Il Fantastico Mondo degli Ordinali Infiniti 

Interessante, grazie mille, non lo conosco ... lo leggerò senz'altro. Avevo invece pensato di citare L'aleph di Borges per le varie assonanze ... poi non ho trovato il posto in cui citarlo. Ciao, grazie!

Verissimo, lui è sempre fortissimo

Verissimo, lui è sempre fortissimo

Ciao, grazie mille, ... Si il finale va un po' veloce, forse dovrei tornarci su ... ciao, alla prossima!

Fai cio' che ti fa sentire meglio, piu ti diverti e piu impari, ... la geometria euclidea è vasta e piu difficile da organizzare, sono tanti risultati diversi .... la teoria assiomatica degli insiemi è molto organizzata ed è importante conoscerla se dedici di studiare matematica ... ma è un argomento meno frequente se vuoi partecipare a competizioni di matematica. Se vuoi avvicinarti alla matematica universitaria aggiungerei due filoni importanti: struuture algebrihe e topologia ....

La ringrazio per i consigli. Potrei studiare le strutture algebriche e topologia anche senza alcuna conoscenza sul calcolo integrale, le derivate e limiti?( essendo solamente al 3°anno del liceo?)

Si, non hai bisogno di nulla per iniziare ... sono a Parigi adesso quando torno ti posso dare qualche suggerimento su dove iniziare ...

La ringrazio molto. Seguirò molto il suo canale!

Il nome che è stato scelto in matematica è omega per indicare questo tipo di infinito: il primo ordinale infinito si chiama omega. La divisione invece non è una operazione ben definita per gli ordinali infiniti quindi non ha senso parlare di omega diviso 2.

Ciao, si, la tua domanda ha perfettamente senso ... epsilon_0 = omega^omega^omega^ ... ^omega ... per un'infinità numerabile di volte. La cosa che ti fa confondere è che forse avrei dovuto evidenziare nel video è il fatto che le somme, le moltiplicazioni e le potenze degli ordinali non sono le stesse operazioni che tra cardinali. Per esempio nel video si parla di omega^omega e si dice a un certo punto che per definizione è l'unione bene ordinata di tutti gli ordinali precedenti ... quindi è l'unione di omega^1, omega^2, omega^3, ... Si può far vedere che omega^omega è uguale all'insieme delle sequenze finite di numeri naturali. Questa unione è molto diversa dal cardinale che otterresti facendo per esempio aleph_0^aleph_0. Quindi riassumento: le potenze degli ordinali sono molto diverse dalle potenze dei cardinali. E' un mondo pieno di cose ganze da scoprire quello degli ordinali ... forse avrebbe senso anche un secondo video ... ciao, grazie per la domanda e per il commento.

Grazieee!!!!!!

Nella teoria delle categorie, la generalizzazione delle categorie all'infinito è nota come teoria delle omega-categorie. In questa prospettiva, si creano gerarchie di categorie utilizzando insiemi infinitamente più grandi. Questa estensione consente di affrontare concetti e strutture più complesse, andando oltre le categorie ordinarie

Rispondo a "non c'è un ultimo in una fila infinita": seguendo l'esempio mostrato nel video, immagina infinite persone che fanno una gara di corsa, e immagina il seguente scenario: - il primo classificato impiega 9 secondi per tagliare il traguardo; - il secondo impiega 9,5 secondi; - il terzo impiega 9,75 secondi; - più in generale, per ogni intero n>=0 c'è un concorrente che impiega esattamente 10-1/2^n secondi; - arriva infine un ultimo concorrente che impiega esattamente 10 secondi: questo sarà appunto l'"ultimo della fila infinita", in quanto ci sono infinite persone che sono arrivate prima di lui.

Ciao, ottime domande. Immagina che c'è una gara con infiniti corridori e i loro tempi di arrivo sono 1 ora, 1.5 ore, 1.75 ore, ... cioè i tempi di arrivo sono 2 - (1/2)^i. Quindi ci mettono tutti meno di due ore e tutti arrivano in tempi diversi. Poi c'è uno che ci mette 2 ore e mezza. Lui è arrivato dopo tutti. Seconda domanda. I numeri ordinali infiniti sono uno strumento importante in matematica e hanno moltissime applicazioni all'interno della matematica stessa. Non sono una mera elucubrazione. Uno degli usi più importanti, detto in soldoni, è quello di servire da indice e da misura della potenza di una teoria matematica: una teoria matematica che può essere spiegata usando ordinali più piccoli è una teoria meno potente. E' in questo ambito che poi si riesce a capire se certi assiomi aggiungono potenza oppure no a una teoria. Quindi sono tutte applicazioni molto astratte ma sono uno strumento di base in queesti settori. Come i numeri normali lo sono nell'aritmetica. Ciao, grazie!!!

