Nouvelle question de calcul inédite dans laquelle on doit trouver la valeur du produit abc en partant de 3 égalités. Un petit bonus au milieu de la vidéo 😉
Je tiens à vous remercier pour la qualité de vos cours : je les trouve très pédagogiques et doués d'intelligence. Grâce à vous je redécouvre les maths avec beaucoup de plaisir et d'évidence. Plein succès à vous !
@hedacademy, Peut-on aller plus loin ? Peut-on trouver le nombre de triplets (a ; b ; c) solutions du système initial ? Peut-on trouver les valeurs exactes du système ? Cela permettrait de connaître les valeurs du produit abc dans le cas d'un triplet solution. Les points de coordonnées (a ; b ; c) vérifiant a+1/b=2 sont situés sur une surface de R^3. Donc les points dont les coordonnées sont solutions du système se trouvent à l'intersection de 3 surfaces. Je ne connais pas théorème permettant de conclure que 3 surfaces de R^3 ont au moins un point commun. Problème intéressant.
Fais le calcul! Pour moi si tu cherches la valeur de a par substitution tu tombes sur une autre équation du second degré avec déterminant positif. Donc tu as deux valeurs possibles pour a, disons a1 et a2. Partant de cela tu aurais donc aussi 2 valeurs possibles pour b et c, suivant que tu prennes a1 ou a2 pour résoudre le système. Donc tu aurais 2 triplets (a1 ; b1 ; c1) ou (a2 ; b2 ; c2). Ça te semble correct?
Voici les réponses a = (21+-sqrt(221))/22 b = (23+-sqrt(221))/14 c = (19+-sqrt(221))/10 Donc abc = (15+-sqrt(221))/2 NB: prendre uniquement toutes les valeurs + ou uniquement toutes les valeurs moins mais ne pas mélanger
Joli le piège de comment regrouper les termes, je me suis fait avoir à cette étape ! Mon réflexe a été de mettre a+b+c ensemble, de même que 1/a + 1/b + 1/c.
C'est toujours assez marrant les exos des Olympiades. Il y a également quelque chose d'assez intéressant que l'on peut remarquer (bien que ça ne soit pas évident au premier coup d'oeil), c'est que les deux solutions trouvées sont l'inverse l'une de l'autre : x1 = 1/x2. C'est logique, car dans l'équation "x+1/x=15", si on remplace formellement x par 1/x alors on retombe sur la même équation. Donc si x est solution, 1/x l'est également. Comme quoi, chercher abc revenait également à chercher 1/abc 🙂
mais Lapalisse dira que si on cherche 1/abc, on aura abc, et symétriquement. Qui cherche abc trouve 1/abc [la difficulté étant de trouver l'un ou l'autre]. 🙂
Ah ouais, mince, en me relisant j'ai réalisé aussi 😅 Ce que je voulais dire c'est que les deux valeurs possibles de abc sont aussi les deux valeurs possibles de 1/abc. Et ça ce n'était pas évident a priori.
ça m'a plu à un petit détail près : a, b et c sont les trois nombres inconnus de l'énoncé (ceux que l'on ne veut pas connaître). Alors, on ne peut pas utiliser les lettres a, b et c dans la résolution. Même si traditionnellement on écrit que ∆ = b² - 4ac, ici, il aurait mieux valu utiliser des majuscules et écrire ∆ = B² - 4AC. Merci et bravo quand même
Effectivement, résoudre en essayant de déterminer les inconnus a,b et c séparrément est un désastre. Je me suis frotté à un océan de calcul sur ma copie pour au final trouvé des solutions diffrérentes alors qu'il n'y a que 2 solutions pour abc. Merci pour cette vidéo, c'est un plaisir de se lancer dans des calculs comme ça.
