Thomaths 26 : La fonction Zêta de Riemann 

Il me semblais que le son était doublé

@@lecokase Moi, il me semble que ça se cale le son. (caleçon)

Je suis sénégalais et j'ai découvert la démonstration qui confirme l'hypothèse de Riemann. Comment faire s'il vous plaît ?

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) - Alex & Eve

​@@Thomaths En fait comme tu t'es placé à 20 m de la caméra en gardant le micro sur toi, on dirait que tu parles en voix off

😂😂

Bonjour, excellente question ! Malheureusement je ne connais pas assez l'histoire de la vie de Riemann pour y répondre. Je sais que la fonction a déjà été étudiée par Euler, et que Riemann n'a publié qu'un seul article en théorie des nombres, celui sur le prolongement analytique de la fonction zêta et de la formule calculant la fonction de répartition des nombres premiers. De la même manière, Riemann n'a écrit qu'un seul article sur la géométrie différentielle, et c'est devenu la géométrie Riemannienne, un des plus gros domaine de recherche en géométrie (et qui a mené à la relativité générale d'Einstein). Riemann était sans doute un des plus grands visionnaires en maths. Il est mort à l'age de 39 ans...

J'étais aussi ébahi de découvrir le théorème de Grosswald-Schnitzer. C'est surprenant qu'il ne soit pas plus connu. Il y a aussi un théorème presque contraire (théorème de Chernoff, voir la référence Mussardo-LeClair dans la description) : si on prend q_n = n ln(n), alors l'asymptotique de q_n est celle des nombres premiers. Par contre si on défini f(s) = produit 1/(1-q_n^(-s)), alors f admet un prolongement analytique pour Re(s)>0 et n'a aucun zéro !!

Merci pour le retour ! Oui, on a eu de gros problèmes de son, mais pas d'inquiétude le son normal sera de retour pour les vidéos suivantes :) Et pour le Tipeee on oublie à chaque fois ^^' - Alex & Eve

Oui, la fonction (comme la quasi-totalité des maths d'ailleurs) ne dépend pas des systèmes de comptage. Imagine que le système de comptage est une langue : pour expliquer une idée, tu le feras de manière différente mais l'idée sera la même. En maths c'est pareil, les vérités ne dépendent pas des systèmes de comptage, qui sont des normes arbitraires, qui tout au plus changeront les "nombres" utilisés dans les propositions mathématiques.

Je joins complètement la réponse de @qazar7906. La notion de nombre premier, et aussi de la fonction zêta ou l'hypothèse de Riemann ne dépendent pas du système de comptage, seulement des nombres entiers. - Alex

@@Thomaths d’accord merci. Cela tend à démontrer que cette hypothèse, comme tant d’autres en maths ainsi que les nombres premiers etc sont des propriétés réelles et existantes et non de simples interprétations humaines ?

@@lecokaseEn effet ! C'est pourquoi on envoie des signaux mathématiques dans l'espace (par exemple la suite des nombres premiers avec des bips) car on considère qu'une autre civilisation utiliserait les mêmes mathématiques (la même logique) que nous.

@@Thomaths oui c’est dingue! Je ne sais pas si "Dieu ne joue pas aux dés" mais si il existe, il doit être un sacré bons mathématicien! Sans blague, les 3 lois d’interactions quantiques, la gravité , le bestiaire des particules, l’espace, le temps, l’énergie qui ont menés jusqu’à nous!!! on a accès à un monde magique et déroutant. Merci pour le partage de votre Savoir Alex. Bon j’y comprend que peu de choses mais votre travail reste captivant pour moi!🫵💪👌😘

Ca veut dire quoi "vaut vraiment"? Et attention car "somme" c'est pour un nombre fini d'éléments, mais passons. En général, quand on généralise quelque chose "à l'infini" il faut faire attention. Quand on généralise la notion de somme à une suite infinie dénombrable d'éléments, quelque soit la façon de le faire, on se retrouve face à des "problèmes": -soit elle est contraignante et ne fonctionne que pour un "petit" ensemble de suite et est indéterminée pour d'autres -soit elle ne possède pas des propriétés qui semblent naturelles -ou une combinaison des deux Avec la façon "usuelle" d'étendre la notion de somme, la série des entiers ne "vaut" pas -1/12. Avec d'autres, on peut lui associer cette valeur. Le "truc" c'est qu'en gardant des propriétés "raisonnables" on peut montrer que -1/12 est l'unique valeur qu'on peut lui associer.

