MQD 5 : Tenseur ? 

Merci pour le retour ! Vous avez raison : le tenseur d'inertie est un très bon exemple concret, ainsi que le tenseur de courbure. Peut-être je ferai une vidéo un jour avec ces exemples. - Alex

​ Merci de repondre En attendant la video sur des tenseurs concrets...

Merci pour le retour ! Pour moi, mentalement un tenseur est soit un tas de nombres (les coordonnées) qui se transforment d'une certaine manière (point de vue concret), ou bien un élément d'un produit tensoriel (point de vue abstrait). Je suis d'accord que les deux ne donnent pas forcément des images mentales claires. C'est peut-être pourquoi les tenseurs sont considérés comme difficiles (même si on reste assez proche des notions traitées en classe préparatoire ou en L1/L2). - Alex

En effet, comprendre le calcul tensoriel nécessite du temps et de la réflexion. La vidéo n'est qu'un aperçu qui, j'espère, donne envie d'en savoir plus :)

e1 *f1 +e1*f2 + e2*f1 + e2 *f2

Oui, il y a une coquille : c'est e1*f1+e1*f2+e2*f1+e2*f2.

Bonjour, C'est une bonne question. C'est une "gymnastique" typique pour l'algèbre linéaire : on peut par exemple prouver qu'une application linéaire A de L(V,W*) donne une application bilinéaire via B(v,w)=A(v)(w). Ici, A(v) est un élément de W* qu'on peut évaluer en w, un élément de W. Puis, il faut montrer que cela donne une injection de L(V,W*) dans Bilin(VxW,K). Comme ces deux espaces ont la même dimension, c'est alors un isomorphisme. J'espère que cela vous aide. - Alex

Merci !

Malheureusement je ne connais pas ce tenseur. Qu'entendez-vous par "image" ? L'image qu'on trouve sur wikipedia dans l'article "tenseur des contraintes", une sorte de cube ? C'est probablement une tentative de représenter un tenseur de type (p,q) avec p+q=3. Comme dit dans la vidéo, je crois que le plus simple est de ne pas le représenter et d'utiliser le calcul des coordonnées. Même si la représentation des matrices par des rectangles est très utile, cela devient encombrant en dimension plus grande. - Alex

@@Thomaths je pense qu’il parle de l’image que vous avez utilisé pour illustrer les tenseurs à chaque changement de chapitre dans la vidéo. Par exemple à 13:10. Le tenseur des contraintes est utilisé en mécanique (résistance des matériaux) et même s’il s’agit d’un tenseur d’ordre 2 de type (1,1) il a de chouettes représentations graphiques comme l’ellipsoïde de Cauchy ou les cercles de Mohr. Ce n’est peut-être pas généralisable pour les tenseurs d’ordre supérieur (en est-on vraiment sûr ?) mais ça aide à comprendre pour illustrer des exemples simples (comme dans le cas des hypercubes, hypersphères, hyperplans et autre hypertruc qui s’illustrent relativement bien en faible dimension mais pas en grande dimension. Ça aide quand même).

@@fabienleguen Merci pour cette explication. Je ne connais pas du tout ces représentations graphiques. Il faut que je me plonge un peu dessus. - Alex

Oui en effet. Je précise en début de vidéo qu'on se place en dimension finie dans toute la vidéo.

Bonjour, L'ordre d'un tenseur a toujours deux indices : une forme linéaire est un tenseur de type (0,1). Un tenseur de type (1,0) est un vecteur. Une forme bilinéaire est un tenseur de type (0,2). En général, un tenseur de type (p,q) est un élément du produit tensoriel de p copies de V et de q copies de V*. C'est un objet qui prend q vecteurs et p formes linéaires et associe un scalaire. J'espère que cela clarifie vos questions.

Oui et je vous remercie amplement pour ça. Cependant le passage de forme Bilineaire ( Bilin(VXW, IK) vers l'application linéaire L(V,W*) me paraît flou et incompréhensible. Je ne sais pas si vous pouvez nous expliquer un peu plus ce passage et nous donner sa base. Dans l'attente de vous lire veuillez agréer, Monsieur, l'expression de ma parfaite considération

@@cherbiammar3527 Considérons une application bilinéaire b: VxW -> K. Alors pour un élément v dans V fixé, on regarde b(v,.), càd. l'application w -> b(v,w). C'est une application W -> K, càd. un élément de W*. En plus, cet élément de W* varie d'une façon linéaire avec v. L'application v -> b(v,.) est donc une application linéaire entre V et W*, càd. un élément de L(V,W*). J'espère que cela aidera.

Oui et je vous remercie pour vôtre diligence. J'espère y'aura d'autres vidéos comme ça qui traitera de la relativité générale et coefficient de christofell et des tenseurs de Riemann, Ricci....etc

Bonjour, et merci pour votre retour constructif ! Comme l'indiquent la description et les 3 tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo pour les étudiants en Master. Il y a donc assez peu de vulgarisation. Bon courage !