Intéressant frère j'ai bien aimé Au début en voyant oui le réflexe du produit m'est venu mais c'est après car je me suis dit (mais comment simplifier et réduire de façon à rester uniquement avec abc) bref c'était enrichissant comme chacune de vos vidéos
Voici les réponses a = (21+-sqrt(221))/22 b = (23+-sqrt(221))/14 c = (19+-sqrt(221))/10 Donc abc = (15+-sqrt(221))/2 NB: prendre uniquement toutes les valeurs + ou uniquement toutes les valeurs moins mais ne pas mélanger
Oh lala c'est tellement juteux que j'ai envie de m'envoyer direct alors ok on veut trouver le produit abc = ? Or abc on le retrouve aux dénominateurs si on ajoute 1/a + 1/b + 1/c => (bc + ac + ab)/(abc) ou si on multiplie 1/a x 1/b x 1/c => 1/(abc) ... Bon, je laisse ça de côté je vais maintenant regarder un peu les égalités avec du recul et je m'aperçois Ô miracle que l'égalité 2) est égale à la moitié de la somme des égalités 1) et 3), je vois aussi que l'égalité 2) est égale à l'égalité 1) + 1 et qu'elle est égale à l'égalité 3) - 1 ... 🤔 ouais je préférais mon premier réflexe lorsque je multiplie entre eux 1/a x 1/b x 1/c parce que au dénominateur j'aurai du abc et au numérateur du 1 OR 1 c'est quoi ici ? Ben 1 c'est l'égalité 3) moins l'égalité 2) et c'est aussi l'égalité 2) moins l'égalité 1) ouais mais ça ça ne me plait guère ... alors c'est quoi 1 ??? Il me faut du 1 ici, où puis-je en trouver autre part ? Alors dans chaque égalité en fait ! si je met chacune au même dénominateur que la seule fraction qu'elle contient je pourrai supprimer les dénominateur et surtout avoir du 1 qui se balade seul dans chacune : avec la 1) on a 2b - a = 1; avec la 2) on a 3c - bc = 1 et avec la 3) on a 4a - ac = 1... Oh lala je dois passer à côté de quelque chose... Aller je me reprend, basiquement : je veux trouver abc ! OK ben je vais multiplier les 3 égalités entre elles, ça me donne (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/a) = 2x3x4 = 24 ... Je vois que si je développe j'aurai du abc ... C'est parti !!! => OH !!! J'obtiens abc + a + 1/b + b + 1/c + c + 1/a + 1/(abc) = 24 on a : a + 1/b = 2; b + 1/c = 3 et c + 1/a = 4, je remplace par les valeurs connues et j'obtiens abc + 9 + 1/(abc) = 24 ... Aller je multiplie tout par abc, cela nous donne (abc)2 - 15abc + 1 = 0 Soit abc = X, on doit résoudre X2 - 15X + 1 = 0 : delta = (-15)2 - 4x1x1 = 225 - 4 = 221 donc le produit abc a 2 solutions : (15 -√221)/2 et (15 + √221)/2 bouuuuuuuhhhhhh que c'est moche !!! Aller je regarde
on n'est pas encore assez fort. Mais avec à chaque fois un problème & une stratégie différente, c'est une course folle... L'assistant de maths à l'école de Chimie disait que les problèmes à résoudre pendant ses études (de maths) étaient des exceptions aux cours, il fallait trouver la méthode soi-même, pas appliquer une technique étudiée juste avant.
En regardant l'énoncé ... Je me suis dis , ca craind ! Les 3 valeurs sont interchangeables. Rien ne caractérise chaque élément. Ils sont caractérisés par paire, jamais tu ne trouveras de valeur individuelle vu que tu peux remplacer a par b par exemple. J'aurais fait l'addition (pour avoir abc en bas, j'ai pas essayé). Je sais pas si ca donnait qq chose (peut être c'est pareil). Le résultat est intéressant. Joli coup.
Voici les réponses a = (21+-sqrt(221))/22 b = (23+-sqrt(221))/14 c = (19+-sqrt(221))/10 Donc abc = (15+-sqrt(221))/2 NB: prendre uniquement toutes les valeurs + ou uniquement toutes les valeurs moins mais ne pas mélanger
pour ne pas laisser refroidir le cerveau ? Le monsieur demande abc, peu importent a, b, c, ils ont leur vie de variables inconnues [et qu'on n'a pas envie de connaitre 🙂]
Ca montre que vous n'êtes pas curieux, mais moi je le suis et j'ai envie de connaitre a, b, et c Vous leur laissez vivre leur vie de variables inconnues. C'est votre droit, mais laissez moi vivre la mienne.
