Du bist ein fantastischer Lehrer. Halbe Stunde Uni-Papiere gewühlt, vielleicht 30% vage verstanden. 15 Minuten Video gesehen, Uni-Übungsaufgabe im Kopf gelöst. Ich will gar nicht wissen wie viele schlaue Leute wir verloren haben, einfach weil wir Lerninhalte schlecht präsentieren. Weiter so!
Ich bin dir sehr dankbar, ich hab meine Mathe Prüfung beim Haupttermin nicht bestanden, aber dank dir und deinen Videos hab ich den Nachtermin komplett wegrassiert! :>
Vielen Dank für dieses Video! Ich habe schon wirklich lange Probleme gehabt die Lösbarkeit zu bestimmen. Irgendwelche komischen Methoden von Kommilitonen hab ich nie verstanden, aber deine Erklärung war einfach eine 1+ !! :) Generell sind deine Video super! Hab damit schon viel gelernt
Danke für die tolle Erklärung!! Super Videos. Keep up the good work! Deine Videos ziehen mir bei meinen Matheklausuren an der Uni immer wieder den Hals aus der Schlinge!
Ich hab das Video einen Tag vor der Mathe 1 Klausur gesehen und es kam einfach genauso eine Aufgabe mit Parameter dran. Dank dir besteh ich evtl. sogar xD
Vielen vielen dank für deine tollen Videos! Man hätte es nicht besser erklären können! Das ist ja echt schon unfair gegenüber allen Studenten die deine Videos noch nicht kennen :D
Hallo MathePeter, das Video ist sehr gut gemacht (wie alle Ihre Videos, wie ich finde). Bleiben sie unbedingt dabei. Ihre spannende Art Mathematik zu erklären, kann sehr vielen Studenten helfen. Schade, dass es zu meiner Studienzeit solche Lernmöglichkeiten praktisch gar nicht gab. Also alles Gute!
Ich meine die Lösung das man aus einem LGS in der erweiterten Koeffizientenmatrix dann die Lösungsmenge der Matrix mit der speziellen Lösung und weiteren Vektoren erhält. Mein Prof hatte da ein Beispiel gemacht wo er die parameter der Nichtstufenapalten von der Matrix A (2x5 Matrix) auf 0 gesetzt hat (das waren die Spalten 3 und 5) um die spezielle Lösung zu bekommen und dann für die anderen Vektoren (die, die Basis des Vektorraums sein soll) dann einmal Spalten 3 auf 1 und Spalte 5 auf 0, und für den zweiten dann die Spalte 3 auf 0 und Spalte 5 auf 1. Die Lösungsmenge war dann dann irgendwie mit der speziellen Lösung c und den beiden Vektoren aber ich hab das noch nicht ganz verstanden. Ich hoffe du kannst rauslesen was ich meine.
Danke danke danke endlich verstehe ich es!! Wie würde ich jetzt aber zu diesem LGS meine Lösungsmenge L(A,b) aufstellen, wenn ich Alpha und Beta so beachte.
Für genau eine Lösung setz α=-1 und lös die Zeilen von unten nach oben wieder als Gleichungen auf, wie in diesem Video hier: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-ac8r-E5h9FI.html Für unendlich viele Lösungen setz α=-1, β=1 und mach das gleiche. Du kannst auch in diesem Video hier abgucken, wie es dann weiter geht: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-K7L4yKB1JaE.html
Hallo Peter, ich habe eine 3x3 Matrix mit 2 Parametern (Alpha, Beta). Diese habe ich auch mit dem Gauss Jordan Algorithmus erfolgreich gelöst. Teil 2 der Aufgabe verlangt, dass angegeben werden muss für welche Alpha und Beta die Matrix positiv definit ist. Ich habe damit Schwierigkeiten, da man ja Alpha und Beta nicht genau bestimmen kann. Gibt es dafür eine allgemeine Formulierung oder kommt man da nur durch Ausprobieren weiter... Über Hilfe würde ich mich freuen!
Für die Definitheit gibts mehrere Möglichkeiten. Du könntest z.B. die Eigenwerte bestimmen in Abhängigkeit von alpha und beta. Die Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind.
