Molti hanno commentato che x + k dovrebbe fare 0,999....1 e non 1. D'altra parte, la domanda da farsi è la seguente: Come distinguere 0,999... da 0,999...9? Perché attaccare un 9 finale a una sequenza infinita di 9 non dovrebbe cambiare nulla, quindi, se 0,999... è uguale a 0,999...9, si dovrebbe anche poter dedurre che 0,999... + 0,000...1 = 0,999...9 + 0,000...1 = 1.
Coloro che dicono che faccia 0,999........1 non capiscono nulla di matematica e non sanno addizionare! Tra l'altro lo 0,9999.....prtiodico si differenzia dallo 0,9999 poiché quest'ultimo è un DECIMALE FINITO.... a differenza dell'altro che è un decimale periódico infinito!!
premetto non sono un professore, ma z + k non fa 0,999...6 ma bensì 1,000...5, difatti secondo la media ponderata z è a metà dell'unità k che separa x e y, quindi si può definire z come x + k/2, la somma z + k come x + k/2 + k, ma come visto x + k da come risultato y quindi z + k = y + K/2 dove k/2 è 0,000...5 che è la metà di 0,000...1 (k). formula ambigua in quanto si dovrebbe sottolineare che l'1 si trova nei "decimali" se si prende il 5 come punto di riferimento. si potrebbe scrivere in questo modo: 0,(n,0)1 come k, dove (n,0) indica n zeri con n infinito; 0,(n+1,0)5 come k/2 e 1,(n+1,0)5 come z + k. questa è comunque una forzatura o misuso di notazione in quanto n+1 sarebbe infinito+ 1 che è uguale a infinito (inoltre son sicuro che una scrittura del genere generebbe non pochi problemi). pertanto si, 0,9 periodico è uguale a 1 anche perchè k lo si può scrivere come 1/infinito che da 0; pertanto y=x, altrimenti si dovrebbe dimostrare che n/ infinito con n numero naturale, (intero, positivo), è diverso da 0.
In realtà quello che dice la signora non è insensato, solo sta parlando di un altro sistema numerico, non di numeri reali. In un opportuno campo ordinato non archimedeo effettivamente i numeri si potrebbero rappresentare con allineamenti decimali indicizzati su ordinali numerabili; allora dopo gli indici naturali 0,1,2,3,.. si può ricominciare con le cifre di posto omega,omega+1,..,2omega,..
Hai ragione, ma ovviamente qui la discussione tra me e Sara era limitata al campo dei reali, che è un campo archimedeo. Grazie del commento. @@pierineri
Le faccio i più vivi complimenti. Oltre ad essermi divertito ho anche imparato qualcosa di nuovo :) Sono molto contento di aver scoperto questo suo canale, e sicuramente continuerò a seguirla. Ho molto apprezzato
Tutto questo è vero e sacrosanto nei numeri Reali, la cui rappresentazione decimale è una successione di cifre con indice naturale. Se passiamo agli IperReali, che possiamo pensare (ma non è l'unico modo) come numeri che hanno parte decimale rappresentata da una successione di cifre con indice ordinale che può anche avere valori transfiniti, invece diventa vero che 0.(9) (dove la periodicità è solo sulle cifre di indice naturale) è diverso da 1. Ritorna vero se prendiamo 0.[9] con periodicità anche sulle cifre di indice trasnfinito. Comunque bel video.
Finalmente qualcuno che spiega la vera e propria dimostrazione. Molti la liquidano in fretta dicendo che sono concetti complicati (ed in fondo è vero), ma tu hai mostrato che si può spiegare anche con semplicità
@@francescobondini3051 Non sono d'accordo (e avevo 9 in matematica), 1 è 1 e 0,9 periodico è 0,9 periodico, quindi mancherà sempre uno 0,0000....1 per fare 1.
@@promanato il fatto che tu abbia avuto 9 in matematica non conta nulla mi spiace. Se vuoi ti posso dare un altro modo per vedere questa cosa, non è la dimostrazione rigorosa (quella è stata fatta nel video) ma è un buon modo per capirlo. Se prendo 1 e 0.9 qual'è la differenza? 0.1 (che possiamo scrivere come 10^(-1) ) Invece 1-0.99 = 0.01 = 10^(-2) 1-0.999 = 0.001 = 10^(-3) Siccome 0.9 periodico ha per definizione infiniti 9 dopo la virgola, la differenza tra 1 e 0.9 periodico corrisponde al limite per x che tende a infinito di 10^(-x). Se non ti ricordi cosa sono i limiti puoi tranquillamente guardare online anche semplicemente il grafico della funzione 10^(-x), vedrai che per X che tende ad infinito tende a 0. Dunque la differenza tra 1 e 0.9 periodico (siccome è esattamente il valore di quel limite) è esattamente 0. Quindi 1 è esattamente uguale a 0.9 periodico. Se non hai familiarità con i limiti magari può sembrarti poco intuitivo come ragionamento, sembra quasi che io stia dicendo che il valore a cui TENDE qualcosa è l'ESATTO valore di un altra, infatti non è rigorosa come dimostrazione, ma ti fa capire cosa succede.
