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Alternativer Lösungsweg ohne jegliches Interesse am Kreisradius: Seien A der linke Schnittpunkt der Mittelwaagerechten mit dem Kreis, B der Berührpunkt des Kreises mit dem großen Quadrat am rechten Rand, C der obere Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Kreis, M der Mittelpunkt des großen Quadrats, y die Strecke AM und z die Strecke CM. Aus dem Satz des Thales folgt, dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt C ist. Damit gilt aufgrund des Euklid'schen Höhensatzes die Gleichung y * x/2 = z². Weiter gelten offensichtlich die Beziehungen x/2 = y + 8 ⇔ y = x/2 - 8 und x/2 = z + 6 ⇔ z = x/2 - 6. Einsetzen in die Höhensatz-Gleichung liefert: (x/2 - 8) * x/2 = (x/2 - 6)² ⇔ (x/2)² - 4x = (x/2)² - 6x + 36 | - (x/2)² + 6x ⇔ 2x = 36 | : 2 ⇔ x = 18 ✅
Einfach genial, wie leicht das immer aussieht. Ich bin immerwieder begeistert und lerne auf meine alten Tage Mathe wieder neu zu mögen. Danke und Gruß Andreas
@@JustSchalke04 Der Sehnensatz ist eigentlich ein Standardsatz in der Geometrie. Zwei sich schneidende Sehnen teilen einander so, dass die Produkte der Sehnenabschnitte gleich sind. In diesem Fall haben wir sogar den Höhensatz, mit p = x/2, q = x/2 - 8 und h = x/2 - 6. Der Höhensatz ist ein Spezialfall des Sehnensatzes.
@@JustSchalke04 War bei uns Bestandteil des Mathematikunterrichts der 7. Klasse, Ende des zweiten Halbjahres. Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkel-Peripheriewinkel-Satz , Satz von Thales. Kongruenzen am rechtecken Dreieck war Klasse 6.
Hallo! Ich wollte mich nochmal bedanken bei dir❤du hast mich in meiner schulkarierre so hart in mathe geholfen und habe einfach mathe abi dienstag schon geschrieben und es LIEF SUPER!!! danke nochmal! Du bist die beste❤
ich schließe mich an🙌🏼🙌🏼 genau so eine aufgabenstellung hatte ich bei einer mathe schularbeit in der 6., das war der heftigste fetzen (nicht genügend) den ich jemals geschrieben habe😂
Nachdem ich meinen anfänglichen Schusselfehler 4 : 2 = 1 behoben hatte, hat plötzlich auch das Ergebnis gestimmt. 😂 Eine tolle Aufgabe! Geometrierätsel sind die schönsten, weil die Grundregeln so simpel sind, aber jede Menge Spielraum für unterschiedliche Lösungsansätze bieten, die alle vollkommen legitim sind, solange das Ergebnis stimmt. 😀👍 Bitte mehr davon!
Hallo Susanne, guten Morgen, zunächst Dir und allen anderen hier ein schönes Wochenende. Lass es Dir gut gehen. Hier mein Lösungsvorschlag. Da x eine Strecke repräsentiert muss x > 0 sein. D: R > 0 🙂 (vergleiche hierzu mein Kommentar zu deinem letzten Video) r sei der Radius des Kreises. Aufgrund der Aufgabenstellung sind die eingezeichneten Hilfslinien jeweils die Seitenhalbierenden des Quadrats. y sei die Seitenlänge des kleinen Quadrat (= die Hälfte von x) Aufgrund der Skizze ist. 1) 2y = x 2) 2y = 2(r + 4) |:2 2.1) y = r + 4 Die kurze Strecke vom Schnittpunkt der Hilfslinien zum linken Schnittpunkt des Kreises mit der waagrechten Hilfslinie sei z 3) z = r + 4 - 8 = r - 4 Die Strecke vom Schnittpunkt der Hilfslinien zum Kreismittelpunkt ist dann r - (r - 4) = 4 Die Strecke vom Schnittpunkt der Hilfslinien nach oben zum Schnittpunkt des Kreises mit der senkrechten Hilfslinie sei a 4) a = y - 6 = r + 4 - 6 = r - 2 Jetzt kann man Pythagoras anwenden. 5) r^2 - 4^2 = a^2 Jetzt Werte einsetzen 5.1) r^2 - 16 = (r - 2)^2 | 5.2) r^2 - 16 = r^2 -4r + 4 |-r^2, * (-1) 5.3) 16 = 4r - 4 |:4 5.4) 4 = r - 1 |+1 5.5) 5 = r 5.5) in 2.1) 5.6) y = 5 + 4 = 9 5.6) in 1) 1.1) 2 * 9 = x | 1.2) 18 = x | 1.3) x = 18 Das große Quadrat hat eine Seitenlänge von 18 Längeneinheiten (LE) LG aus dem Schwabenland.
Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck in den Kreis einzeichnet, dessen Eckpunkt gleich den Schnittpunkten des Kreises mit den Randlinien der vier Quadranten ist, kann man über den Höhensatz die Länge eines Quadranten ausrechnen. h^2=p*q, wobei h der Abstand zum oberen, p der Abstand zum linken und q der Abstand zum rechten Schnittpunkt ist, jeweils vom Quadratmittelpunkt gemessen. Außerdem ergibt sich aufgrund der gleichen Länge aller Quadratseiten q=p+8=h+6. In die Höhenformel eingesetzt und nach q aufgelöst ergibt sich (q-6)^2=(q-8)*q q^2-12^+36=q^2-8q 36=4q q=9 Die Seitenlänge des großen Quadrats ist dann 2q=18.
Ich habe es über den Sehnensatz gemacht. Kommt gas gleiche raus 😉 a=x/2-8, b=x/2, c=x/2-6. Es gilt a*b=c² und x=2*(c+6) Das ganze läßt sich prima einsetzen und direkt nach x auflösen.
Wenn man zunächst annimmt, der Kreis berührt alle 4 Quadratseiten und der Kreismittelpunkt fällt mit dem Mittelpunkt des Quadrats zusammen (= Inkreis des Quadrats). Jetzt wird der Kreis langsam kleiner, es entsteht die Strecke mit dem Endbetrag 8. Der Radius verkleinert sich um den halben Betrag (r= d/2). Daraus folgt, die Strecke vom Quadratmittelpunkt zum Kreismittelpunkt muss 4 sein. Damit kann man dann weiter rechnen...
So ähnlich hab ich auch gedacht, bzw. hab ich den Kreis um 4 nach links zum Quadratmittelpunkt geschoben. Nur erhalte ich dabei r=8 so wie du, wenn ichs richtig verstanden hab. Es geht damit auch auf (auch visuell). Nur wo kommt jetzt r=5 her?
Herzlihen Dank für diese Aufgabe 🙂🙏 Mein Lösungsvorschlag ➡ ich möchte die Aufgabe erst nach dem Satz des Thales lösen; jede Seite des Quadrats soll eine Länge von 'a' haben. Die beiden senkrechten Teile, die sich im Kreis befinden, haben die Länge 'y', y₁= y₂ y₂= a-6 die Horizontale Länge 'x', x₁= a x₂= a-8 ⇒ y₁*y₂ = x₁*x₂ (a-6)*(a-6)= a*(a-8) (a-6)²= a²-8a a²-12a+36= a²-8a 12a-8a= 36 4a= 36 a= 9 LE x= 2a x= 2*9 x= 18 LE für den Radius können wir folgende Gleichung verwenden: 2r+8= 2a r+4= a a= 9 ⇒ r= a-4 r= 9-4 r= 5 LE 2. Lösungsweg ➡ Wenn wir vom Zentrum des Kreises aus den Radius zum linken oberen Punkt ziehen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck: die Hypotenuse= r die horizontale Länge= r - (a - 8) = r-a+8 die Senkrechte Länge= a-6 Nach dem Satz des Pythagoras haben wir: r²= (a-6)²+(r-a+8)² Zwischen 'a' und 'r' können wir dieses Verhältnis wie folgt beschreiben: 2a= 2r+8 a= r+4 diesen Wert oben bei dem Satz von Pythagoras einsetzen : ⇒ r²= (r+4-6)²+(r-r-4+8)² r²= (r-2)²+4² r²= r²-4r+4+16 4r= 20 r= 5 LE a= r+4 a= 4+5 a= 9 LE x= 2a x= 2*9 x= 18 LE
@@GetMatheFit Und ich behaupte: Erst den Radius auszurechnen, ist ein Umweg. Natürlich kommt man so auch ans Ziel, aber in einer Klausur geht es gegen die Zeit. 😉
@@Nikioko Die Länge a eines Quadrats wird gefragt. Es geht darum, wie man die Lösung findet und welchen Weg man dabei geht. Zeitdruck sollte hier nicht der primäre Faktor sein, denn bei Transferaufgaben benötigt man eher Zeit. Falls jemand zuerst in der Lage ist, den Radius r zu berechnen (der zweite Lösungsweg), ist das auch in Ordnung😉
@@makjekk Wir haben hier einen Kreis, der durch zwei Sehnen geschnitten wird, wo dann eben der Sehnensatz gilt. Aber ja, man kann die Sache auch mit dem Höhensatz machen, weil hier eine der Sehnen der Durchmesser des Kreises ist und daher wegen Thales ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt. Das Vorgehen ist dann dasselbe.