Wieder ein top Video! Eine "kleinliche" Frage habe ich: Bei 10:45 sagst Du ja wenn Alpha nicht -1 oder Beta nicht -1, dann haben wir keinen Rangverlust. Es würde aber ja auch gelten wenn Alpha nicht -1 UND Beta nicht -1 sind, oder? Gibt es dafür ein extra mathematische Zeichen, bzw. müsste man das ganz korrekt zusätzlich dokumentieren? Sorry ist vermutlich sehr kleinlich, kam mir nur eben in den Sinn :-D
Hey Finn, gut dass du nachfragst! Es stimmt so, wie ichs im Video sage, denn das mathematische "oder" ist kein ausschließendes "oder". Es bedeutet: das eine oder das andere oder beides. Mathematiker Witz: "Mögen Sie Kaffee oder Tee?" - "Ja."
Hey Peter, eine Frage dazu. Wie gibt man die Dimension an, wenn man ein lineares Gleichungsystem hat mit 4 variablen und bei dem Gaußverfahren dann zwei nullzeilen erhält. Das heißt ich erhalte unendlich viele Lösungen. Ist die Dimension dann 2? Ich dachte da an: n - rang(A)
Ja genau so. Jede Nullzeile lässt den Lösungsraum des homogenen LGS um eine Dimension wachsen. Bei zwei Nullzeilen gibt es einen 2 dimensionalen Lösungsraum für das homogene LGS.
Wirklich klasse! Eine kurze Frage hätte ich noch: Wäre es möglich, dass der rang größer als n ist oder entsteht dann immer eine Nullzeile? Noch spezifischer (Ist eine Prüfungsfrage): Finde eine weitere Gleichung (welche davor 3 x 3 war), so dass die Gleichung eine eindeutige Lösung hat. Darf ich dann für die neue Zeile x_1=0 und x_2=0 (bzw deren Koeffizienten natürlich) und für x_3=alpha und b= beta Wenn ich dann alles schon in der Treppenstufenform habe und mein alpha ganz unten rechts auf der Hauptdiagonale steht, kann ich ja den Rang beibehalten indem ich: alpha =/= 0 und beta =/= 0 Wäre das eine akzeptierte Lösung bevor ich alle 3 Koeffizienten als Unbekannte hinschreibe? Bei der Prüfungsfrage war wahrscheinlich eine Nullzeile von Anfang an drinnen, sonst müsste ich keine weitere Gleichung finden. Es geht mir eher um meine Abkürzung und ob die mathematisch Korrekt ist. Es würde mich riesig freuen, wenn du mir antwortest. besonders da ich deine Videos sowas von gut finde! ich mochte schon immer Daniel Jung, aber seitdem ich dich gefunden habe, schaue ich nur deine Videos an! Vielen Dank für deine Videos!
Hey Adrien, vielen Dank!! Zu deiner Frage: Ich denke ich verstehe was du meinst. Der Rang kann nicht größer sein als n. Wenn es vorher ein 3x3 System war, gibts nur zwei Möglichkeiten. Entweder der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich 2 und du ergänzt dir eine Zeile, die linear unanhängig ist von den beiden, um auf Rang 3 zu kommen. Oder der Rang war 3 und du kopierst einfach eine der drei Zeilen, weil die ja dann eh zur Nullzeile wird. Denke aber eher, dass es der erste Fall ist, sonst wäre es zu einfach. Deine Abkürzung würde ich allgemein nicht unterschreiben wollen, weil ja genau dieser Fall bereits eine Linearkombination der ersten beiden Zeilen sein könnte.