@@AlcyonEldara donc la somme des entiers naturels diverge mais si on voulait absolument lui donner une valeur ce sera -1/12 ?

@@iskenderyahiaoui1844 en gardant un "minimum" de propriétés pour associer des valeurs aux séries, oui. Alors c'est assez technique, c'est pour ça que j'utilise des guillemets car je ne connais pas quel niveau de math tu as étudié. Alors pour comprendre plus en détail, je conseillerais les étapes suivantes (et si tu connais déjà les premières, passe au suivantes). Pas forcément besoin d'être capable de passer une interro, juste capable de suivre une "leçon" de vulgarisation. 0) Les nombres complexes 1a) Les suites 2) Convergence de suites réelles (au sens usuel en epsilon-delta) 2bis) Généralisation aux complexes 2ter) Séries et leur convergence (au sens usuel) avec les "problèmes" (la perte de l'associativité, semi-convergence et la perte de la commutativité, etc), 3) Sommation de Cesaro (pour au moins comprendre comment on peut "étendre" la notion de convergence) Et là, on peut enfin commencer à comprendre les méthodes qui arrivent à -1/12 (Cesaro donne une série divergente). Alors on peut utiliser la sommation de Ramanujan ou la régularisation via la fonction Zeta. La première il y a des intégrales, la seconde de l'analyse complexe mais je peux construire une analogie (mais il faut admettre un théorème très puissant d'analyse complexe). Il en parle dans la vidéo, c'est le prolongement analytique. Considérons la série 1+x+x²+x³+... Alors au sens "usuel" cette série dans les réels converge si -1

@@AlcyonEldara D'accord j'irai me renseigner dé que possible Merci beaucoup pour ton aide

Bonjour, Je suis assez d'accord avec @AlcyonEldara, la suite S_n=1+2+...+n est une suite divergente. Une manière naturelle pour lui associer quand même une valeur est de la voir comme zeta(-1), et zeta admet un prolongement analytique. Mais on pourrait imaginer l'existence d'une autre fonction analytique, qui en un certain point donne aussi 1+2+3+..., et qui attribue une autre valeur ! Le prolongement analytique est unique quand la fonction est donnée, mais ici, on n'a que la série 1+2+3+..., et on peut faire coller d'autres fonctions dessus. Je recommande la vidéo de Benôit Rittaud sur le site du CNRS : video.math.cnrs.fr/la-somme-de-tous-les-entiers/ Il y a aussi un point de vue intéressant des sommations avec cut-off qui fait apparaître le -1/12. Voir "Cutoff regularization" de l'article wikipedia en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF - Alex

Bonjour, en effet le passage à 2:26 n'est pas rigoureusement justifié. On peut prendre le résultat de x^s comme une définition, mais je pense que la justification éclaire la formule. Pour passer de ln(x^(i\beta)) à i\beta ln(x), il faut utiliser les propriétés du log complexe (en termes savants : le log est toujours un morphisme du groupe multiplicatif vers le groupe additif des nombres complexes). Après, on reste avec ln(x) et x est ici un entier strictement positif, donc on peut utiliser le logarithme usuel sur les nombres réels. - Alex

annals of mathematics

Bonjour, comme l'indiquent les deux tomates sur la miniature, il s'agit d'une vidéo niveau Licence. Courage !

@@Thomaths C'est bien ce que j'pensais, Rendez vous dans 10 ans....!

"ولا يحيطون بشيء من علمه الا بما شاء"

Le mieux pour vous serait d'apprendre à écouter, car la pronociation de Thomaths est impécable. Vous êtes méprisant.

@@loubecarut2192 Une fois de plus un ignorant vaniteux se croyant savant et tartinant les leçons de son ignorance, incapable de lire un énoncé de deux phrases, incapable de déporter un problème en dehors de son petit égo, incapable d'entendre finement, et dont l'orthographe témoigne d'une culture lacunaire: on voit mal de belles mathématiques sortir d'un esprit aussi grossier. Que les uns apprennent à contrôler leur appareil phonatoire, que les autres apprennent à écrire puis à penser et à se cultiver, car il ne faut pas se cacher que le niveau des mathématiciens du tout venant est faible.

Mais lol, votre critique est tellement nulle a chier que vous êtes réduit à parler d'un concept d'apprentissage aussi simpliste que celle d'un bébé 😂

Inutile de me répondre, je laisserai votre intellect là où il appartient.

sé sui qui di qui yé , gna gna gna, cassé ! 😂😂😂😂😂😂