Ganz ehrlich? Ich verstehe leider nur Bahnhof... Aber ich hatte mal einen Integralhelm, als ich noch mit dem Motorrad unterwegs war und bin im Gelände bestimmt X-mal über irgendwelche Wurzeln gefahren
Danke! Hey Susanne, Klasse, da hast Du ein sehr anspruchsvolles Integral präsentiert. Von dir so locker erklärt, als wäre es das kleine Einmaleins. Ich stelle immer wieder fest, dass Du es echt °drauf° hast. Liebe Grüße!
Danke für die Mühe, die du dir immer machst. Es gibt keinen besseren Kanal um das Grundverständnis für ein Thema aufzubauen, du legst immer wieder den Grundstein für das Verständnis das man darauf aufbauen kann, danke! :) Substition mittlerweile Standartrepertoire, aber sowas schaut man sich doch immer gerne noch mal zur Wiederholung an!
Ergebnis stimmt natürlich, aber Vorsicht ☝: Der Integrand besitzt eine Polstelle bei x=0. Es gilt nämlich dort lim x->0+ (f(x)) = Unendlich. D.h. der HDI ist nicht direkt anwendbar, da die Funktion auf dem zu integrierenden Intervall nicht beschränkt ist. Es handelt sich demnach um ein uneigentliches Integral. Stattdessen müsste eigentlich die untere Grenze erstmal variabel gehalten (z.B. a) und beim bestimmten Integral stehen gelassen werden, d.h. 2e-2e^a. Und dann kann der Grenzwert für a->0+ berechnet werden. Es kommt dann auch das selbe heraus, am Ergebnis an sich wollte ich wie gesagt auch gar nicht meckern. 😉 Aber trotzdem wichtig darauf hinzuweisen. (Hier funktioniert es, aber wenn man z.B. sowas wie Integral von -1 bis 2 über 1/x^2 dx ohne diesen Hintergedanken berechnet, tappt man schnell in die Falle...^^)
Ja du hast natürlich vollkommen Recht, dass ich darauf hätte hinweisen sollen. In diesem Fall macht es jetzt keinen Unterschied, aber grundsätzlich kann es da natürlich zu Problemen kommen.
@@yoshibar2536 nein, das ist falsch. Das spielt nur eine rolle für den definitionsbereich des integrals, der hat mit den intervallgrenzen erstmal keimen direkten Zusammenhang. Die Null setzt du erst beim integrierten Ausdruck ein und nicht in das was da im integral steht.
Eine Frage : warum ersetzt man, wenn man dx= … hat , und dies wieder in das integral zurückeinsetzt , nicht beide Wurzel X damit , sondern nur das in der e Funktion ? Liebe grüße und tolles Video
so wie ich das sehe, funktioniert diese methode nur bei bestimmten integralen: nach der ersetzung darf kein "x" mehr vorkommen. wenn man jetzt 2 mal das wurzel(x) ersetzt, kommt beim einsetzen von du ja wieder ein x mit rein. ich denke, es muss u' (die ableitung von u) im integral vorkommen. diese idee kann ich aber gerade nicht testen.
Das ist nicht direkt das Problem, aber in jedem Fall ein Hinweis in die richtige Richtung. ;) Durch die 0 im Nenner ergibt sich nämlich an der entsprechenden Stelle eine Polstelle (nicht immer zwingend, aber hier in jedem Fall), was die direkte Anwendung des HDI schwierig macht. Näheres siehe in meinem entsprechenden Kommentar. ;-)
Herzlichen Dank für die interessante Frage. Hier habe ich √x als u definiert, also √x=u, (1/2)x^(-1/2)dx=du somit dx=2√xdu = 2udu, dann wäre unser Integral = (e^(u)/u)*2udu = Int (2e^u)= 2*e^(√x) von a=0 bis b=1, somit: 2(e-1) = 2e-2 🙂
Danke, macht Spass solche Aufgaben mit dir zu wiederholen:)) Die Rätsel sind auch unterhaltsam, aber Integralrechnungen mag ich besonders als Wiederholung, weil ich da einige Lücken habe:(
Hi, Susanne. wieder ein super Video und sehr verständlich erklärt. Kannst Du mal eine Making-of deiner Mathevideos machen, Von der Themenwahl bis zum End-Schnitt.😉
Müssen die x in den Nennern nie durch u ersetzt werden? Oder nur nicht, wenn man sieht dass es gekürzt werden kann? Danke für die hilfreiche Step by Step erklärung! :)
Wäre auch möglich, käme im Endeffekt aufs Gleiche heraus. ;) Wobei deine Bemerkung durchaus ihre Berechtigung hat, denn rein intuitiv finde ich es auch schöner, wenn man mit einer einheitlichen Variable rechnet. Man könnte auch Folgendes machen: Aus u=Wurzel(x) folgt x=u^2 und damit dx/du=2*u, bzw. dx=2*u*du. Das dann für dx im Integral einsetzen (parallel zu u für Wurzel(x)) und man hätte alles schön nur von u abhängig. 😉
Den Weg hätte man auch gehen können, aber oft steht das u (also hier jetzt dieses Wurzel(x) ) nicht direkt nochmal im Integral und dann ist es einfacher nur an einer Stelle das u einzusetzen und den Rest einfach zu kürzen. Ist aber natürlich Geschmacksache. 😊
Danke für das tolle Video :) Ich verstehe nur noch nicht ganz, wieso sqrt(x) im Nenner nicht auch durch u ersetzt werden muss, da das ja die gleiche Funktion ist. Oder kann man eine substituierte Funktion immer nur einmal "ersetzen", oder geht beides? LG Nico
Susanne, dir ist leider ein Fehler unterlaufen. Da sich im Nenner der Integrandenfunktion Wurzel x befindet, lautet die Definitionsmenge D = IR^+. Das Integral ist dann ein uneigentliches Integral.