L'ho scoperto proprio qualche mese fà, negare che quei numeri sono uguali significa ammettere che lungo la retta reale, esistono dei numeri di cui si conosce esattamente il suo successivo
Per me 1=1 e non 1=0,999 ... La differenza fra i due è sempre più piccola ma non si azzera mai, anche se andiamo, per assurdo, all'infinito! Mi dispiace, resto con i piedi a terra: manca sempre "qualcosina" ... Comunque, complimenti per la chiarezza della lezione!
Grazie per l'apprezzamento. È importante non confondere un numero con la sua rappresentazione. 1,000... e 0,999... sono due rappresentazioni decimali dello stesso numero reale.
In realtà tutti i giorni ne hai l'evidenza. Ogni volta che dividi una pizza in 3 e ne dai 1/3 a ciascuno stai dicendo che 0,3 periodico per 3 fa 1... E non c'è nessuna briciola che avanza. Oppure dovresti ammettere che 3/3 non è 1.
0.999... ha infinite cifre, l'inghippo è li, la tua argomentazione è sensata, e va dritta al problema, se ti interessa guardati bene la definizione di limite, vedrai che approfondendo l'argomento alla fine i conti ti torneranno.
La dimostrazione che preferisco di più è la densità di R Per chi non lo sapesse: Un insieme si definisce denso quando, dati due valor x,y appartenenti ad R, x
Assioma di Dedekind o successioni di Cauchy con la proprietà di Archimede a voi la scelta. È come dire 1/2 è uguale a 2:4 stessa cosa per 0.999… e 1 fanno parte della stessa classe di equivalenza. Non bisogna confondere i numeri reali con la loro rappresentazione decimale. Video simpatico.
Il mio unico appunto è la notazione 0.999... ovvero col 9 ripetuto infinite volte che appare artificiosa. Se uno ragiona con 1/3 e 2/3 il problema non si pone. Oppure se 1 è il limite di una serie è anch'esso comprensibile. Ma scritto 1=0.9999 è fuorviante
tutto molto bello, però al minuto 11:00 secondo il ragionamento della ragazza la somma la x+k sarebbe dovuta essere 0,999...1 e non 1. di conseguenza poi la sua teoria rimarrebbe ancora in piedi in quanto 0,999...1 < 0,999...6
Buongiorno, proverei con un ulteriore ragionamento a dimostrare che la differenza 1,000... - 0,999...= 0,000... Se le espansioni decimali di minuendo e sottraendo fossero composte da N cifre il risultato della sottrazione avrebbe fino alla posizione (N-1)-esima degli zeri ed in posizione N-esima un 1. Purtroppo :-) in una espansione decimale infinita la posizione (N-1)-esima è da pensarsi in estensione continua verso l'infinito quindi non potrà mai essere presente l'1 della posizione N-esima, al suo posto ci sarà sempre uno zero. Istintivamente, si pensa infatti presente l' 1 nella ultima posizione con infiniti zeri prima perché inconsciamente si associa una espansione decimale infinita con una di un grandissimo numero di cifre. Cioè inconsciamente viene fermata la posizione (N-1) esima. Chiaramente a questo punto stiamo pensando ad una espansione decimale finita non infinita. Quindi in una espansione decimale infinita di minuendo e sottraendo non potrà esistere l'1 che chiude il risultato della sottrazione.
Scusate ma la ragazza era un’attrice o stava cercando di argomentare la sua tesi? Perché mi è sembrata convinta in ciò che diceva. Comunque bel video, grazie mille! (La domanda è seria e mi farebbe molto piacere una risposta seria allo stesso modo😉)
È una giornalista (che mi sta molto a ♥) che ha iniziato con me una discussione sul tema e alla quale ho chiesto se potessimo proseguire il dialogo davanti alle telecamere, per vedere se potesse nascere qualcosa di simpatico da offrire al pubblico. È vero che in passato ha recitato in teatro, ma in questo caso la discussione che hai visto era in buona parte reale, abbiamo giusto "ripetuto" alcune delle frasi della precedente conversazione quando abbiamo accesso la videocamera, perché gli ascoltatori potessero capire da quale suo dubbio fosse iniziata la "disputa"! 🙂 Poi l'interazione è stata anche troppo spontanea, tanto che mi sono dimenticato di aggiustare una delle due camere e dunque lei di tanto in tanto nel video "scompare"!
Forse il problema della comprensione di questa uguaglianza è la difficoltà che una persona può avere a concepire nella propria mente il concetto di infinito.
In order to compute 1-0,999..., you usually compute the limit of the sequence of the differences (10-9)/10 = 0,1; (10-9)/100 = 0,01; and so on. That limit is indeed 0 but ought we to equate the limit of the sequence generated by partial results of an infinite operation with the result of the infinite operation? Recall Hilbert's paradox of the infinite operation involving two bags, one of them initially containing all natural numbers and the other initially empty; in the first move you pass the first ten naturals from the first to the second bag and then draw the first natural from the second bag and throw it away, so that nine numbers stay in the second bag; in the n-th move you pass the n-th ten naturals from the first to the second bag and throw away the n-th natural, etc. This generates the following sequence of partial results (i.e. of numbers of naturals remaining in the second bag): 9, 18, 27,..., 3 elevated to the n-th, ..., which tends to infinity. However, the result of the infinite operation is 0.