@@MathePeter Hey Peter, vielen Dank für deine liebe Antwort! Ich melde mich erst so spät, weil ich gerade die zugehörige Aufgabe löse. Ich verzweifle gerade vor dieser Aufgabe und es kommt bestimmt eine in meiner Klausur in 6 Tagen. Ich würde mich wirklich sehr freuen, wenn du mir kurz helfen könntest. DIe Nachricht wird sehr lang (tut mir leid!), weil ich dir die Aufgaben, in der Hoffnung, dass es dann leichter zum nachvollziehen ist, einmal komplett hinschreibe: 1. Zeile: x_1 + 2x_2 -3x_3 = 0 2. Zeile: 2x_1 - x_2 - x_3 = 5 3. Zeile: 3x_1 - 4x_2 + x_3 =10 (2) (1) Als Lösung habe ich X= (-1) + t*(1) Da bin ich mir ziemlich sicher. Es geht nämlich um die Aufgabe b) (0) (1) b) Füge eine weitere Zeile hinzu, sodass das LGS eine eindeutige Lösung hat. WIe würdest du das lösen? Meine Überlegung mit dem Trick: Ich kopiere den letzten Schritt meines vorherigen Gaußsystems, sodass ich eine Nullzeile habe. Danach füge ich eine weitere Zeile ein mit einem Parameter für x_3 und die anderen Variablen eliminiere ich vorhinein. Außerdem wähle ich ein zufälliges Ergebnis welches nicht 0 ist : 0*x_1 + 0*x_2 + alpha*x_3 = 7 nun wähle ich zum Beispiel alpha=1. Die Gleichung ist schon in der Treppenstufenform also kann ich x_3=7 auflösen. Zum Verdeutlichen: (lasse alte nullzeile weg: x_1 + 2*x_2 - 3*x_3=0 0*x_1 - 5*x_2 + 5*x_3= 5 0 0 0 lassen wir weg 0*x_1 + 0*x_2 + alpha*x_3= 7 es ist schon in der Treppenstufenform 9 Meine Lösung hier bei alpha= 1 X= 2 7 Alternativ 3. Zeile mit nur unbekannten Parametern: Beta*x_1 + omega*x_2 + alpha*x_3 = 0? (0 wegen linearer Unabhängigkeit?) WIe finde ich jedoch die Parameter? Es sind doch viel zu viele? Es scheint hier funktioniert zu haben, aber ich habe das Gefühl, dass das nicht der richtige Ansatz ist, sondern eher raten(was auch funktioniert hat)! Ich habe nun schon 10 Seiten Nonsens rumgerechnet und habe mir gedacht, ich wage es dich zu fragen! Es tut mir so leid, dich mit einer solch langen Fragen zu beschäftigen! Mit dir macht mir Mathe endlich wieder Spaß und ich mache mehr als nötig, weil ich es sehr interessant finde! Vielen Dank für deine Hilfe! Sie bedeutet mir sehr viel!
Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (bzw. Spalten) der ursprünglichen Matrix. Anschaulich ist das die Anzahl der Nicht-Nullzeilen, wenn wir die Treppenform erreicht haben. Du musst nur die Nicht-Nullzeilen zählen in Abhängigkeit der Parameter.
Mir wurde mit einer Definition erklärt was eine Treppennormalform ist, was Pivot-elemente sind und, dass der Rg dann die anzahl der Pivot-elemente ist. Anazhl Linear unabhängiger Zeilen oder Spalten is viel leichter zu merken, danke. 10:25 wäre das , denn falsch?
Die Hauptdiagonale geht immer von links oben an diagonal nach rechts unten. Alles unterhalb versuchst du zu Nullen zu machen. Wenn es mal mehr Gleichungen als Unbekannte gibt (überbestimmtes Gleichungssystem), dann kann es evtl auch mal keine Lösung geben, weil dem System zu viele Restriktionen auferlegt wurde.
morgen prüfung, kann absolut nichts..... nach deinem 17 min video hab ich jetzt 5 punkte in der prüfung safe und man braucht 10 von 25 zum bestehen. gehe gleich noch auf die suche nach noch nem video von dir damit ich die 10 punkte hab
@@MathePeter Nr 1. Gegeben sei die Ursprungsebene U: {(xyz) IR3; -x-y+2z=0} bestimmen sie die abbildungsmatrix a der orthogonalen Projektion IR3 -> IR3 auf U, die durch (griechischerbuchstabe) f(x)= u mit u= proj U x definiert ist Bestimmen sie ferner u= projU x für den vektror x ( 1 , 0 , -1) nr 2. Im zugrunde gelegten kartesischen Koordinatensystem K1 sei das Dreieck mit den Eckpunkten a= (0 0) b= (2 3) und c= (1 3) gegeben. Das Dreieck werde zunächst um den Vektor a = (-2 1) translatiert. dann werde das dreieck in dem mittranslatierten Koordinatensystem K2 und dem winkel a= -60grad gedreht. Anschließend werde das Dreieck in dem mitgedrehten Koordinatensystem K3 an der y-Achse gespiegelt. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der gesamten Abbildung f in homogenen Koordinaten bezüglich des ursprünglichen Koordinatensystems K1 und berechnen Sie den Punkt C' = f(C) des abgebildeten Dreiecks.
Nr 1 habe ich mal in einem der letzten Altklausuren Livestreams gemacht nur mit anderen Zahlen. Zu Nr 2 solltest du dir mal meine Videos zu orthogonalen Matrizen anschauen. Du musst nur jeden Punkt mit dem Verschiebevektor addieren, das dann an die Drehmatrix mit a=-60° multiplizieren und das dann schlussendlich an die Spiegelmatrix.