​@@Thomaths merci, comme ça je découvre qu'il y a un barème 😂 avec mon niveau de math de terminale je n'ai pas saisi toutes les subtilités...

@@Thomaths Ah! Bon, j'ai manqué cette info, dans ce cas, ça explique vraiment pourquoi c'est arride. Je suis désolé! Merci beaucoup du retour!

+1 pour cette approche de l’enseignement de nouveaux concepts mathématiques. Après recherches, il est intéressant de noter que les tenseurs en tant qu’objets mathématiques sont apparus bien avant la formalisation du concept de produit tensoriel. Et en tant qu’ingé, je me rappelle encore vivement la première fois que j’ai découvert cette classe d’objet avec : le tenseur des contraintes de Cauchy (encore lui). Qui est utilisé en résistance des matériaux. À cette époque (en 1822) Cauchy ne le nommait pas tenseur mais il avait déjà parfaitement réalisé qu’il s’agissait d’un champ (sur l’espace : x,y,z) d’un objet mangeant un vecteur et recrachant un autre vecteur. Le calcul tensoriel (c’est à dire l’essentiel de l’arsenal des techniques de calcul avec des tenseurs) a été inventé lui par les mathématiciens qui faisaient des recherches en géométrie différentielle non euclidienne (c’est à dire les types dont la motivation était : « tiens, essayons de construire une Géométrie sans le 5eme axiome d’Euclide sur les droites parallèles ! »). Les formes quadratiques qui permettent de mesurer des distances (outils majeurs des Géométries) semblaient alors dépendantes du choix (arbitraire) des systèmes de coordonnées locales ce qui était problématique. Le calcul tensoriel a donc été créé pour étudier l’invariance des formes quadratiques par rapports aux systèmes de coordonnées. Ricci et Levi-Cevita font parti des principaux « inventeurs » du calcul tensoriel et ce travail a été fait un peu avant l’année 1900. Et ce n’est qu’en 1938, qu’Hassler Withney a inventé le produit tensoriel (pour mettre de l’ordre dans le bordel existant à l’époque pour ce qui concernait les différents produits de vecteurs et d’autres objects non scalaires). La définition axiomatique des tenseurs en partant du produit vectoriel est sauf erreur due au collectif bourbaki (encore eux) un peu avant la seconde guerre mondiale dans un effort visant à unifier de manière rigoureuse et propre les mathématiques de l’époque. Pour ma part en tant qu’ingé ayant été formé uniquement à l’algèbre linéaire, j’aime bien la définition suivante d’un tenseur : « un tenseur (p,q) est une application qui mange p vecteurs et q formes linéaires et qui renvoi un nombre ». Et une propriété majeure (qui s’ajoute au fait que mathématiquement ils généralisent les scalaires, les vecteurs, les matrices etc.) qui fait leur intérêt pour représenter des grandeurs physiques : les tenseurs (covariants) sont invariants par changement de systèmes de coordonnées.

@@fabienleguen Merci pour cet aperçu historique !

Bonjour, comme l'indiquent la description et les 3 tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo niveau Master. Ne vous découragez pas ! :)

Bonjour, merci pour votre retour ! Cette vidéo s'adresse à des étudiants de master, c'est peut-être pour cela que la partie calculatoire vous semble trop sèche ? Nous avons hésité à faire deux vidéos distinctes en effet.

​​@@Thomathsnon non je veux dire que c'est normal, il y a des indices partout, vous avez fait votre max, c'est inhérent au calcul tensoriel. Je veux surtout dire que c'est dommage de parler peut être un peu trop de coordonnées, alors que justement, par exemple quand je parle de u=(1, 0) ou v=(0, 1) on passe à coté du fait que ce ne sont que des représentations de vecteurs et non des vecteurs. Et c'est pareil pour les matrices, les vecteurs, les tenseurs, et même les nombres. C'est dommage car justement le but du calcul tensoriel est de developper des objets indépendants de leur système de représentation. Peut-être que je ne suis pas clair en effet mais j'ai l'impression que lorsqu'on a compris ça, on a tout compris en fait. Le reste c'est juste purement du calcul.

@@laurentreouven Je comprends votre point de vue. Le côté conceptuel est très puissant car il unifie toutes ces expressions en coordonnées et leur donne un sens profond. En même temps, j'ai constaté que les étudiants n'arrivent pas à faire des exemples concrets (calcul du tenseur de courbure pour une variété donnée par exemple). Donc je pense qu'il est aussi important de savoir manipuler les coordonnées, le "jeu des indices". Comme c'est long, cette partie peut paraître disproportionnellement longue dans la vidéo. - Alex

@@Thomaths oui c'est ça