I understand your observation. But we have here to think to a number like 0,999... as an infinite decimal representation of a real number, then answer the following question: what real number does 0,999... represent? And this number is 1.
La ragazza (una giornalista che mi sta molto a ♥) aveva iniziato con me una discussione sul tema. Poi le ho chiesto se potevamo proseguire il dialogo davanti alle telecamere, per vedere se nasceva qualcosa di simpatico da offrire al pubblico. È vero che in passato Sara ha recitato in teatro, ma in questo caso la discussione che hai visto era in buona parte reale, abbiamo giusto "ripetuto" alcune delle frasi della precedente conversazione quando abbiamo accesso la videocamera, perché gli ascoltatori potessero capire da quale suo dubbio fosse iniziata la "disputa"! 🙂
Massimiliano mi puoi spiegare come fa un punto, che per definizione ha zero dimensioni, a formare un segmento che ha una dimensione ?? Detto in altre parole, è proprio vero che in un segmento ci sono infiniti punti ?? 🤔
Sembra tu sia perfettamente in chiaro su cosa sia quell'entità zero-dimensionale che chiami "punto". Come si definisce in modo rigoroso tale entità? Porsi questa domanda, e provare a rispondere, corrisponde a chiedersi, in sostanza, come si costruiscono i numeri reali e la loro relazione con la rappresentazione geometrica di una retta. Un vasto soggetto.
Su questo, nutro pochi dubbi! La realtà è Una! Lo diceva lo stesso Poincaré, ricordando che il vero problema non è quello di sapere "se è una", perché è autoevidente che lo sia, ma "come è una".
Mi spiace, ma 0,1 elevato all'infinito, tende a O, non sarà mai 0. La sua discente ha accettato la sua affermazione, ed ha gettato le armi!!! Anche 1/3 = 033.... moltiplicando entrambi i membri per 3, farà 1= 0,33....X3; ma 1 è diverso da 0,99... Grazie, ma non indica la sua discente-amica al accettate il suo "sofisma'. Con apprezzamento e stima alla sua preparazione matematica.
Secondo me il succo sta tutto nelle parole iniziali del prof. cioè che si tratta (solo) di due modi diversi di scrivere lo stesso numero ed è questo che la dimostrazione dimostra, posto di voler preservare la coerenza logica delle regole per le operazioni, eguaglianza e diseguaglianza tra numeri, mentre non ha senso logico aggiungere un numero finale a una serie per definizione infinita (ho sentito qualcuno spiegare che infinito non è un numero, ma un limite...). Approfitto per dire che a me la dimostrazione diagonale di Cantor ha sempre lasciato un po' freddino nel senso che parte da una ipotesi già di per sé, a priori, palesemente assurda ossia di poter avere (o costruire) un elenco di tutti i numeri irrazionali. Naturalmente con questo non mi sogno nemmeno lontanamente di porre in dubbio la validità, rigore logico e persino genialità che a quella dimostrazione vengono unanimemente riconosciuti dagli esperti.
Nel mondo della matematica non ci sono quei vincoli temporali che si applicano al mondo materiale. Anche una sequenza infinita di operazioni può avvenire in un baleno!
Che bello questo canale! Aggiungo: se a=0.99999999......, allora 10a=9.99999999......... Sottraendo membro a membro 10a-a=9, da cui a=1. Ma a era 0.99999, quindi 0.99999=1. Non è un po piu semplice?
Lo avranno già detto, ma un altra dimostrazione parziale, può essere semplicemente trasformare 0.9 periodico in frazione, seguendo le semplici regole della trasformazione risulta 9/9 = 1 ! Inoltre, avendo studiato un po' di analisi numerica (basta analisi 1) mi pare di ricordare che questi casi, vengono approfonditi e chiariti del tutto poi con le frontiere dei numeri....(infatti citi le serie che fanno parte di analisi)... Bellissimo video comunque
Ma 0,99999 periodico é + grande (NON + piccolo come dici) del numero proposto dalla signora che é 0,99999.....5 perché ultima cifra 5 è minore di 9 mentre la condizione che ponevi diceva che doveva essere maggiore😮
@@autoricerca Sì ma qualunque risposta tu dia a sto dubbio stà il fatto che ciò che *ipotizzerai* essere *ultima* in X sarà ultima *anche* in Z.... Matematici rispondono: ma *ultima* non c'è (es le Stanze dell'Albergo OO di Hilbert). Invece la soluzione è questa: i Numeri in verità sono FINITI (non infiniti come si credon i matematici da Leibniz a Cantor)... perchè OO non é un Numero quantitativo... OO ce ne è uno solo (Cantor ha fatto cilecca) ed è QUALITATIVO cioè NON QUANTITATIVO. Ai Matematici però questo non é dato di vederlo: son ancor lì col Paradosso di Russell che "sembra" dire che é Indecidibile se OO è o non è un Numero. Ciao e cmq grazie x avermi dato uno spunto x meditare.