Mein Prof konnte das so gar nicht erklären. Mit deiner Schritt für Schritt Anleitung habe ich es aber sofort verstanden. Da merkt man mal wieder was ein guter bzw nicht so guter Lehrer ausmacht.
Ich muss das mal eben loswerden, weil es mich auch persönlich sehr freut: Heute hatte ich die 5. Schülerin, die mir sagte, dass Sie jetzt seit einiger Zeit lieber der Susanne zuhört, wenn sie zwischendurch Matheprobleme hat, als jenen coolen Jungs vom "einfachen Verein" 🙂 Das muss ja mal gesagt werden!!!
Da einige noch Verständnisprobleme hatten versuch ichs mal mit meinen Worten: im Endeffekt ersetzt du nur einen Ausdruck der schwierig zu integrieren ist mit einer neuen Variable, in der dieser Ausdruck quasi versteckt ist bis man fertig ist. Da du aber deine alte Variable ersetzt hast, musst du natürlich auch über die neue Variable integrieren, heißt: du ersetzt dx und deine alten Grenzen setzt du in den alten, jetzt substituierten Ausdruck ein. Damit du einen Ausdruck substituieren kannst, muss die Ableitung davon irgendwo als Vorfaktor vorkommen. Das liegt daran, dass das Reziproke (1/...) der inneren Funktion in der integrierten Funktion nicht mehr vorkommt, weil ja so ein u abgeleitet nur den Vorfaktor 1 hätte. Somit verschwindet auch dieser Faktor der Form der Ableitung (Achtung: angenommen x² wird substituiert und es steht nur x als Vorfaktor, kann man diesen zb in 1/2 * 2x umschreiben, das 2x verschwindet und 1/2 bleibt, Umformungen sind also möglich und oft nötig!). Am Ende kannst du, wenn du das möchtest Rücksubstituieren, also aus dem u wieder deinen alten Ausdruck in deine Integrandenfunktion einsetzen. Hoffe das war verständlich :)
Du schaffst es echt immer wieder, für mich super schwere Inhalte, die ich auch sonst nirgends verstehe so rüberzubringen, dass man sie direkt versteht und anwenden kann. Du hast eine ganz tolle Art zu erklären. Wirklich vielen Dank
Kann man. Ist aber unnötig, wenn nur das Ergebnis des bestimmten Integrals interessiert. Es kommt aufs gleiche heraus und spart etwas Aufwand. Anders natürlich, wenn man nach der Stammfunktion selbst sucht, da kommt man nicht darum herum. ;)
Das kannst du so machen, aber dann musst du die Grenzen beim Integrieren erstmal weglassen. Wenn du sie mitschleppst und beim Substituieren nicht anpasst, ist die Gleichheit zwischen dem dx- und dem du-Integral nicht gegeben, und es gibt Punktabzug. Wenn du also lieber rücksubstituieren anstatt die Grenzen anpassen möchtest, nimm sie erst nach der Rücksubsitution in der Stammfunktion dazu.
Geschmackssache. ;) Wichtig ist v.a., dass sich alles "Störende" rauskürzt und man am Ende ein Integral hat, das nur noch von u abhängt. Aber rein intuitiv würde ich tatsächlich auch erst alles von u abhängig schreiben und dann kürzen. Auch wenn's aufs gleiche herauskommt. 😄
Das kann man machen, funktioniert genauso. Hinten kommt ja dann noch einmal Wurzel(x) vor, wenn man das auch noch mit u ersetzt, kürzt sich das u genauso weg wie die Wurzel(x) hier im Video.
