Bonito problema que refuerza los conocimientos de otros problemas parecidos: triángulos notables (aparece mi terna pitagórica preferida 3, 4 y 5); área de sector circular; area sombreada como la diferencia entre área del sector circular menos el área del triángulo. Excelente. Un saludo.
Gracias maestro ! Lo hice y me dio 4,13 (lo mismo digamos), pero calculando la altura vertical del triangulo con tangente y Pitágoras, ya que no sabía esa relación notable de 5-4-3. Saludos desde Córdoba Argentina.
Vamos a resolver el ejercicio, mi querido Watson. Trazamos una perpendicular al segmento diámetro del semicírculo que pase por el punto de unión del segmento que separa el área sombreada del restante, con la semicircunferencia. Se nos forma un triángulo rectángulo de ángulos 53°, 37° y 90°. Éste es un triángulo rectángulo notable de catetos 3a, 4a, y de hipotenusa 5a. No conocemos ninguno de los lados. Sin embargo, sabemos que el radio del semicírculo mide 5. Si trazamos ahora otro segmento que una el vértice superior del triángulo rectángulo anterior con el centro del semicírculo, se nos forma otro triángulo rectángulo de hipotenusa 5, de cateto menor 5-3a, y de cateto mayor 4a. Aplicando el teorema de Pitágoras sobre este triángulo, podemos hallar a: 5²=(5-3a)²+(4a)² 25=25-30a+9a²+16a² 25a²-30a=0 a(25a-30)=0 a≠0 25a=30 a=30/25=6/5 Los lados del primer triangulo rectángulo son 3•6/5=18/5, 4•6/5=24/5, y 5•6/5=6, y los lados del segundo triángulo rectángulo son (5-18/5)=7/5, 24/5 y 5. Para hallar el área sombreada, debemos calcular la diferencia entre el área del sector circular cuyo ángulo es el contiguo entre el cateto menor del segundo triangulo rectángulo que mide 7/5 y su hipotenusa que mide 5, y el área de los dos triángulos rectángulos mencionados. Para hallar dicho ángulo, aplicamos el arcocoseno. Ángulo (alfa)=arcocoseno ((7/5)/5)=arcocoseno (7/25)=73,74° Ahora sí que podemos hallar el área sombreada: A(sombreada)=π5²•73,74°/360°-7/5•((24/5)/2)-18/5•((24/5)/2)=16,09-3,36-8,64=4,09u² Ésta es mi respuesta!!!.
También pensé en cálculos trigonométricos para calcular base y altura, pero cuando sale ese triángulo rectángulo de hipotenusa 5 optimizar es lo correcto. Bien profe!
Este ejercicio me parece muy simple y a la vez muy bonito, además de muy interesante. Creo que la solución debe estar de acuerdo con el nivel de la persona cuestionada: geometría, trigonometría, geometría analítica o cálculo integral, lo cual implica el conocimiento y uso tanto de la aritmética como del álgebra. Estimado profesor, me gustaría saber si puedo usar algunos de sus ejercicios (problemas) para la elaboración de un pequeño artículo acerca de la solución de problemas, y para trabajar en mi comunidad en un pequeño taller de solución de problemas (matemáticos). Gracias por su paciencia y habilidad para mostrarnos un poco más de la bastísima ciencia matemática. Un saludo cordial desde California, EEUU.
@@miguelochoa-rm5424 Querido profesor, leí algunos de los comentarios y pude reconocer en ellos que tiene alumnos virtuales de diferentes niveles, este fue el motivo de mi comentario. Al escribirlo pensé en que los alumnos lo leyeran. Esto de leer los comentarios nos ayuda a saber otras cosas y ver desde otros puntos de vista, expandiendo así nuestra experiencia. Creo que la solución que se proporcione dependerá de las herramientas que el estudiante posea así como del área matemática que se esté estudoando. También creo que es, además de interesante, importante saber que en ocasiones los problemas pueden resolverse utilizando diferentes herramientas (teoremas) incluso dentro la misma área de estudio. He escuchado hablar de soluciones simples, bonitas, elegantes, cortas, e incluso económicas. Creo que es importante que los alumnos que empezamos el estudio de una rama de las matemáticas deberíamos conocer estas característica de nuestra ciencia amada. Gracias y un saludo cordial desde California, EEUU.
Hola profesor, buen video. Cuando toma a 37 y 53 grados como ángulos notables no lo son tanto y solo hace una aproximación de los catetos y por eso la respuesta no es tan exacta. Sería más preciso hacer la diferencia entre el área del semicírculo menos el área del sector circular con con ángulo en N
Con su debido respeto, no me gustó la solución. Me parece muy sacado de la manga que haya usado lo del triángulo notable. Hubiera sido mejor usar un poco de trigonometría. Hubiera trazado una altura desde M hasta el segmento ON, y esa h = 5*sen(74) y ya con eso calculamos fácimente el área teniendo como base el mismo segmento ON. Otra es usar una conocida fórmula para tríangulos isosceles: A = L^2 Sen(a)/2, donde L es la longitud del lado repetido y a el ángulo que forman los dos lados iguales.
