Elia ho una domanda: nel secondo esercizio per k=-1 il rango non dovrebbe essere 2? Ho provato a farlo con gli orlati anzichè con Gauss dato che il mio professore non ce lo ha spiegato. Ho però usato le mosse di Gauss per avere la stessa matrice triangolare 4x4 del video
Non sono espertissimo di matrici ma, se non ricordo male, mettere i vettori in colonna invece che in riga, corrisponde a scrivere la trasposta della matrice. Come conseguenza degli sviluppi di Laplace, il determinante della matrice è uguale a quello della sua trasposta.
Ciao, avrei una domanda, la dimensione del sottospazio quindi possiamo definirla come il rango di una matrice ? Ovviamente se dai vettori si va a formare la matrice
Ciao, mi chiedevo come mai nel primo esercizio (seconda modalitá) tu non abbia considerato tutti e due gli orlati del minore ma solo quello composto con la terza colonna
Trascorsi due anni non credo ti serva ancora la risposta, ma può comunque essere utile ad altri. Il motivo per cui lui esamina solo il primo orlato è il seguente: una volta considerato il primo orlato con t=0 torna ad osservare che valori assumerebbe l'intera matrice A con t = 0 e nota che la terza riga sarebbe nulla (conterrebbe solo zeri). Di conseguenza, qualsiasi sottomatrice 3x3 tu voglia estrarre da A quando imponi il parametro t = 0, essa avrà necessariamente la terza riga nulla (composta di soli zeri). E' evidente che se la matrice è 3x4 essa può contenere solo due sottomatrici 3x3 al suo interno. Ora, se rifletti un attimo a come si applica la regola di Sarrus ad una matrice 3x3 con una riga di soli zeri ti rendi subito conto che il determinante sarà sempre uguale a zero, indipendentemente dai valori che hai sulle righe non nulle. Questo accade perché la regola di Sarrus ti porta a sommare i prodotti dei termini lungo le varie diagonali della matrice. Essendoci una riga con soli zeri, ognuna di queste diagonali conterrà necessariamente almeno uno zero, e quindi il prodotto di ciascuna diagonale sarà necessariamente = a zero. Alla fine quindi ti ritrovi a sommare diversi "prodotti diagonali" tutti uguali a zero e ottieni il determinante = a zero. In generale, qualsiasi matrice 2x2 o 3x3 con una riga nulla avrà sempre determinante uguale a zero.
Domanda ma nel secondo esercizio se avessi fatto all'ultimo passaggio R4->3R4-R3 il risultato sarebbe lo stesso vero? Perché ricordo che fare la frazione implica in alcuni esercizi calcoli assurdi...
Ciao Elia, mi chiedevo come un altro lo ha già fatto se nel secondo esercizio mettevo i vettori riga al posto dei vettori colonna, lo studio del rango al variare di K sarebbe stato lo stesso in quanto andavo ad analizzare il rango della matrice trasposta? suppongo di si in base allo studio ma volevo una tua conferma. Grazie
Credo che abbia disposto i vettori in colonna per facilitarsi la semplificazione con Gauss. Se disposti in righe sarebbe stato più complicato. Poi essendo una trasposta, valgono tutte le proprietà di cui gode.
ciao, mi chiedevo, se K=3 allora l'ultima riga diventa di soli zeri, in questo caso il rango non è nullo? o è il determinante che è nullo? (esercizio due)
Ciao, il determinante è una funzione definita solo per matrici quadrate. Quindi non ha senso parlarne per funzioni come quella dell'esercizio 2, di dimensioni 3x4 e quindi NON quadrate. Riguardo al rango invece, una matrice ha rango = zero solo se è essa stessa nulla, cioè con tutti i valori = a zero. Quindi è sufficiente che abbia almeno un elemento diverso da zero affinché il suo rango sia > o = a 1.
Per quanto riguarda il rango di una matrice con tanti parametri usate l'approccio topdown è facile. Per il libro di geometria e algebra lineare livello universitaria cantatattemi e ve lo manderò
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