@andreaparma7201 Ciao, grazie, esatto, il tuo commento era stato bloccato da youtube ... giustissimo, grazie per aver risposto. Ciao!!

@@guzmat-matematica Se non sbaglio, io ho addirittura letto di uno studio di fisica delle particelle dove si ipotizza che, in un tempo infinito nel nostro universo, si creeranno un insieme non numerabile di particelle, ovvero 2^aleph0.

In pratica possono essere usati, gli ordinali, per una descrizione della Forma o come elenco d insieme, ora capisco perché permisero ad Einstein di descrivere la relatività, del resto anche un gas lo descrivi con gli ordinari , il modo con cui le cose si differenziano è il ∆ che trova il suo insieme per caratteristiche, ogni spin può trovare descrizione e quindi quel tre +=+ tre nelle sue varianti è sempre descrittivo, mi ha illuminato grazie ancora.

Grazie a te per i commenti!!! Ciao!!!

Verissimo, nel caso degli ordinali i matematici hanno fatto una scelta particolare: il segno delle operazioni resta lo stesso ma cambiano i simboli che rappresentano gli oggetti per ricordarsi che le opeazioni non sono le operazioni standard. La somma è una unione ordinata. La moltiplicazione è un prodotto cartesiano ordinato ... e la potenza tra ordinali è molto diversa dalla potenza tra cardinali. Non sono entrato nei dettagli perché mi pareva troppo. Forse ci può stare un video ... Grazie per l'aggiunta giustissima. Ciao!!!

Assolutamente no! Si presti attenzione: ω è a tutti gli effetti un numero e la notazione ω+1 è corretta e rigorosa proprio poiché individua un'operazione (l'addizione) tra numeri ordinali transfiniti e non un'operazione tra insiemi. È invece fuorviante e, in definitiva, scorretta la notazione ∞+1 poiché tradisce una non compiuta comprensione di una distinzione profonda: il simbolo ∞ (introdotto da Wallis e ampiamente adottato ad esempio nell'analisi) esprime l'infinito "cardinale", il quale è inteso ed interpretabile come ente potenziale, mai raggiungibile, un non-numero (tant'è vero che è adoperato per definire, ad esempio, un intervallo non limitato) mentre il simbolo ω è stato proposto da Cantor esplicitamente come infinito ordinale, come un numero realmente esistente. Nel primo caso si parla di quantità nel secondo di ordinalità (posizione). Alla luce di questa distinzione (che ha inaugurato una svolta epocale nella storia della disciplina e delle varie sfaccettature di intendimento del concetto di infinito) si può meglio comprendere la fondamentale proprietà che è, implicitamente, il contenuto principale di questo video: l'operazione di addizione tra numeri ordinali transfiniti non gode della proprietà commutativa. Arrivare alla posizione ω non è lo stesso che arrivare alla posizione ω+1. Se si è colto correttamente il concetto sarà allora chiaro perché cominciando a contare le posizioni a paritire da 2 (assunto cioè 2, e non 1, come elemento che ricopre la prima posizione) fino alla posizione ω l'aggiunta di una elemento ordinale individui una posizione maggiore rispetto ad ω, la posizione ω+1 per l'appunto. Il simbolo + indica una "sovrapposizione a destra" e ω è il primo numero (ordinale) infinito, ω+1 è il secondo, ω+2 è il terzo, e così via. Si ha infatti che: ω+1 ≠ 1+ω in particolare ω+1 > 1+ω=ω mentre (ma solo per chiarire il concetto) potremmo scrivere, con un discreto abuso della notazione propria dell'algebra degli infiniti cardinali: ∞+1 = 1+∞ In particolare ∞+x = x+∞ = ∞ , ∀x∈R La descrizione assiomatica per collezioni a partire dall'insieme vuoto è stata introdotta solo in seguito da Zermelo (che tratta gli ordinali in qualità di insiemi) con finalità teoriche diverse, indirizzate a superare i paradossi della definizione di insieme palesati da Russell e a dimostrare l'ipotesi del continuo. Questa descrizione tuttavia non riduce di per sé la nozione di elemento a quella di insieme (né il viceversa) e adotta il simbolo ω come l'insieme dei numeri naturali in ossequio e coerentemente alla notazione di Cantor. La notazione ω+1 afferisce all'interpretazione di Cantor per quanto il sistema assiomativo mutuato da Zermelo abbia adottato l'idea di insieme ordinale. P.s. Si badi bene, d'altra parte, che il simbolo + è adoperato anche per individuare la somma tra strutture algebriche, cioè tra quei particolari insiemi che sono muniti di uno o più operatori interni (ad esempio è impiegato tra spazi vettoriali), dunque anche nell'ambito degli insiemi è formalmente erroreo intenderlo al pari dell'unione.