Delta sert à calculer le nombre de solutions d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0, et ses éventuelles solutions: Le discriminant Δ se calcule ainsi: Δ = b² - 4ac Et: - si Δ < 0, pas de solution réelle - si Δ = 0, une racine double (une seule solution): x = - b/2a - si Δ > 0, deux racines (ou solutions): . x' = [ - b - sqr(Δ)] / 2a . x" = [ - b + sqr( Δ)] / 2a Seul changement entre les deux solutions x' et x": le signe placé avant racine de delta : - sqr( Δ), + sqr( Δ). *Exemple:* On cherche à savoir si il y a un (ou des) réels X vérifiant l'équation: *2X² - 3X + 1 = 0* (Note: dans la suite, X (grand X) est la variable X, mais x (petit x) est le symbole de la multiplication) *- Détermination de a, b, et c:* a = 2 b = - 3 c = 1 *- Calcul du discriminant:* *Δ = b² - 4ac* Δ = (- 3)² - 4x (2x1) = 9 - 8, soit: Δ = 1 *- Nombre de solutions:* Δ > 0, donc on a deux racines: *- Solutions de l'équation:* . *X'* première solution: *X' = [ - b - sqr(Δ)] / 2a* X' = [ - ( - 3) - sqr(1) ] / (2 x 2) X' = (3 - 1) / 4 = 2/4 ) = 1/2 X' = 1/2 . *X"* deuxième solution: *X" = [ - b + sqr( Δ)] / 2a* X" = [ - (-3) + sqr(1)/ (2 x 2) X" = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1 X" = 1 *- Vérification:* Remplaçons, dans l'équation de départ, X par les solutions trouvées : Rappel de notation ici: X (grand X) est la variable X, mais x (petit x) est le symbole de la multiplication . pour *X' = 1/2:* 2X'² - 3X' + 1 = 2x(1/2)² - 3x(1/2) + 1 = 2x(1/4) - 3/2 + 1 = 2/4 - 3/2 + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = - 2/2 + 1 = - 1 + 1 = 0 On a bien X' = 1/2 solution de l'équation: 2X² - 3X + 1 = 0 . pour *X" = 1:* 2X"² - 3X" + 1 = 2x1² - 3x1 + 1 = 2x1 - 3 + 1 = 2 - 3 + 1 = - 1 + 1 = 0 On a bien X" = 1 solution de l'équation: 2X² - 3X + 1 = 0 *- Résumé:* L'équation 2X² - 3X + 1 = 0 admet deux solutions, X = 1/2 et X = 1. Il y a des vidéos Hedacademy sur le sujet, dont une qui démontre ces résultats, si ma mémoire est bonne.
Question Est ce que il existe un triplé qui vérifie le système. On a démontré que si le triple existe alors il doit prendre la valeur calculé mais on ne sait pas s'il existe.
Voici les réponses a = (21+-sqrt(221))/22 b = (23+-sqrt(221))/14 c = (19+-sqrt(221))/10 Donc abc = (15+-sqrt(221))/2 NB: prendre uniquement toutes les valeurs + ou uniquement toutes les valeurs moins mais ne pas mélanger
Joli problème, même si il y a une sacrée confusion entre les a, b, c du départ et les a, b, c utilisés pour résoudre le polynôme ! L'alphabet comporte 26 lettres, autant en profiter !
Merde, j'ai rien compris!!! Bon je vais faire regarder demain!! Le début abc, ça va mais après il reprend a avec le b de la deuxième parenthèse???? Bon, allez à demain, faut que la nuit passe🤣
Si je comprends bien votre souci; il s'agit juste de développer la factorisation de départ: Ex1: A x (B + C) = AB + AC A est fixé, on a fait varier le dernier terme: B -> C Ex2: (A + B) x (C + D) = AC + AD + BC + BD On a fixé A, fait varier le dernier terme (C -> D, ce qui donne AC + AD) Puis on a remplacé A par B, et fait varier le dernier terme (C -> D), ce qui donne BC + BD. Ex3: A x (B + C) x (D + E) = ABxD + ABxE + ACxD + ACxE = ABD + ABE + ACD + ACE On a fixé AB, et fait varier le dernier terme, donnant ABD + ABE. Puis on a fixé AC, et fait varier le dernier terme, donnant ACD + ACE. Ex4 (comme dans la vidéo): (A + B) x (C + D) x (E + F) = ACxE + ACxF + ADxE + ADxF + BCxE + BCxF + BDxE + BDx F = ACE + ACF + ADE + ADF + BCE + BCF + BDE + BDF Pour l'exemple 4: On "fixe" le premier terme de la première parenthèse (le A) , on le multiplie avec le premier terme de la seconde parenthèse (le C), que l'on "fixe" aussi, soit comme base, AC Et on multiplie le tout avec le premier terme de la troisième parenthèse (le E). Ca donne: ACE. Puis on fait varier le terme de la troisième parenthèse, en gardant les deux premiers (AC): ACF Et on additionne les deux: ACE + ACF Entre ACE et ACF, seul le dernier terme a varié (E -> F). Puis on recommence en gardant le A "fixé", mais en fixant cette fois le second terme de