La matematica è un dominio di realtà astratto, dove è possibile parlare di entità infinite, se lo si fa con l'attenzione necessaria. Possiamo ad esempio sicuramente immaginare un insieme che contiene un'infinità di entità astratta, e paragonare le cardinalità di diversi insiemi infiniti... Un'affermazione del tipo "I numero sono finiti" non ha molto senso. Se avesse senso, prendendo il caso semplice dei numeri naturali, dovresti poter dire quanti sono, cosa che non puoi fare... Un saluto.@@pierpier7806
grande professore, spieghi benissimo. Sarebbe molto bello altri video su concetti matematici "inusuali" come i numeri transfiniti, quarta dimensione ecc. grazie
La differenza è esattamente 0, non c'è quindi bisogno di rappresentarla come limite di una funzione. Quello che invece possiamo rappresentare come limite di qualcosa è 0,9999... , come spiego al minuto 16:25.
0,999...p non esiste: se 1/3 = 3,333...p, significa che 3,333...p x 3 = 1 e non 0,999...p senò vorrebbe dire che la proprietá transitiva della moltiplicazione non è verificata.
0.9999... = 1 - 0.000...1 9.999... e 0.000...1 sono infinitesimi dello stesso ordine in quanto il primo cresce alla stessa velocità con la quale il secondo cala. Per esempio il rapporto (x^2)/x per x che tende ad infinito è infinito mentre il rapporto x/x per x che tende ad infinito é sempre 1 Concludendo nell'equazione sopra 0.9999.../0.9999...=1
Al minuto 10,50 credo ci sia un errore nel ragionamento, perché l'ultimo numero decimale dopo il 9 non sarà ancora 9 come proposto, infatti secondo il ragionamento l'orfanello dovrebbe essere zero perché si troverebbe dopo l'ultimo 9 del periodo (devono correre sempre di pari passo entrambi i numeri). In sostanza il decimale 1 che si troverebbe dopo gli infiniti zeri sarà quindi in colonna sotto ad uno zero e non ad un 9; Ignorando comunque ciò è come se lavorassimo con o piccoli ma a livello aritmetico, quindi con numeri discretizzati, mente dovremmo lavorare con numeri decimali infiniti. In ogni caso l'assurdo credo sia pensare che dopo un'infinità di 9 oppure di zeri c'è qualcosa di diverso in fondo, entrando in contraddizione con la definizione di periodicità stessa, basta questa definizione come dimostrazione senza mettere in campo le serie o altri strumenti matematici, in altre parole la ragazza non può usare l'aritmetica per dimostrare che 0.9 periodico sia uguale o diverso ad 1 perché non si può sommare un infinitesimo con la semplice aritmetica; non esiste una frazione che generi l'infinitesimo dovresti dividere l'unità per infinito che porterebbe ad un altro assurdo. Spero sia utile il mio commento per chi non ha ancora compreso questo concetto.
I "puntini puntini" indicano qualcosa che "non finisce", che va, per l'appunto, all'infinito, quindi sì, non ci può essere nulla, in termini numerici, dopo quell'infinità di cifre.
Appunto, è una banalità. Non mi spiego come sia possibile spendere 19 minuti per un argomento del genere, a scuola insegnavano che è importante anche il dono della sintesi! Poi io sono il primo ad apprezzare i video lunghi se approfondiscono argomenti complessi ma la durata deve essere appunto giustificata, non un allungamento inutile del brodo.
Bel video !! Complimenti ad entrambi. Ci sarebbe anche un altro motivo per cui 0,(9)=1 per definizione proprio e deriva dal fatto che R=I unione Q. I (irrazionali) è insieme di accumulazione di Q (razionali), e viceversa Q è insieme di accumulazione per I. Quindi presi due elementi di Q (sarebbero nel caso 0,(9) che è un periodico e 1 che è un intero, quindi incluso in Q) devono esistere infiniti elementi di I, ma come ha ben dimostrato questo non è vero. Quindi proprio per salvare "l'indispensabile" questione che R=I unione Q (fondamentale nella definizione stessa di R) si pone proprio per definizione 0,(9)=1 e tutti periodici di periodo 9 pari al razionale q immediatamente superiore. E questo la dice lunga sul fatto che R e gli infinitesimi (e gli infiniti) sono estremamente contro-intuitivi... e ricchi di contraddizioni, ad esempio Sara potrebbe obiettare, "perché Sn-Sn(0,1)=1-(0,1)^(n+1) e non ignoro "(0,1)^(n+1)" e poi dico alla fine che (0,1)^(n+1) va a Zero e lo ignoro, se lo ignoravo prima perché poi non lo ignoro"... Ovviamente la risposta è nel concetto di proiezione al limite che viene applicato in quel momento e non prima, ma è un cane che si morde un po' la coda...
