Du bist der beste mein lieber , deine Methoden sind einfach zu verstehen , ich habe die Vektor Zerlegung in 10 min verstanden , also morgen bei der Klausur 3 Punkten plus ^^
Wie immer tolles Video!!!👍 Hier eine alternative Herleitung: p ist der Winkel zwischen a & b. cos(p)=|a_b|/|a|→|a_b|= |a|*cos(p) auf b : a_b=cos(p)*|a|* (b*) ,b*=/|b| * b→ a_b= |a|/|b| *cos(p)*b . Da cos(p)=/ |a|*|b| → a_b = /|b|^2 * b .
Danke !! Super Video!!! Ich hab bald eine Prüfung und durch das Video hab ich’s gecheckt 👍 Freue mich weitere Tolle Videos !!!! Zahlentheorie wäre auch ganz interessant 😉
Ja klar, habs mit auf die Liste geschrieben. Das Prinzip versuch ich aber schon mal jetzt zu erklären: 1) Bilde zwei orthogonale Vektoren (q1 und q2) der Ebene. Am einfachsten, indem du den einen Richtungsvektor auf den anderen projizierst und dann voneinander abziehst (das heißt dann "Gram Schmidt Orthogonalisierung": ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-l6pr1W3MQoE.html ) 2) Projiziere deinen Vektor orthogonal auf q1 und auf q2, wie in diesem Video und addiere die Projektionen. Fertig :)
Super erklärt danke ❤ich freue mich sehr, haben Sie kurse zum diesen Thema lineare Algebra zum anmelden?ich finde das Thema bei Ihnen super betrachtet ❤vielen Dank
ALS VEREINFACHUNG: solltet ihr bereits eine Orthonormalbasis gegeben haben in der form (u1, u2, u3 ) , bzw. eure Vektoren bereits in eine Orthonormalbasis überführt haben (z.B. mit dem Gram-Schmidt Verfahren) könnt ihr auch einfach folgende Formel anwenden um euren Vektor (a) orthogonal auf die Ebene zu projizieren : v = skalarprodukt(a , u1) * u1 + skalarprodukt (a, u2) * u2 + skalarprodukt (a, u3) * u3 .
Du meinst du man die orthogonale Projektion verwendet? Das nutzt man zum Beispiel bei der QR-Zerlegung von Gram&Schmidt. Wenn du linear unabhängige Vektoren hast, dann kannst du damit die Vektoren so zurecht "biegen", dass sie weiterhin den selben Vektorraum aufspannen, jedoch alle senkrecht zueinander stehen. Es hilft also dabei eine Orthonormalbasis zu erzeugen. Die hat wiederum Vorteile, weil numerische Berechnungen stabiler und weniger fehleranfällig sind. Ist aber nur eine von gefühlt unzählbar vielen Anwendungen.
Hey, eine Anfänger -Frage: wenn du den transponierten Vektor mit einen anderen Vektor multiplizierst, müsste dann nicht ein neuer Vektor bei rauskommen? Also ist das nicht etwas anderes als das Skalarprodukt?
Das kannst du leicht mit dem Falkschen Schema überprüfen, indem du die Vektoren als Matrizen auffässt. Die Spalten der ersten Matrix müssen mit den Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Ergebnis ist eine Matrix mit den Zeilen der ersten und den Spalten der zweiten. Bei einem Skalarprodukt (Zeile*Spalte) kommt so am Ende eine 1x1 Matrix raus, also eine Zahl (ein Skalar). Wenn das dyadische Produkt berechnen würde (Spalte*Zeile) kommt eine Matrix raus.
ok das ein Vektor gestauch wird habe ich jetzt kapiert, aber was hat es mit der 3-tafelproduktion auf sich? Also wenn ich eine Sichctachse habe, dann stauche/strecke ich die Vektoren entsprechend der sichtachse, aber wie kombiniere ich dann die 3 ebenen (xyz)?
Wie macht man das mit Polynomen? Ich habe hier eine Aufgabe die wie folgt lautet: Berechnen sie die orthogonale Projektion von p_4 = x³ auf P_2(R). Mein P_2(R) ist (Habe ich vorher berechnet:(2,1,2,-1)
Vektor a hat einen Anteil in Richtung von b, das ist der Projektionsvektor p, und einen orthogonalen Anteil, das ist a-p. Wenn du diese beiden Vektoren, also a-p und p addierst, kommt wieder a raus. Ist sozusagen eine additive orthogonale Zerlegung, denke aber das ist kein geläufiger Begriff. Finde nur er passt hier ganz gut.
Ich habe bereits ein Video gemacht, in dem ich bewiesen habe, dass kern und bild einer linearen Abbildung Untervektorräume sind. Wie genau sich Kern und Bild bestimmen lassen, mache ich aber auch gern noch mal in eigenen Videos.
Im Nenner bei der allgemeinen Formel steht doch Betrag vom Vektor b hoch 2 aber wieso wurde dann beim Beispiel a längs b die 50 im Nenner nicht quadriert?
Hi, Kannst du mal bitte ein Video zum Thema Approximation eines Vektors auf einem Unterraum des R^4 drehen? Dieses Thema konnte ich leider nicht finden...