An der unteren Grenze gibt es einen Pol, da muß man einen Grenzwert betrachten. Es gibt aber noch etwas und das macht nahezu jeder genauso, nur ist es eigentlich fragwürdig: Es betrifft den Punkt 4 nach dx umstellen. du/dx ist nur Notation, damit darf man nicht rechnen. Ich würde auch vehemd wiedersprechen wollen das du/dx die Schreibweise der Mathematiker ist (die rümpfen ehr die Nase), das ist ehr die Sichtweise der Physiker, Ingenieure etc. Eigentlich ist das ganze auch nicht wirklich ein Problem. Die Mathematik befasst sich mit etwas, was es in der realen Welt (sprich der Natur) nicht gibt: etwas unendlich großes oder etwas unendlich kleines. Wenn man das dx oder delta x noch als etwas makroskopisches sieht (das man so klein macht, das es den Genauigkeitsanforderungen genügt) dann darf man damit auch rechnen. Aber das ist nicht die Sichtweise der Mathematik. Mir persönlich ist das d/dx um Grössenordnungen lieber als die "Epsilontik" der Mathematik (die ist formal korrekt, aber ohne jede Anschauung). Nur wenn man so rechnet, dann sollte man sich schon bewußt sein, das man etwas tut, was man eigentlich nicht darf.
Hallo Susanne, ich verstehe nicht, warum Du bei der Substitution nicht auch die "Wurzel X" im Nenner substituieren mußt. Kann ich mir das einfach aussuchen?
Das sieht nach Substitution 1. Art aus (die leichtere). Und zwar ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion e^x bekanntlich wiederum e^x, und die Ableitung der Quadratwurzelfunktion sqrt(x) ist 1/(2sqrt(x)). Mit der Kettenregrl folgt, daß die Ableitungsfunktion von e^sqrt(x) lautet: e^sqrt(x) * 1/(2*sqrt(x)) Unser gesuchtes Integral ist also Integral(0, 1, 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) = Integral(0, 1, 2 * 1/2 * 1/sqrt(x) * e^sqrt(x) dx) = 2 * Integral(0, 1, 1/(2*sqrt(x)) * e^sqrt(x) dx) = 2 * [e^sqrt(x)] in de Grenzen von 0 bis 1 = 2 * [e^sqrt(1) - e^sqrt(0)] = 2 * [e^1 - e^0] = 2 * [e - 1] = 2(e - 1) = 2e - 2
In solchen Fällen, wenn man die "innere Ableitung" der Kettenregel bereits im Funktionsterm erkennt, also die Substitution 1. Art anwenden kann, benötigt man übrigens nicht wirklich eine Substitution, wie von mir gezeigt. Da kann man beim x bleiben, ohne auf eine neue Variable wie u umzuschreiben. Das hat zudem noch den Vorteil, daß man direkt die Stammfunktion erhält, die ja auch für andere Integrationsgrenzen gilt. In diesem Beispiel ist es F(x) = 2 * e^sqrt(x). Bei der Substitution 2. Art ist es leider viel komplizierter.
Das dv muss ja allein stehe damit ich integrieren kann, ich hab bei meinem Beispiel aber dv/2=dx, weil meine Funktion von u war 2x, wie gehe ich da dann vor weil ich kann ja nicht einfach mal 2 rechnen oder?
Oh MANN!! Danke für das unglaublich gute und verständliche Erklären- was bereits zwei Professoren mir nicht vermitteln konnten, binnen eines 10minütigen Videos verstanden. grandios
Bist du grade dabei dein Doktortitel zu machen, oder evtl. eine Professur zu ähm erarbeiten und wie lang wären die Wege bei Schnittpunkten von Lernbegeisterung zu berechnen um eine Zielkurve auszudenken die in der Mengenlehre des Bildungsgrades des Winkelobjektes anzupassen wäre? ☺
Schön, dass das mit der Substitution ausführlich erklärt wird. Ich schaue deine Videos gerne und empfehle sie meinen Schülern. Aber ist eine Substitution als vergleichsweise aufwendige Vorgehensweise in diesem Beispiel notwendig? Nehme ich z.B. f(x)=e^√x, dann ist f'(x)=1/(2√x) e^√x. Von da aus ist es nicht mehr schwer zu sehen, dass geringfügig verändert die Funktion g(x) = 2 e^√x zur Ableitung g'(x) = 1/(√x) e^√x führt, was die fragliche Funktion in dieser Aufgabe ist, und damit habe ich die gesuchte Stammfunktion und kann das Integral berechnen - ganz ohne Substitution. Oder denke ich zu simpel?
Wir haben immer mit z substituiert und u und v für die partielle Integration verwendet. Und wir haben immer nach dz und nicht nach dx umgestellt: z = √x => dz/dx = 1/(2√x) => dz = 1/(2√x) dx => Int(e^√x/√x dx = Int(2e^√x * 1/(2√x) dx) = Int(2e^z dz) = 2e√x Anstatt die Grenzen anzupassen kann man sie auch erstmal weglassen und in der Stammfunktion rücksubstituieren. Allerdings sollte man sie erst dann einsetzen, weil sonst die Gleichheit zwischen dem dx- und dem dz-Integral nicht gegeben wäre.