la seconde parenthèse (D à la place de C), soit comme base, AD: On obtient ADE, puis ADF LE D a remplacé le C, et seul le dernier terme varie (E-> F, toujours) Le tout additionné depuis le début donne donc: ACE + ACF + ADE + ADF On a fait la moitié du travail, reste à utiliser le B. On va faire la même chose que quand on utilisait le A, mais avec le B à la place du A. On recommence donc en partant cette fois du second terme de la première parenthèse (B): soit comme base, BC BCE, puis BCF Addition jusque là: ACE + ACF + ADE + ADF + BCE + BCF Et on finit en utilisant cette fois le second terme de la seconde parenthèse, soit comme base, BD: BDE, puis BDF Développement) final: ACE + ACF + ADE + ADF + BCE + BCF + BDE + BDF En présentiel, c'est plus facile à montrer: On pose par exemple le majeur de la main gauche au dessus du A, et l'index de la même main au dessus du C. Et l'index de l'autre main, désigne d'abord le E, puis le F. (On note ACE, puis ACF) Ensuite, on laisse le majeur en place au dessus du A, on déplace l'index au dessus du D. Et l'index main droite recommence; se place sur le E, puis sur le F. (On note ADE, puis ADF, donc) Ensuite, on place le majeur main gauche sur le B, l'index main gauche sur le C. Et l'index main droite se place d'abord sur le E, puis sur le F. (On note BCE, puis BCF) Enfin, majeur toujours sur le B, on place l'index main gauche sur le D. Et l'index main droite se place sur le E, puis sur le F ... (On note BDE, puis BDF ...) Toutes les combinaisons possibles sont ainsi faites ...
y'a rien à vérifier, on a la valeur de abc c'est tout. À part peut-être injecter x1 et x2 dans l'équation en x pour vérifier qu'on obtient zéro, mais bon, c'est un polynôme du second degré, pas de surprise
Oui vérifions donc avec les valeurs de a, b et c que nous n'avons absolument pas calculées si cela correspond bien aux 3 équations, oui oui. L'évidence t'échappes encore une fois.
@@Warcraft_Travelerj'attends la solution pour avoir a, b, c, pour l'instant on a le produit abc et vu les valeurs tordues, je veux bien voir le calcul de a, b et c ci après.
Voici les réponses a = (21+-sqrt(221))/22 b = (23+-sqrt(221))/14 c = (19+-sqrt(221))/10 Donc abc = (15+-sqrt(221))/2 NB: prendre uniquement toutes les valeurs + ou uniquement toutes les valeurs moins mais ne pas mélanger
Vous avez juste vérifié que : SI il existe des solutions, alors NÉCESSAIREMENT elles s'écrivent x1, x2 ou x1 et x2, mais comme vous n'avez pas procédé par équivalence, il faut vérifier que x1 , ou x2 répondent à la question, ce que vous n'avez pas fait, résultat : c'est zéro pour l'exo.
Mais pas du tout ! L'exercice demandait de trouver a.b.c Le domaine de définition a bien été évoqué dans la vidéo (a, b et c différents de zéro). Et de plus avec a.b.c étant positif. Et donc on arrive bien aux deux solutions possibles indiquées. Par curiosité, qu'est-ce que vous entendez par "procéder par équivalence" ? Amicalement
@@SingeMalicieux Voici un exemple rapide pour vous convaincre, et ceci n'a rien à voir avec les domaines de définition : Soit à résoudre (1) √(2x+3) = x pour x>0 Je procède par implication (comme dans l'exemple du prof ! Les deux membres étant >0 (1) => 2x+3=x² => x²-2x-3 = 0 => x=-1 ou x=3 Donc NÉCESSAIREMENT, si (1) a des solutions, alors c'est soit x1=-1 soit x2=3 Mais comme nous n'avons pas procédé par équivalence (√(2x+3 = x n'est pas équivalent à 2x+3=x²) il faut vérifier si réciproquement ça fonctionne. or x=-1 ne fonctionne pas, x=3 fonctionne . J'aurais pu prendre un exemple ou ni x1 ni x2 ne fonctionnent. Lorsqu'on ne raisonne pas par équivalence (par exemple x+4=0 x=-4) il est impératif de vérifier l'autre sens. Or dans l'exo du prof, celui-ci ne procède que par implication, il aurait dû montrer que ça fonctionne dans l'autre sens... mais bon courage !
@@bouillouxyves7682 C'est pas mon job, je ne donne pas des cours MOI mais le prof aurait dû le faire, sa note est "zéro pointé". En tout cas c'est un des pires exemples pour ceux qui vont passer des examens. (voir mon exemple en réponse à SingeMalicieux)