@@MathePeter ein Vektor mit 4 Komponenten des Raums R^4 muss auf einem 3-Dimensionalen Unterraum (W) mit einer bekannten Orthonormalbasis approximiert werden. also die beste Approximation des Vektors auf diesem Unterram ist gesucht. Ist diese beste Approximation dieselbe orthogonale Projektion auf dem Unterram?
Das ist meine Vermutung, weil mir nichts anderes einfällt, was besser passen könnte. Allerdings solltest du noch mal nachfragen. Wenn du wissen willst, wie die Projektion auf einen 2-dimensionalen oder höher dimensionalen Unterraum funktioniert, schau gern mal im Altklausuren Livestream von letzter Woche rein, in dem ich den Fall nicht nur hergeleitet, sondern auch gerechnet und ausführlich erklärt habe: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-5Ql9aDC_-hk.html
Von der Pfeilspitze von b aus auf den Vektor a drauf, sodass ein rechter Winkel bei a entsteht. Du müsstest dafür den Vektor a etwas länger zeichnen. Es kommt also manchmal zur Streckung und manchmal zur Stauchung der benutzen Vektoren.
fasst man die Formel zusammen , so dass man gleich den projezierten vektor bekommt, erhält man a*b/!b!^2 *b. Warum kann man nicht oben im Nenner b*b zu !b!^2 zusammenfassen, so wie du es ja auch gemacht hast? Das Skalarprodukt ist doch kommutativ und assozativ? Es würde sich ja dann wegkürzen und dann stünde dort a auf b ist a. Und noch eine Frage zum Transponiertzeichen: wäre es ohne das nicht auch möglich? Einfach ein Skalarprodukt zwischen Spalten Vektor und Spaltenvektor? danke, tolle videos!
Oben im Zähler steht doch a*b. Wäre es aber b*b, dann hätte man |b|^2 draus machen können, stimmt. Und für ein Skalarprodukt ist es wirklich wichtig, dass man Zeile*Spalte rechnet! Denn z.B. Spalte*Zeile nennt man Dyadisches Produkt, da kommt eine Matrix bei raus. Zeile*Zeile und Spalte*Spalte sind nicht definiert. Man kann ja einen Vektor als Matrix interpretieren und da müssen ja die Dimensionen bei der Multiplikation passen, siehe Falksches Schema: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-VP3sseZvhKE.html
Eine Gerade kann auch durch einen Vektor beschrieben werden. Eine Wand kann durch eine Ebene beschrieben werden, die wiederum aus zwei Richtungsvektoren besteht. Also das Prinzip funktioniert auch in diesem Fall.
Die orthogonale Projektion von b auf a berechnet sich durch /|a|^2 * a. Es bleibt die Richtung vom Vektor a nur die Länge wird verändert. Wenn du rechnest 1/|a| * a, dann ist der Vektor a normiert und hat die Länge 1. Der verbleibende Faktor /|a| gibt dann die Länge der orthogonalen Projektion an.
@@MathePeter Also ist der Grund, weshalb aus dem Divisor nicht die Wurzel gezogen wird, der, dass damit einmal das Skalarprodukt und einmal der Vektor, auf den projiziert wird, jeweils normiert werden und man die Division durch die Länge quasi zweimal braucht?
Wenn du a auf b drauf projizierst, dann steht "geteilt durch Betrag(b)^2" für die Normierung von den beiden b's, die in der Formel vorkommen. Wäre b schon von Anfang an normiert, dann reduziert sich die Formel auf *b. Kannst aber auch jederzeit je einen Betrag in je eines der beiden b reinziehen und dadurch normieren. Also ja: "Die Division mit dem Betrag des Vektors^2" normiert beide Vektoren b.
Die Antwort hängt davon ab, in welchem Zusammenhang du das Skalarprodukt betrachtest. Allgemein würd ich sagen ist das Skalarprodukt (im Reellen) eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Damit gehen einige Eigenschaften einher, die das Skalarprodukt definieren. Wenn du dich aber speziell auf reelle Vektorräume beziehst, die man aus der Schule kennt, dann meinst du wahrscheinlich das Standardskalarprodukt. Dazu habe ich hier ein Video: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-wJAniAr6avU.html
Du musst noch die -1 in Klammern setzen. Beim Quadrieren kommen dann immer nur noch positive Summanden raus. Kleiner Trick: Ignorier einfach die negativen Vorzeichen, die fallen ja eh weg ;)
Das ist als Verbildlichung der "Orthogonalprojektion" gedacht. Stell dir vor die Sonne steht im Zenit. Ein Pfeil, den du in der Hand hälst, wirft einen Schatten. Dieser "Schattenpfeil" ist die orthogonale Projektion deines Pfeils.
@@MathePeter ok danke für die schnelle Antwort, bin nur ein bisschen verwirrt weil bei mir eine orthogonale projektion wie folgt definiert wird: ist ein vektor (b-p) Senkrecht auf einen Untervektorraum V von R^n mit p Element von V, dann heißt p eine orthogonale Projektion von b auf V.
Ganz genau! Der "Schatten" von a, den man auf dem Vektor b sieht, das ist die orthogonale Projektion von a auf b. Und es es deckt sich mit der Definition, die du grad aufgeschrieben hast. Natürlich ist die Definition im Allgemeinen besser, wenn man damit arbeiten will, Aber mit "Schatten" kann man sich besser was drunter vorstellen :)