Wow, coole Lösung. Erscheint mir aber etwas rechenlastig, zumal Du ja erst den Kreisradius ausrechnen musst, um auf die Seite des Quadrats zu kommen. Hier kommt ein Lösungsvorschlag, der ohne Radiusberechnung auskommt: 1. Der Kreis unterteilt die Seite, die horizontal durch die Mitte des Quadrats geht in drei Segmente: eins der Länge 8, eins der Länge x/2-8 (bis zur Mitte des Quadrats) und eins der Länge x/2. Wir brauchen hiervon nur die letzten beiden Segmente. 2. Analog dazu wird die vertikal durch die Mitte verlaufende Seite in vier Segmente unterteilt: zwei der Länge 6 und zwei der Länge x/2-6. Wir brauchen hiervon nur eine der letzteren, z.B. die obere. 3. Nach dem Satz des Thales bilden die Schnittpunkte des Kreises mit der horizontal durch die Mitte verlaufende Seite zusammen mit dem oberen Schnittpunkt des Kreises mit der vertikal durch die Mitte verlaufende Seite ein rechtwinkliges Dreieck. Das Segment der Länge x/2-6 bildet hierbei die Höhe auf die Hypotenuse und unterteilt diese in die Abschnitte x/2-8 und x/2. 4. Nach dem Höhensatz gilt nun die Beziehung (x/2-8)*x/2=(x/2-6)^2. Der quadratische Term kürzt sich hierbei raus und es ergibt sich nach zwei Zeilen Rechnung x=18.
die grafik kann man immer noch dazu programmieren: 10 print "mathematrick-mathe raetsel geometrie-wie lang ist x?" 20 l1=8:l2=6:sw=l1/(l1+l2):la=sw:goto 60 30 dg=((la/2-l1)^2+(la/2-l2)^2+la^2/4+(la/2-l2)^2-(la-l1)^2)/(l1+l2)^2 40 return 60 gosub 30 70 dg1=dg:la1=la:la=la+sw:la2=la:gosub 30:if dg1*dg>0 then 70 80 la=(la1+la2)/2:gosub 30:if dg1*dg>0 then la1=la else la2=la 90 if abs(dg)>1E-10 then 80 print"die sehnenlaenge la=";la:r=(la-l1)/2:print "der radius=";r mathematrick-mathe raetsel geometrie-wie lang ist x? die sehnenlaenge la=18 der radius=5 > ausführen mit bbc basic sdl und zum kopieren aus dem ergebnis fenster ctrl tab drücken.
Ich habe folgende Frage: für welche Klasse (z. B. Gymnasium) ist diese Aufgabe geeignet? Und wäre es möglich diese Information jeweils bei der Aufgabe zu nennen? Vielen Dank!
Woher weiß ich, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Linie des kleinen Quadrats liegt? Wird das einfach nur angenommen oder kann man es aus der Aufgabenstellung rauslesen?
Habe es über das 3. rechtwinklige Dreieck (Thaleskreis) gemacht. Etwa gleich aufwendig.Man spart sich r, aber es sieht vorübergehend vielleicht etwas umfangreicher aus.
Wenn r der Radius des Kreises ist und s die gesuchte Seitenlänge des großen Quadrats, dann gilt: . .. ... .... ..... s = 8 + 2r ⇒ r = s/2 − 4 Der Mittelpunkt des Kreises, der Mittelpunkt des großen Quadrats und der untere Endpunkt der 6 LE langen Strecke bilden ein rechtwinkliges Dreieck, so dass der Satz des Pythagoras angewendet werden kann. Die einzelnen Seitenlängen sind: Hypotenuse: r = s/2 − 4 vertikale Kathete: s/2 − 6 horizontale Kathete: s/2 − r = 4 (s/2 − 4)² = (s/2 − 6)² + 4² s²/4 − 4s + 16 = s²/4 − 6s + 36 + 16 2s = 36 s = 18
das ist ja exakt der Lösungsweg von Susanne: man sucht sich genau diese 2 charakteristischen Punkte auf dem Kreis und bekommt dann mit der "Kreisgleichung" (nichts anderes als Pythagoras) zwei Gleichungen. Das hätte sie noch besser betonen können, dass die Lösung einfach durch zwei auf dem Kreis liegende Punkte gefunden wird, und wird so zu einer Standard-Geometrie-Aufgabe.