@@ilmionomenonloso il punto é che la dimostrazione di quell'uguaglianza poggia sul concetto di serie numerica che a sua volta si poggia su quello di limite che a sua volta (scendendo giù nello stack delle dipendenze) finisce nell'assioma di completezza dei reali che ci riconduce alla definizione di R come unione di I e Q
Buongiorno. A questo punto anche un qualsiasi naturale può scriversi seguendo quella notazione (per es. 3 =2, 9 periodico) Anzi ricercando sul web ho appreso che qualsiasi razionale non zero a decimali finiti si può scrivere a periodo 9. Comunque avendo saputo che 1=0, 9 periodico ho avuto un trauma, non me lo aspettavo. Grazie della conoscenza
E di più, questo concetto vale in qualsiasi base. In base 8, ad esempio, 0.7 periodico è uguale ad 1, ed ogni numero a decimali finiti può essere scritto aggiungendo il periodo 7. Quindi è una proprietà estrinseca dal sistema di rappresentazione decimale
Un video in rete di mCoding sostiene che tutte le prove algebriche siano fallaci. Io concordo. Unica cosa certa è che il limite delle somme 9/10 + 9/100 etc va a 1
Nell'algoritmo della somma, dopo aver incolonnati i numeri, si procede dalla colonna all'estrema destra, colonna quest'ultima, che sommando 1 a 0,1 a 0,01 e così via, si sposta sempre più a destra rendendo impossibile la tua somma. I numeri 9periodici sono pertanto un'invenzione, anzi il continuo numerico è un'invenzione per giunta inutile. Cercate la mia matematica senza zero e/o la mia Teoria del Discreto.
no,i numeri che metti dopo i puntini sono infinitesimi (sono degli epsilon)e non puoi sommarli con numeri di ordine superiore appunto perchè tra un numero e l'altro ci sono infiniti numeri,(altrimenti è come fare 3km + 12m = 15km!!) x+k= 0.999...1 < 0.999...6 = z+k . (lo so che la scrittura non è convenzionale, ma in realtà funziona) poi nella serie siamo nell'algebra dei limiti, dove il termine 0.1^(n+1) non è zero, ma tende a zero per n->infinito quindi l'ultimo passaggio sarebbe 0.9 x (1-epsilon)/0.9 quindi sarebbe 0.999... = 0.9 x(1-epsilon)/0.9 = 1-epsilon = 1 ^ ( - ) = 0.999... quindi diverso da 1^(0) credo che la differenza sia come quando si guarda un intervallo infinitesimale (ad Es.) dalla parte dello 0+ o dalla parte dello 0- spero di non aver offeso nessuno, non era mia intenzione ^_^
Nella costruzione classica dei numeri reali (da cui risulta l'espansione decimale) gli infinitesimi non esistono. Esso vennero introdotti da Leibniz nella sua fondazione dell'Analisi (appunto: calcolo infnitesimale) ma nella trattazione corrente sono stati abbandonati.
@@autoricerca Secondo me l'introduzione di tutti questi nuovi concetti serve solo a rendere la matematica una forma d'arte foraggiata dalla caparbietà con cui l'essere umano non vuole ammettere di essere finito. "Iperrealtà", "metaverso" e altri concetti simili possono valere solo se ci consentono una più approfondita indagine sulla realtà, ma la consistenza di quest'ultima non può affatto essere messa in discussione. Penso che dalla fine del positivismo la riflessione intellettuale abbia giustamente spezzato certe catene opprimenti ma sia poi decollata compiaciuta verso voli pindarici che hanno prodotto fantastiche bizzarrie ed astrattismi al limite del proponibile.
@@mci9324 beh direi che i due teoremi di Goedel ti danno ragione o torto a seconda di come si interpreti la tia frase. se per “sulla sua consistenza non si discute” intendevi “è inutile discuterne tanto sappiamo che è una proposizione indecidibile” allora si. se la dai per scontata allora no
@@uncopino Con quella frase ho inteso dire che la realtà esiste nello stesso senso in cui esiste una risposta alla domanda "quante volte puoi togliere 5 dal 20?" dopo aver chiaramente stabilito il significato di "togliere". 😉
Secondo me sbagliate tutti e due. 0.999... = 1 non è una equazione: è una assegnazione, per cui andrebbe scritta 0.999... := 1 (0.999... è un significante mentre 1 è un significato. per essere ancora più precisi entrambi sono due significanti di cui, ad '1' viene associato il numero 'uno'. A '0.999...' lo stesso numero, ossia uno. quindi non va dimostrata! È così per definizione! quello che trae tutti in inganno è l'operazione 0.333... x 3 = 0.999... dove 'operazioni grafiche' vengono interpretate come se fossero processi matematici. 0.333... x 3 = 0.999... è priva di significato matematico è solo una 'processo' grafico che non funzionerebbe più se per esempio su usasse una notazione binaria anzichè decimale. Nello scrivere 0.999... si eseguono due azioni implicitamente: 1) si introduce il simbolo grafico '0.999...' 2) gli si attribuisce un valore numerico Per capirci si dovrebbe dire che «se eseguo graficamente la moltiplicazione di 0.333... x 3 mi 'appare' il simbolo 0.999... del quale però non conosco il valore. Siccome però so che 0.333... rappresenta 1/3 e siccome 1/3 x 3 = 1 ecco che al simbolo grafico '0.999...' posso associare il valore 1.» Quindi il valore '1' non può e non deve derivare dalla interpretazione grafica del simbolo 0.999... (cosa che state cercando di fare e che non ha senso matematico) ma dalla assegnazione del valore ricavato da 1/3 x 3 ossia 1» questo secondo me è il ragionamento FORMALE corretto. Ed ancora: così pure la rappresentazione 0.9 + 0.09 + 0.009 + .... = 0.999... Non ha nessun signicato matematico è solo una rappresentazione grafica di un processo che in questo caso andrebbe a rigore rappresentato (ed indagato) come una serie (considerazioni analoghe valgono se si sceglie di utilizzare un limite)
