complexes, les racines, etc...)

Cette formule est utilisée comme analogie au formule trigonométrique

Je suis du même avis.

Merci 😊 qu'est-ce que tu appelles "résoudre la formule" ?

@@medematiques (ho capito che non si può fare!Merci!)

alors c'est pas possible car ln0 n'est pas défini sur R et ln--1 également

i n'a pas de valeur réelle. C'est un nombre à part, qui a une valeur à part.

Quand tu parles de constante d'Euler, tu parles du "e" ? e est un nombre irrationnel, à la manière de pi. Il vaut environ 2.72. C'est un nombre fondamental en mathématiques car il permet de définir la fonction exponentielle. exp(x) = e^x (e puissance x). Cette fonction a une propriété remarquable. Sa dérivée est elle-même. Autrement dit, la fonction qui donne l'évolution du coefficient directeur de la tangente de exp en chacun de ses point est la fonction exp elle-même. Exemple : je souhaite déterminer le coeff directeur de la tangente de la fonction exp en 3. Et bien, d'après la propriété du dessus, je sais que ledit coeff vaut exp(3) = e^3 (environ 20,12). Alors attention, là nous sommes dans l'ensemble des nombres réels. Dans la vidéo, il parle de l'exponentielle complexe définit ainsi : exp(z) = e^z où z est un complexe. La page wikipédia sur l'exponentielle complexe t'expliquera mieux que moi. Concernant le module d'un complexe, il s'agit simplement de la distance entre l'origine O(0;0) et le nombre complexe représentée par un point sur le plan. Le module du nombre 2+2i noté |2+2i| est 2sqrt(2). Le module est toujours un réel positif, c'est une distance. Il se calcule grâce au théorème de Pythagore. sqrt(x^2+y^2) avec x la partie réelle et y la partie imaginaire. Dans le cas du module de 1+i, notre partie réelle est 2 et notre partie imaginaire est également 2 (attention, ce n'est pas 2i !!). On obtient alors sqrt(4+4) = sqrt(8) = 2sqrt(2).

Tu forces une forme exponentielle pour calculer un réelle à une puissance complexe. Prenons l'exemple de 4^i. 4 correspond à exp(ln4) Donc 4^i = exp(iln4). On sait que exp(ix) = cos x + isin x De fait, 4^i = cos(ln4) + isin(ln4)

@@alaxgalaxy1550 merci pour votre réponse

Et pourtant, c'est bien comme ça que fonctionnent les mathématiques... 🥲