Ciao, grazie mille per il tuo commento lungo e preciso. So che scrivere ∞+1 = 1+∞ è una forzatura parlando di ordinali, per contro l'idea che l'infinito rappresenti solo i cardinali (oppure l'entità irraggiungibile dell'analisi) è anch'essa una convenzione. Se nel titolo del video avessi scritto ω+1 ≠ 1+ω avrei portato molto meno persone a riflettere su questi temi. Ovviamente il simbolo + riveste ruoli diversi a seconda che si stia parlando di aleph_0 o di omega ... ed è per questo che sono stati scelti nomi diversi per indicare in realtà lo stesso insieme a seconda dei contesti. Avevo pensato di entrare più in dettaglio nella definizione esatta delle operazioni aritmetiche tra ordinali ... ma poi mi è sembrato troppo tecnico ed ho preferito dare delle definizioni intuitive (magari lo faccio in un altro video). Anche sugli ordinali definiti come unione degli ordinali precedenti ho sorvolato sul perché abbia senso e sul perché siano dei buoni rappresentanti delle varie classi di equivalenza. Grazie ancora, ciao!!!

​​​@@guzmat-matematica sì condivido la necessità di trovare un compromesso tra il rigore formale e l'intuizione quando si fa divulgazione. Il mio non voleva essere un commento polemico o sentenzioso, intendevo solo avvertire @therealtino1948 che la sua intuizione del contenuto del video lo stesse allontanando dal concetto densissimo proposto, arricchendo la discussione con elementi relativi all'operazione mi auguro di esser stato d'aiuto nel mettere a fuoco l'oggetto di interesse. Comprendo benissimo anche la scelta di proporre un titolo e un percorso esplicativo capaci di fornire un'immediata idea del tema che si sarebbe affrontato anche ad un pubblico non specialistico: la questione dell'infinito ordinale matematico è di per sé controintiuitiva e sconcertante (il lascito tormentato di una mente geniale e di una vita profusa e immolata sull'altare della causa che ha perorato) ed è, romanticamente, inevitabile, persino storicamente ineccepibile, il primo rapporto con essa sia connotato da sgomento e da subitanei tentativi interiori di ricollocazione nelle categorie di orientamento già note e consolidate (lo fu per il suo stesso autore-scopritore e ancor più per il consesso di matematici dell'epoca). Personalmente posso confermare di aver scoperto questo canale proprio grazie al titolo di questo video, che è dunque riuscito ottimamente nel suo scopo di compromesso/provocazione. Ho molto apprezzato i commenti di integrazione e puntualizzazione al video nei quali, con pazienza, dovizia e cortesia, ha sollecitato comunque l'attenzione al fatto che questo video costituisce un primo contributo di compendio finalizzato a fornire un iniziale approccio alla principale e più sorprendente intuizione della disciplina, senza pretesa di esausitività e rimandando a future pubblicazioni. Una graditissima occasione di confronto, esteso a tutti, sui temi di una branca della matematica di enorme fascino. Ringrazio per la gentile risposta e per il tempo concessomi. L'augurio di Buon Natale

Grazie di nuovo per il contributo preciso e dettagliato. La condivisione delle idee aiuta la comprensione in questo argomento che è allo stesso tempo semplice e autocontenuto ma anche complesso e denso di tecnicismi sfuggenti. Ciao, grazie, buone feste.

Esiste una teoria matematica precisa di come si possono fare operazioni aritmetiche anche con gli infiniti di varia grandezza. E' la teoria degli inifiniti di Cantor. E' molto famosa e funziona. Ed è di questo che stiamo parlando ...

Avrei voluto mettere anche questa: “The essence of mathematics lies precisely in its freedom" Cantor ... ma ci ho pensato troppo tardi ...

@@guzmat-matematica Sarà per un altro video!

Si, hai ragione, sembra assurdo ma è proprio cosi ... nei numeri ordinali questo ha senso ... se arrivano inifiniti corridori in meno di 2 ore e poi ne arriva che ci mette più di due ore allora abbiamo una classifica che è "maggiore" della classifica in cui non c'è un ultimo ... ciao, grazie del commento!!!

E' un po come i bambini: "io ce n'ho più di te" "e io infinito" "e io sempre una più di te" ...