Grazie del tuo commento. Sono essenzialmente d'accordo con quello che scrivi: quando si scrive un numero, ad esempio tra 0 e 1, usando una scrittura decimale, bisogna adottare una convenzione, ad esempio, decidere se scrivere 1,000... oppure 0,999... Menziono questa cosa brevemente qui: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-A85KtNjHMZY.htmlsi=HdZLmWoJSAHI7L2O&t=1227
A me l'avevano spiegata come al minuto 14:00, il mio coinquilino era matematico e mentre camminavamo gli espressi questo dubbio, e lui mi chiese: quanto fa 1/3? - al che ho risposto 0,333(periodico); quindi lui mi ha chiesto di rimoltiplicare 0,333(periodico) per 3, ed ho risposto che il risultato era 0,999(periodico) ... quindi avevo diviso e moltiplicato per 3 ottenendo numeri diversi!?! P.S. se vogliamo andare di logica però, non si dovrebbe dire "cosa fa x+y?" bensì "quanto fa x+y?". Parliamo di quantità, non di cose fatte :) - in un altro contesto non lo avrei sottolineato ma parla di matematica = logica. Ho anche sentito sbagliare persone (in Lombardia, non so voi di dove siete) dicendo "cosa costa un caffè?" invece di "quanto costa un caffè?" Alla prima domanda direi: costa soldi :) alla seconda il prezzo. Comunque grazie per avermi risvegliato ricordi assopiti di matematica :)
Grazie per l'interessante commento. Quello che scrivi è indubbiamente corretto, ma limitatamente a quando consideriamo i numeri come quantificatori. Ma i numeri possono essere intesi anche come enti astratti, a prescindere dal loro utilizzo come quantificatori. Quel "cosa fa x+y?" sarebbe allora da intendere nel senso di "a quale numero corrisponde x+y?".
@@autoricerca grazie per la risposta. Anche se non vogliamo intendere i risultati come quantità (anche se come misure di qualcosa, lo sono, e sono sempre maggiori o minori di altri numeri ecc., come una quantità appunto), credo che sappiamo "cosa" siano quindi chiedere "che cosa" fa mi appare ancora errato. Credo siano influenze dialettali comunque, buona giornata e grazie per la ancora per la condivisione del sapere in modo così divertente.
In effetti ci si può dibattere. Interessantemente il numero come qualcosa che serve per contare, per misurare, era proprio dei greci. Non a caso il teorema di Pitagora enunciato come "l'area dei quadrati costruiti su etc. Etc." é la formulazione antica. Per loro x^2 +y^2=z^2 non aveva senso, in quanto fare il quadrato di una lunghezza, non aveva senso. Potevi dire "misuro l'area di quel quadrato costruito sull'ipotenusa". Spesso infatti non si comprende perché la scoperta di radice di 2 fu così strana per Pitagora, perché rimase distrutto dal suo stesso teorema. Perché per loro i numeri erano sostanzialmente rapporti fra grandezze (cioè misure, perché dire che una cosa ha area 3, vuole dire che ha area 3 volta qualcosa di riferimento), e per loro era inccocepibile che da costruzioni geometriche uscissa fuori qualcosa che non era un rapporto, che quindi "non era un numero" per loro. Questo nei greci, grazie a dio adesso le cose sono cambiate. Cioè vero che un nuwmro può essere associato ad una quantità, cioè quanto fa x+y. Ma ha anche tutto il diritto ad essere un oggetto matematico a sé stante, come la miriade di oggetti che la matematica si inventa. Quindi anche "cosa fa x+y" ha senso.
@@mirkotorresani9615 ci penserò su. Ma per il piacere di discutere... la radice di due, una volta approssimata, è comunque un numero. Chiedendo "che cosa fa radice di due" ? Risposta: fa un numero. Però se vogliamo sapere "quale numero" diciamo "quanto fa?". E la quantità che possiamo solo approssimare è la quantità 1,4142... per esempio potremmo misurarci del sale (ma solo approssimativamente, come del resto per TUTTE le misure: nessuno può pesare 1,000... grammi di sale, cioè assicurarci che dopo 3 milioni di cifre ci sia ancora zero). Anche la radice di -1 è una quantità rappresentabile e non "immaginaria", se si immaginano i numeri in modo bidimensionale e non lineare, e la prova è il fatto che poi i numeri immaginari servono per vari campi della fisica, per descrivere fenomeni reali, anche se non possiamo propriamente pesarci il sale :)
La signora è simpatica, ma come può dedurre che *"z"* essendo più grande di *"x"* (secondo la sua deduzione) quindi che *0,9999......5* sia più GRANDE di *0,9999.....9* ? Ovviamente NO, poiché li troviamo un ultimo *Nr. 5* che è inferiore all'ultimo ipotetico *9* ! Quindi bastava dire questo che ciò che afferma la signora non ha ragion di esistere! Oltretutto la *"periodicità"* di una sequenza ripetuta ad es. come 373737......37 o di un singolo numero come in questo caso il 9, non potrà mai essere seguito da un numero differente dalla stessa sequenza, ossia ad es. 3737374 o ad es. dal 5 o 6 scritto da lei nella sequenza di 9. Ad esempio 1/3 = 0,3333.......3 e questa sequenza non potrà mai essere interrotta da qualsiasi altro numero diverso dal 3 come per dire 0,3333333337, ok?