@@MathePeter kann man den Livestream noch irgendwo im Nachhinein anschauen? & Vielen Dank für die Hilfe :) bekommst ein like und Abbo von mir und empfehle dich meinen Kommilitonen
Das finde ich sehr hilfreich . Danke.. Nur eine Frage -1 1 -1 0 0 t+2 -1 1 0 0 -t 0 ist Rang A < Rang A|b in diesem Fall für t= -2 oder ist unabhängeig davon Also ich meine: soll die Zeile linear unabhängig durch dreieck nach der auswahl der Parameter um Rang A zu berechnen?
Schreibe bald Prüfung und der Prof meint es kann auch ein Zeile mehr sein sprich eine 3 x 4 Matrix ... wie geht das dann? Und wir müssen bei dem 2. Punkt (mehrdeutig lösbar) die allgemeine Lösung in vektorieller Form angeben ... wie geht das? 😂 vielen Dank im Voraus für deine Hilfe
Ich hab das alpha in der 2. Spalten in der 3. Zeile wie gehe ich da vor. Ich kann das ganze ja nicht einfach umdrehen wie in diesem beispiel? und was wäre denn die Lösungsmenge bei unendlich vielen Lösungen.
Wenn das alpha in der 2. Spalte und 3. Zeile steht, kannst du auch einfach die zweite und dritte Spalte vertauschen. Achte dabei aber auch drauf, dass du die Spaltenbezeichnung tauscht (x2,x3) -> (x3,x2). Bei unendlich vielen Lösungen setzt du soviele Variablen zu Parametern, wie du Nullzeilen hast und löst dann die restlichen Gleichungen nach den restlichen Variablen auf. Du musst dabei allerdings drauf achten welche Variablen du zu Parametern setzt, es gehen nicht immer alle. Schau dir dafür am besten mein Video an zum Schnitt zweier Ebenen: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-K7L4yKB1JaE.html
Kann man in diesem Beispiel auch sagen, dass es eindeutiger Lösung hat, wenn (a )alpha ungleich -1 und( B ) Beta ungleich +1 sind ? oder muss so sein wie Du geschrieben hast? Besten Dank
Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn alpha ungleich -1 ist, da stimmt. Das beta hat keinen Einfluss auf diesen Fall, darum hab ich geschrieben, dass es jeden beliebigen Wert annehmen kann.
Was wäre aber wenn wir mehr Parameter haben Bsp wäre die erste Zeile gleich a die zweite gleich b und die dritte gleich c Zusätzlich gibt es noch einen Parameter alpha Wie käme ich da auf die Lösungen?
Auf die selbe Weise, nur mit mehr Buchstaben drin. Der Trick ist trotzdem noch alle Parameter der linken Seite nach rechts unten zu tauschen und die Zeilen-Stufen-Form zu erzeugen und dabei das System mit so wenig wie möglich Parametern zu infizieren. Danach Fallunterscheidungen wie im Video.
13:33 Das Problem mit dem "kleinen Trick" ist eigentlich kein Problem. S*O*B*A*L*D nämlich in den parameter-freien Zeilen "0 0 0 | ≠0" steht, ist die Aufgabe nicht mehr lösbar und wir haben Feierabend -- Parameter hin oder her.
Ja das kannst du! Es ändert sich nur das Vorzeichen in der Zeile, also als ob du noch mal mit -1 multiplizierst. Das ist aber in Ordnung und ändert die Lösungsmenge nicht.
Ein Professor, den ich im Fach Finite-Elemente hatte (da geht es u.a. um die Lösung von LGS), hat damit den Unterschied zwischen einem Mathematiker und einem Ingenieur erklärt: Der Mathematiker prüft zuerst, ob ein LGS lösbar ist. Der Ingenieur versucht es gleich zu lösen. Wenn nichts raus kommt, ist es offenbar nicht lösbar.
Wenn die rechte Seite komplett Null ist, handelt es sich um ein homogenes LGS. Das hat immer eine Lösung; die Nulllösung. Je nach Format und Parametern evtl auch unendlich viele Lösungen.
Hätte man nicht direkt x1 und x3 vertauschen können ohne vorher die Zeilen zu tauschen. Dann wäre alpha oben rechts gewesen. Hätte ja auch keinen gestört oder?
Oben rechtes ist nicht so gut, weil dann immer beim Erzeugen von Nullen in der zweiten und dritten Zeile das gesamte System mit dem alpha infiziert wird.
Gutes Video, aber zu lange für so ein kleines Thema. ist ja nicht soooo komplex und dumm sind wir alle nicht :)) hast mir aber trotzdem geholfen, danke :)))