@@makjekk Da ich meinen Lösungsweg immer poste, bevor ich mir das Video ansehe, kann es natürlich passieren, dass ich den gleichen Weg beschreite. Hier wären ja durchaus auch noch andere Wege möglich gewesen, wie beispielsweise die von teejay oder Nikioko beschriebenen.
Hallo Susanne. Vielen Dank für dieses tolle Geometrie Rätsel. Ich hätte bei Deinem Video eine Frage. Wieso tust Du bei 3:35 die Variabel (und dann die ganze Gleichung [vielleicht ist das ja schon die Antwort?!?]) quadrieren? Danke.
Hi Susanne, hast du nicht mal Lust, diese Aufgabe (oder eine ähnliche) mittels Vektorrechnung zu lösen. Wäre spannend und könnte noch schneller gehen, oder?
Der Sehnensatz ist kein Umweg, sondern der deutlich kürzere Lösungsweg. Aber den 2. Schritt hättest du dir sparen können, weil x²/4 sich auf beiden Seiten rauskürzt. Dann bleibt -4x = -6x + 36 übrig, oder 0 = -2x + 36. 2x auf die andere Seite holen und durch 2 teilen. Fertig.
Lustig, ich habe meinen Lösungsweg bereits angepasst und auf beiden Seiten -x²/4 gerechnet. Erst jetzt sehe ich eure Hinweise. Anscheinend dauert es manchmal eine Weile, bis Kommentare anzeigt werden. Nein, der Sehnensatz ist der direkteste Weg. Der Weg über den Radius ist ein Umweg. Aber das wusste ich ja erst, nachdem ich die Aufgabe gelöst hatte. Ich beginne meistens intuitiv mit einer Idee und rechne praktisch immer direkt im Kommentarfeld.
Ich bin von der allerersten Formel ausgegangen: x/2 - 6. Umgestellt nach x ergibt das x = 12. Dann noch die vorher abgezogenen 6 dazu, ergibt für x = 18. Kann das so gerechnet werden? Da ich absolut keine Mathematiker bin, ist es gut möglich, dass ich einen Denkfehler eingebaut habe.
Man findet x=8+2r (I) sowie x=2(6+sqrt(r^2-(x/2-r)^2))=12+2 sqrt(-x^2/4+xr) (x-12)^2=-x^2+4xr r=(2x^2-24x+144)/(4x). Das mit (I) liefert x=8+2(2x^2-24x+144)/(4x) 0=32x-48x+288 x=288/16=18. Der Radius des Kreises ist dann r=5.
Kannst du mal ein Video zum Thema partielles Wurzelziehen machen? Das kommt nämlich dieses Jahr das erste Mal im hilfsmittelfreien Teil der ZAP (MSA) dran. Danke
Lösung: Zuerst stellen wir den Radius als Gleichung auf: r = (x - 8)/2 Spaß... den brauchen wir gar nicht! Die Sehne, die durch die senkrechte Mittellinie des großen Quadrats erzeugt wird, liegt bei x/2 - 8 vom linken Kreisrand und x/2 vom rechten Kreisrand. Die Sehne selbst ist x - (2 * 6) = x - 12 lang und wird genau halbiert, daher sind beide Teile (x - 12)/2 lang. Jetzt können wir über den Sehnensatz die folgende Gleichung aufstellen: (x - 12)/2 * (x - 12)/2 = (x/2 - 8) * (x/2) Wie man sieht hat diese Gleichung nur noch x. (x - 12)/2 * (x - 12)/2 = (x/2 - 8) * (x/2) (x - 12)² / 4 = x²/4 - 4x |*4 x² - 24x + 144 = x² - 16x |-x² +24x 144 = 8x |:8 x = 18
Ich hatte den Ansatz zum Anfang gehabt. Nur dann habe ich die Klammern der Quadrate aufgelöst (x/2 -r)² und dann stand auf einer Seite das r² und auf der anderen Seite ein r² + irgendwas und das kam mit schleierhaft vor und hatte ich es wieder verworfen.