Spero che con questa serie fantastica di video, alla fine parlerai della gerarchia di Veblen per poi concludere sull'ordinale di Feferman-Schütte. 🤩

Mi sono reso conto che avrei dovuto scrivere ω^ω^ω^ω^ω^... e non ω^...ω^ω^ω. Perché gli esponenti crescono verso l'alto. Riguardo a Veblen e Faferman-Schutte: ci ho pensato a lungo. Al momento mi sembra prematuro. Stavo pensando che forse sarebbe utile per chi non conosce questo mondo spiegare più in dettaglio le operazioni aritmetiche tra ordinali che nel video ho presentato in maniera intuitiva. Sono in dubbio perché non voglio neanche fare una cosa troppo tecnica e pesante e perchè sto nel frattempo lavorando al video sull'Assioma della Scelta e su Banach-Tarski. Ho tante idee e vorrei avere più tempo per lavorarci. Tra l'altro sono molto combattuto perché le animazioni con Python-Manim vengono bellissime ma nel frattempo sto sperimentanto anche un ambiente con Javascript-Three.js .... ed ecco ... devo organizzarmi. Ciao, grazie mille davvero per il commento! fa molto piacere

Ciao, grazie del commento, una cosa che avrei dovuto dire ma erano troppe ... è che la somma, la moltiplicazione e la potenza di numeri ordinali sono diverse dalle normali operazioni ... infatti la normale somma è commutativa mentre quella tra ordinali no ... Per dire che nella congettura di collatz si usa la somma normale ... a meno che tu non stia immaginando cose più avanzate che io non ho colto ... ciao!!! grazie

​@@guzmat-matematica se 3w +1 è diverso da 1+3w e tu non specifichi quale operazione fai prima nell'algoritmo di collatz hai due ordinali diversi, e se sono diversi uno potrebbe convergere e l'altro no, addirittura uno potrebbe essere divisibile per due e l'altro no... Quindi pian piano che ti avvicini all'infinito l'espressione non ricorsiva di collatz, non avendo una formula chiusa da mettere in forma calcolabile, è qualcosa con potenze crescenti tipo 1+ax+bx^2+cx^3... è diversa da ...+cx^3+bx^2+ax+1 Quindi potrebbe essere che laggiu' nell'infinito degli assurdi i due algoritmi impediscono una risposta chiara. In soldono insomma: il modo di scrivere un limite di un algoritmo (non di un limite come da liceo) può indicare risposte diverse perché è diversa l'espressione d'ordine del calcolo. Una idea, probabilmente bacata... :D tranquillo. Ma come si dice se non sbagli non impari mai... :D

@@guzmat-matematica Un po' come è impossibile fare il limite del seno all'infinito perchè oscilla. Ma ok se sono diverse le operazioni.. è probabilmente un commento campato un po' in aria... Ma domanda n.2 - allora IV*IV non fa XVI allora ?

cmq continuavo a chiedermi se avesse senso una congettura di collatz generalizzata che includa gli ordinali infiniti ... non so. Seconda domanda: per gli ordinali finiti le operazioni coincidono ... solo da omega in poi prendono strade diverse ... 1+omega = 1+aleph_0 = aleph_0 ma omega+1 è un oggetto diverso che non fa parte dei numeri cardinali ...

@@guzmat-matematica ma prendono sempre strade diverse o se li poni in una forma come la serie di mc laurin o polinomiale (1+ax+bx^2+cx^3) hanno valore identico ? Perché il dubbio mi è venuto li... :D ossia se un passo dell'algoritmo è una f(n-1) ricorsiva se esiste una forma univoca dell'algoritmo crescente.... allora ho una serie e come converge la serie negli ordinali converge anche nei cardinali. mentre se come con collatz non l'hai o non puoi esprimerla genericamente (è un po' come lo stop della macchina di turing) forse non puoi dare una soluzione unica. Ma ripeto, io gioco non faccio matematica :D ... troppo vecchio :D e canuto

Non ho capito ... ??

Basta leggere quanto scritto dall'autore.@@guzmat-matematica

Hai ragione grazie

No, perché se prendiamo i partecipanti che vanno tutti a velocità diverse ci sarà sicuramente un primo

​@@Zsecxeusv2le velocità sono infinite e ci saranno infinite persone che arrivano ad istanti infiniti.

se, per esempio, il primo ha velocità 1, il secondo velocità 1/2, il terzo velocità 1/4 ... ecc. Avremo che il primo è più veloce e arriva primo, il secondo arriva secondo, ecc

@@guzmat-matematica però se è infinito, ci sono infiniti primi che vanno a velocità 1, infiniti secondi che vanno a velocità 1/2 e infiniti terzi che vanno a 1/4, quindi ci saranno infiniti primi che andranno più veloci di infiniti secondi che andranno più veloci di infiniti 3.

Per tua informazione questa è la pura teoria matematica su cui concordano tutti. it.wikipedia.org/wiki/Numero_ordinale_(teoria_degli_insiemi)

@@guzmat-matematica e' irrilevante

@easyfencing In che senso l'accordo universale tra i matematici su questo tema è irrilevante? sono teoremi non opinioni

in matematica tutto è un insieme ... e ci sono insiemi infiniti ... per quanto riguarda aggiungere un elemento, hai ragione ma non è di questo che parla il video ...

@@guzmat-matematica infatti quello che in matematica viene definito infinito non è infinito perché se fosse realmente infinito non partirebbe da 0, e non si potrebbe fare nessun calcolo ne applicare nessuna formula.