Wieder sehr gut erklärt. Klar strukturiert, und sympathische Präsentation. Inzwischen mein bevorzugter Kanal, um mir für meinen Lehrjob Inspirationen zu holen. Ich empfehle den Kanal auch meinen Schülern. Mach noch viele gute Videos für die Schüler. Das ist sehr hilfreich. Lustig: Mein Lehrer meckerte schon vor 25 Jahren über den unlogischen Begriff Verkettung, da es sich vielmehr um Verschachtelung handele. Trotzdem wird stur daran festgehalten.🙄
Ich hätte hier gar nicht substituiert, denn mir als Blitzmerker ist sofort aufgefallen, dass die Ableitung von e ^ sqrt(x) mit der Kettenregel dazu führt, dass es zu der von Dir vorgestellten Aufgabe führt - naja, bis auf die zwei, natürlich. Aber das hier ist ja nur eine leichte Aufgabe und es gibt auch kompliziertere Integrale, wo man mit meiner Try-And-Error Methode nicht so schnell zum Ziel kommt. Deshalb danke für die prima Vorstellung der Substitutionsregel - die hatte ich schon seit Jahrzehnten nicht mehr auf dem Teller! 🙂
Danke dir. Ich habs endlich gecheckt. Ich bin im ersten Semester meines E-Technik Studiums und schreibe übermorgen die Mathe A Klausur. Damit bin ich dem Bestehen einen Schritt näher. Danke dir!!!
Hallihallo! Eigentlich super erklärt, aber ich verstehe nicht, warum ich die Wurzel x im Nenner nicht auch durch u ersetzen muss? Es ist doch der gleiche Term?
Prinzipiell kannst du das auch ersetzen, es zwingt dich aber nichts dazu. Hier hat sich das Wurzel x so schön rausgekürzt, weshalb ein Ersetzen durch u nur mehr Aufwand bedeutet hätte.
Unser Regelungstechnik Professor sagte immer, ein Ingenieur kann ein Jahr nach dem Studium keine Integralrechnung mehr. Genau so ist es und bei mir ist es schon zig Jahre her. Schaue mir das Video aber gleich an. Kann ja nicht schaden.
Ich habe dieses Integral in meiner Analyse Klausur , aber das war ein bisschen anders. Das steht keine Wurzel x in dem Nenner . Wie würden Sie dann integrieren
Die 2 ist ein Faktor also es wird Mal 2 gerechnet . Deswegen kann man die 2 einfach vor das integral schreiben . Das was du meinst wäre bei plus oder minus
Danke, alles schön mal gehört, aber nach 40 Jahren keinen blassen Schimmer mehr. Hat aber unheimlich viel Spaß gemacht. Ich glaube, auf dem Boden liegt sogar noch mein Mathehefter.... 😊
Frage zur Anpassung der Grenzen bei "Wurzel aus 1": Wieso wird nur die PLUS 1, aber nicht die MINUS 1 bei der finalen Berechnung berücksichtigt, -1 x -1 ergibt doch auch 1? Ansonsten super erklärt, selbige hätte vor 35 Jahren einges einfacher gemacht
Die Wurzel aus einer Zahl ist per Definition positiv, sonst wäre sie nicht eindeutig definiert. Alternativ kannst du auch die Grenzen lassen, wie sie sind, und am Ende zurücksubstituieren.
@@clemensmuller2543 Danke, das ist für mich eine neue Erkenntnis. Man lernt doch nie aus🙂 Vielleicht wurde es damals in einer Mathevorlesung erwähnt und ich hatte in dem Moment besseres zu tun😎
Ich hätte mal eine Frage zu den neu zu erstellenden Grenzen. Wenn man jetzt z.B. die Original Grenzen von 2 bis 3 hätte. Wären dann die neuen Grenzen in dem Fall von Wurzel-2 bis Wurzel-3 ????
Das geht auch, nur darfst du dann nicht vergessen auch das Wurzel(x), das durch das dx ins Integral kommt, auch noch durch u zu ersetzen. Dann kürzt es sich aber auch raus und man erhält dasselbe Ergebnis wie im Video. 😊
Es hat mir wieder Freude gemacht, Dir zuzuschauen! Fast unglaublich, was ich vor Zeiten auch alles mal lernen durfte, um es so ziemlich alles wieder zu vergessen, was aber scheinbar für den weiteren Werdegang nicht so schlimm war. Und doch bleibt das Gefühl, als wären irgendwo im Hirn noch Reste und Spuren davon vorhanden! Hat auch etwas "Magisches", so ein verwurzeltes Integral! Vielen Dank! 😊👍🎶👏