Ich hab ein rechtwinkeliges (Tales-)Dreieck in den Kreis gebracht und dann das ganze mit dem Höhensatz gelöst: (8+a)=(6+b) und (b^2)=a*(8+a) ... dann wird a=1; b=3 und damit x=18
das "Nichts" besteht aus 2 Punkten, die man sich auf dem Kreis sucht und dadurch 2 "Kreisgleichungen" erhält nach dem Schema x²+y²=r² (nichts anderes als Pythagoras) Sie arbeitet dabei mit der Seitenlänge als Variable (heisst hier blöderweise auch x, besser wäre s wegen Verwechslungsgefahr mit x in der Kreisgleichung), und der Variablen r (sowieso) also: 2 Variablen, 2 Gleichungen => eine Lösung :D
@@walter_kunz natürlich kann man eine Zeichnung maßstabsgerecht machen. Susanne hätte nur den selbst errechneten Radius von 5 nehmen sollen und die Zeichnung auf GeoGebra machen können.
Ich habe darauf geschaut und wußte nicht wo ich beginnen sollte.🙍🏻♂️ Dann fiel mir auf, dass das Verhältnis von der Strecke 8 zu 6 zum Dreieck im Kreis gleich bleibt. Dazu über den Thales nachgedacht und über Pythagoras, dann sprang mich noch ein x/2 an und ich machte daraus: (8/2)² + (6/2)² = r² ergab r=5 . Somit ist x= 18 {8+5+5}. Und wieder war das ägyptische Dreieck (3-4-5) schuld.🤷🏻♂️ 🤔 War jetzt kein mathematischer Beweis, aber irrer Weise stimmt es.😅
@@munichforiran Den sollte man kennen. Schulwissen 7. Klasse. Kommt dran, wenn man die Satzgruppe des Pythagoras behandelt, genau wie der Kathetensatz. Und natürlich ist der Höhensatz einfacher. Der erspart uns den Umweg, erst einmal den Radius auszurechnen.
@@Nikioko Ja, heute kommt das vielleicht dran. Aber damals... Ich bin ja schon steinalt, wie du an meinem Avatar sehen kannst. Ich bin der links im Bild... 😟
Ja ich bin vermutlich zu beschränkt, aber vllt kann ja jemand helfen :) Woher weiß man, dass der Radius den Schnittpunkt der vertikalen Teilung von 6 exakt trifft? Habe es geometrisch mit mehreren Werten getestet und es kommt immer wieder hin. Ich bin fasziniert ohne es zu verstehen 😅
ich finde dieses Video auch nicht sooo super verständlich wie sonst immer aber ich denke sie wollte die 10 Minuten einhalten und musste entsprechend flott machen d.h. sie könnte ruhig nochmal ein richtig ausführliches machen, was dann halt doppelt so lange läuft.
Ich hab das falsche Ergebnis bekommen. Bin auf x= 20 gekommen. Mein Lösungsweg war eine Mischung aus Logik und Augenmaß. Also auf dem Bild sah es so aus als wenn es von 8 bis zur hälfte des Quadrats noch 2 sind. Also wäre die Hälfte 10 und dann wäre x=20 Da sieht man mal wie man sich täuschen kann.
Viel zu kompliziert. Man benötigt keinen Pythagoras. Kann man im Kopf rechnen. Thales von Milet und Kongruenzen im rechteckigen Dreieck. Die drei Größen sind links, oberhalb und rechts vom Mittelpunkt des Quadrats: a-8, a-6 und a (a aus Praktikablität = x/2). Es muss gelten (a-8)a = (a-6)² --> 4a = 36 --> a = 9 --> x = 18
Die Skizze ist leider sehr irreführend. Man könnte hier meinen, dass hier Symmetrien herrschen, die garnicht da sind. Es sieht so aus, als ob sich hier ein gleichseitiges Dreieck ergibt, das sich aus Kreismittelpunkt, dem Punkt am rechten Ende der 8er-Strecke und dem Punkt am unteren Strecke der 6er-Strecke ergibt.
Geogebra sagt 18 - ne ziemliche Fummelei, die Konstruktion am kleinen Handybildschirm auf die richtige Größe zu bekommen, aber um nicht Denken zu müssen, mach' ich alles 😮
