Kombinatorik in der Eisdiele 

Lass es dir schmecken! :)

Aber Schokolade MUSS sein!

Ein Leben ohne Schokolade ist möglich aber sinnlos. 😉

Korrekt!

Okay, ich versuch's mal: 4) Eissorten dürfen sich wiederholen, Reihenfolge egal Wir kürzen die Sorten 1 bis 10 durch S1 bis S10 ab. Ein Eis besteht aus drei Kugeln, also wenn man alle Möglichkeiten systematisch (lexikographisch) aufschreibt, würde das ungefähr so aussehen: S1S1S1 S1S2S2 S1S3S3 ... S1S1S2 S1S2S3 S1S3S4 S1S1S3 S1S2S4 S1S3S5 S1S1S4 S1S2S5 S1S3S6 ... ... ... S2S2S2 S2S3S3 ... S2S2S3 S2S3S4 S2S2S4 S2S3S5 ... ... Ich hoffe, man erkennt, dass hier die Reihenfolge egal ist, denn z.B. ist S2S2S1 nicht in der Aufzählung enthalten, weil es gleichbedeutend mit S1S2S2 ist. Allerdings sieht man die Formel mit dieser Art des Aufschreibens nur schwerlich (ich zumindest nich :D) Der "Trick" für die Formel ist der folgende: Stelle Dir vor, die 10 Sorten liegen in 10 Boxen. Diese 10 Boxen kann man durch genau 9 Trennstriche abgrenzen: S1|S2|S3|S4|S5|S6|S7|S8|S9|S10 Vereinfacht schreibe ich das mal so: | | | | | | | | | Nun geht man dreimal mit dem Eislöffel jeweils in eine Box. Ich symbolisiere den Eislöffel durch ein E und schreibe die Möglichkeiten von oben wie folgt: S1S1S1 EEE||||||||| (Löffel geht dreimal in die erste Box) S1S1S2 EE|E|||||||| (Löffel geht zweimal in die erste, einmal in die zweite Box) S1S1S3 EE||E||||||| (Löffel geht zweimal in die erste, einmal in die dritte Box) usw. . . . S2S3S5 |E|E||E||||| (Löffel geht einmal in die zweite, einmal in die dritte und einmal in die fünfte Box) usw. ... Wenn man das mathematisch ausdrücken wöllte, würde ich sagen: Wir haben damit eine eineindeutige Zuordnung von den Möglichkeiten in der Form SxSySz in die Form gefunden, die aus 9 Strichen und 3 E besteht. Also ist jetzt das Schöne: wir brauchen nur zählen, wie viele solche Anordnungen von 9 Strichen und 3 E gibt es. (Dass sich die Eissorten wiederholen können, sieht man in dieser Art des Aufschreibens sofort. Dass die Reihenfolge egal ist, spiegelt sich dadurch wider, dass alle E gleichrangig sind und es kein erstes, zweites oder drittes E gibt.) Was passiert nun aber mit den 9 Strichen und den 3 E? Die werden einfach nur beliebig umsortiert (permutiert) und bei jeder Umsortierung (Permutation) entsteht genau eine neue Möglichkeit. Nun handelt es sich hier also um Permutationen von 9+3=12 Elementen, von denen einmal 9 und einmal 3 gleich sind. Für 12 Elemente gibt es 12! Permutationen. Wenn aber 9 Elemente gleich sind, entsprechen immer genau 9! von den 12! Permutationen nur einer einzigen (die 9 Striche kann man untereinander vertauschen, ohne dass sich an der Möglichkeit etwas ändert). Genauso ist es bei den 3 gleichen E, deren Vertauschung macht ebenfalls nix, also entsprechen nochmal jeweils 3! Permutationen jeweils einer einzigen. Dementsprechend muss man 12! sowohl durch 9! als auch durch 3! teilen, also 12!/(9!*3!). Und das ist aber genau der Binomialkoeffizient, also 12 über 3 (oder 12 über 9, was natürlich dasselbe ist). Allgemein hast Du: n Eissorten => n-1 Trennstriche k Kugeln ausgewählt => Permutationen von n-1+k Elementen, von denen n-1 und k gleich sind => (n-1+k)!/((n-1)!*k!) => Binomialkoeffizient n-1+k über k Man kann den Spaß auch mit vollständiger Induktion beweisen, aber die Idee finde ich schöner. :-)

@@omawaldi8985 Danke für den erfolgreichen Versuch! Das mit den Schubladen und dem Eislöffel war genau das, was ich meinte - eine anschauliche Erklärung zum logisch verstehen. Ich habe ja die Formel nicht angezweifelt sondern konnte mir nur die Herleitung nicht selbst erklären. Insofern hätte mir der formale Beweis auch nicht so viel gebracht. Im Grunde ist es ja so, dass sich bei jeder Wiederholung die Auswahlmöglichkeiten um k-1 erweitern. (n-1 Striche und k Eiskugeln) Der Rest ergibt sich dann von selbst. Mir ist auch noch aufgefallen, dass man für kleine k und bekannte Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung auch eine Abkürzung nehmen kann. Bei k=1 ist es natürlich egal, ob ich eine theoretische Wiederholung habe, die mangels 2. Versuch aber gar nicht stattfindet. Bei k=2 muss man n und bei k=3 muss man n² hinzuaddieren. Das kann ich durch Einsetzen in den Binomialkoeffizienten und formal ausrechnen auch beweisen. Ab k=4 wird es komplizierter.

Es wäre auf jeden Fall einfacher zu rechnen. Ich bin dafür!

Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? 😂

Du hast vollkommen Recht: Bei drei gleichen Kugeln gibt es nur eine Möglichkeit. Allerdings spielt in allen anderen Fällen die Reihenfolge eine Rolle. Am besten zu zeichnest dir mal den Baum auf, dann sieht man es.

Nein ist ein RU-vid Bug. Einfach das Video nochmal aufrufen

@@judanji2234 Ja, lustigerweise ist immer, nachdem ich kurz vorher ein Video hochgeladen habe, jemand ohne Ton. Das ist tatsächlich ein RU-vid Bug