Grazie del commento. Sono d'accordo, Sara è molto simpatica! Il video propone un percorso dove "giochiamo" con nozioni che non hanno un senso matematico proprio, come per l'appunto l'idea che si possa aggiungere un numero finale dopo un'infinità di decimali. Ed è proprio per questo che si arriva facilmente a delle contraddizioni in termini. Ovviamente, esistono vari modi per presentare (in modo divertente) la materia, per giungere all'unica conclusione possibile: 0,9999... e 1 sono due rappresentazioni (due scritture) dello stesso numero reale.
Niente da fare, mi perdoni. Per quanto la spiegazione possa ( fino ad un certo punto) essere convincente, non riesce a farmi propendere per la veridicità che 0,999...possa fare 1. Ora potrei essere ostentatamente miscredente verso tutti coloro, lei compreso, che affermano , dimostrandolo piu`o meno in modo semplice che è proprio cosi`. Mi pongo quindi le suddette questioni. A) se 0,999... è uguale 1 a che pro scriverlo? B) Se 0,999..è uguale 1 è anche vero che 1 è uguale a 0,999...C) Dalla B si può dedurre che 0,999...+4 è uguale a 5 e cosi via. D) Se la moltiplicazione e`un modo veloce di rappresentare la somma di numeri ( 0,1 x 10= 1 = 0,1+0,1+01 etc) perche`mai 0,333..+0,333...+0,333...fa solamente 0,9999 visto che 3x0,333...fa 1? E) Possiamo affermare che la dimostrazione di 0,999...=1 è tanto vera quanto falsa , indimostrabile e dimostrabile alla stregua di una proposizione indicibile esattamente come quel famoso paradosso del mentitore cui un certo Tarsky diede probabilmente la soluzione piu`logica tra le tante ma che ( a quanto letto) fa storgere il naso anche al professor Odifreddi e non solo a lui ? Grazie per una sua valutazione/ commento
Scrivi: "perché mai 0,333..+0,333...+0,333...fa solamente 0,9999 visto che 3x0,333...fa 1?" Risposta: perché 0,999... è esattamente 1. E no, la proposizione 0,999...=1 non è indecidibile.
Se ci si msntiene su un piano puramente teorico matematico 0, 9999...periodico è ugiale a 1, per convenzione, ma su un piano fisico reale 0,9periodico non sara mai uguale a 1, per via del limite di Plank, ad un certo punto i decimali della frażione devono fermarsi su una misura quantica discreta minima di spazio indivisibile.
tutto bello ed interessante, partiamo dal fatto che x=0,999....999 e k=0,000...0001 che come si sente nel video è un numero ipoteticamente esterno all'infinito, pertanto x+k non da 1 ma semplicemente 0.999.......9991 poichè per semplificare le cose è come se si dovesse addizionare 0.999+0.0001, pertanto ritornando alla disequazione tra x e z, la stessa continua ad essere confermata perchè x=0,999...999 è inferiore a z=0.999....9996. Cmq un bel video di "teoria" matematica
Ti ringrazio dell'apprezzamento. I calcoli iniziali nel video non hanno pretesa di essere rigorosi, ma unicamente indicativi del fatto che si generano problemi quando appiccichiamo delle cifre dopo un'infinità di cifre, nel senso che si arriva facilmente a delle contraddizioni. Questo non significa che non sia possibile costruire un nuovo modo di calcolare con numeri "strani" di questo tipo, mantenendo la coerenza delle operazioni aritmetiche, ma questa è un'altra storia. Nella rappresentazione dei numeri reali (di tutti i numeri reali), come espansione decimale, non sono inclusi i numeri del tipo di quelli che scrive Sara alla lavagna.
Domanda da uno che di matematica non se ne intende proprio: Per dimostrare che 0,999...=1 non basta usare la frazione generatrice? 0,9 periodico= 9 (intero numero senza virgola) -0 (cifre non periodiche) tutto fratto 9 (tanti nove quante sono le cifre del periodo) Si ha quindi che 0,99=9-0/9=9/9=1
Beh, te ne intendi a sufficienza da sapere che cos'è una frazione generatrice 😉 Quello che scrivi è corretto, ma dubito che convincerebbe chi non sa cosa sia una frazione generatrice e, soprattutto, come la si giustifica.
🤯 no way... a questo punto perdo tutte le mie certezze...la terra è davvero un globo? L'Australia esiste davvero? E sopratutto quel dannato centesimo di rame è stato messo in commercio per farci capire questo complotto? 0,99€ o 1 € quale costa meno? 🤯🤯🤯
Ma nella dimostrazione 3x1/3 se dovessimo rappresentare 1/3 come percentuale avremmo il 33,3.....% che moltiplicato per 3 non da il 100%. La semplificazione delle dimostrazioni serve ad ingannare la percezione che un numero con infiniti decimali sia un numero finito, ma così non è.
11:40. We have that x = 0,999...; y = 1,000...; z = 0,999...5; k = 0,000...1. Then x + k = 0,999...1, not 1, since the 1 in k meets no 9 from x to yield 10. Now, 0,999...1 is strictly less than z + k = 0,999...5 + 0,000...1 = 0,999...6. Where's the problem? Of course, 1 = 0,999...in the reals but what if we take those numbers with transfinite decimal positions to be non-real and we admit to be operating in such non-real numbers? In the non-reals, 1 =/= 0,999... and there seems to be no contradiction.
One can of course always try to expand the real adding new numbers, taking care then that all remain consistent. So, you are willing to accept a notation where the number 0,999... is different than 0,999...9, which is a little weird, don't you think so?
È stato molto interessante. Io sapevo solo quella della divisione 1/3 per poi rimoltiplicare per 3. Quella della serie geometrica è stata una dimostrazione molto interessante anche se non ho capito perché hai definito 0.9 periodico come 0.9xserie geometrica
non capirò mai la matematica, e mi dispiace. in anni ho visto molte dimostrazioni di questa eguaglianza ‘dubbia’, tutte logiche e perfette. tuttavia la mia mente si rifiuta di accettarla (l’eguaglianza). non riesco a concepire che 0,9 con infiniti 9 sia uguale a 1. per me sono differenti, anche se la differenza è infinitesima.
@@thekingofgindio Si tratta di dimostrazioni ‘rigorose’, come appunto ha sottolineato, trovo non siano da capire, ma semplicemente da accettare. Ed io le accetto, ovviamente. Il ‘per me’ deve essere contestualizzato in quanto ho scritto nel messaggio precedente. Non intendevo che la penso così e basta, in barba a qualunque dimostrazione. Intendevo esprimere il disagio della mia mente ad accettare i risultati di queste dimostrazioni matematiche, per ciò che istintivamente considererei un’approssimazione più che valida in ambito ingegneristico, ma assolutamente inaccettabile in matematica. Spero di aver chiarito quanto intendevo.
@@ferdinandoantinoro perfetto, nel primo commento era trasparita più una sfiducia nei confronti del sistema matematico piuttosto che una semplice "incapacità" (termine un po' infelice, non è per nulla corretto, ma è l'unico che mi sovviene) di intendere la dimostrazione. Però per quanto riguarda i puri iter dimostrativi cosa non le è chiaro? Specie i primi due sono piuttosto semplici. Immagino piuttosto che non le arriva quella "sensazione" intima di convincimento invece di una mera inabilità nel comprendere i passaggi dimostrativi. Per farle capire in maniera "un po' alla buona" può pensare questo: l'insieme dei numeri reali è un insieme cosiddetto "denso", non "discreto" (ovvero in cui tra un elemento e il successivo vi è un certo gap minimo, come i numeri interi): si potrebbe alla lontana figurare come la differenza tra il deserto, in cui ogni elemento è il granello di sabbia, ben distinto dagli altri, e il mare, che è un continuo di materia, così come l'insieme dei reali è un "continuo" di numeri. Ogni granello di sabbia è un elemento del deserto, ogni punto nel mare è un elemento di esso. Lei riuscirebbe a individuare due punti nel mare così vicini da non avere altri punti di mare tra di loro ma al contempo essere distinti? A differenza del deserto, qui gli elementi immediatamente successivi non sono distinguibili da quelli immediatamente precedenti, anzi, essendo i punti infinitesimi, data una qualsiasi distanza tra due punti ve ne sono infiniti in mezzo, mentre tra due granelli adiacenti non ve ne è nessuno, pur essendo distinti. Lo stesso si applica ai numeri reali: se non si riescono ad identificare, tra due valori, dei valori intermedi, allora significa che quei due valori coincidono, visto che se fossero differenti ve ne sarebbero un infinità. E l'insieme dei reali è denso perché ad ogni cifra decimale che aggiungi scendi ad un livello di distinzione sempre più piccolo e sfumato, e di cifre decimali ne puoi aggiungere all'infinito.
Quel numero 1 come lo giustifichi? Sara fa tutte le divisioni finite, che danno la successione 0,95, 0,995, 0,9995, 0,99995, ecc. Non appare quel numero 1 che indichi tu.
Similmente alla ultima spiegazione si poteva passare da come si scrive un numero periodico, che è SEMPRE un numero razionale, e si può scrivere dalla nota regola: numero senza la virgola (9) , togliere quello che precede il periodo (0) e dividerlo per tanti '9' per quante sono le cifre del periodo. Si ottiene 9/9 e quindi 1. Non riporto qui la dimostrazione della regola, ma Internet è pieno ;-)
Video davvero ben fatto, ricordo il prof di analisi 1 che ci presentò la stessa dimostrazione alla nostra richiesta di un' "applicazione" della serie geometrica, carino anche il modo di presentarlo
Per convincere chi non è abituato forse si può abbandonare per un attimo la matematica, fare un discorso ingegneristico: numero come misura, e ritornare subito alla matematica.
complimenti...... allora vediamo io ho cinque mele ne tolgo due quante mele mi rimangono ? ... ovviamente ho sempre cinque mele perché le ho solo tolte non me le sono magnate
L'unico appunto è che 1,0000000..... non ha ragion di essere scritto, se tutto quello che si ha dopo la VIRGOLA son degli zeri o se dopo l'ultima cifra differente dallo ZERO dopo la virgola poi è seguita da soli zeri. 😊
