Ich korrigiere mal den Widerspruchsbeweis: Angenommen, es gibt eine kleinste obere Schranke D, so dass für alle natürlichen Zahlen n D-1. Dann ist auch n+1 eine natürliche Zahl und es gilt n+1 > D. Jetzt haben wir eine natürliche Zahl gefunden, die größer ist als D und darin besteht der Widerspruch.
Vielleicht ist die Frage dumm, aber warum muss es auch n+1 geben, wenn es n-1 gibt? Ist es bei den natürlichen Zahlen nicht einfach axiomatisch so, dass es immer einen Nachfolger gibt?
@@starstenaal527 Ja klar, wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist auch n+1 eine natürliche Zahl, das ist Bestandteil der Peano-Axiome. in meinem Widerspruchsweis hat sich gezeigt, dass es eine natürliche Zeit n gibt mit n > D-1. Ich brauche aber eine Zahl, die größer ist als D. Dazu addiere ich beide Seiten der Ungleichung mit 1 und habe n+1 > D. n+1 ist dann ebenfalls eine natürliche Zahl (siehe Peano-Axiome) und damit habe ich eine Zahl gefunden, die zum Widerspruch führt. Ich hoffe, dass ich Deine Frage richtig verstanden habe.
@@berndkru Ja danke, mein Verständnisproblem ist wahrscheinlich durch unaufmerksames Lesen entstanden. Jetzt frage ich mich allerdings, ob man das nicht verkürzen könnte. Annahme: D ist die kleinste obere Schranke der natürlichen Zahlen. Es existiert also eine natürliche Zahl n, die gleich D ist. n+1 ist aber auch eine natürliche Zahl (gegeben durch Axiom), und diese ist größer als die kleinste obere Schranke. -> Widerspruch Warum geht man den "Umweg" über D-1?
für mich war der größte Schock in der Uni, dass Operatoren gar keine Rolle mehr spielten. Im Abi gab es genaue Definitionen, was man bei einer Aufgabe "Nenne", "Berechne", "Beweise"... machen muss, und was nicht. An der Uni war das auf einmal egal, man mußte immer alles beweisen
Ich finds wirklich toll dass du versuchst, abiturienten die Angst vor der Unimathematik durch leichte Aufgaben zu nehmen, aber leider waren diese Aufgaben bei mir ziemlich schnell völlig irrelevant. Nämlich schon nach der 2. Vorlesungswoche bzw. allerspätestens nach den Klausuren des 1. Semesters (wo diese Aufgaben das geringste Problem sind). Stattdessen haben Matrizen und die abstrakten Methoden der Analysis II uns in den Wahnsinn getrieben. Es ist nicht so, dass es unglaublich schwer ist, aber ein Spaziergang ist es nicht.
Ich kämpfe seit einigen Jahren mit der Denkweise einer universitären Mathematik. Ich habe Fachabi, Techniker- u. Meisterschule absolviert. In diesen Bereichen ging es immer nur um die Ermittlung einer Lösung. In den ersten Unisemestern hatte ich genau diese Probleme mit Beweisführungen u. Herleitungen, Sätzen u. Lemmata. Deine Erklärungen sind für mich wirklich sehr hilfreich. Sehr guter Channel!
Erinnert mich voll an mein 1.Semester an der Uni. Das Ding ist halt noch, dass man immer drauf achten muss, welche Axiome oder Resultate aus Vorlesungen etc. man in seinem Beweis verwenden darf.
Oh, absolut! Das ist ein klassisches Uni-Erlebnis - gerade im ersten Semester muss man sich erstmal an die formale Strenge der Beweise gewöhnen. Und ja, sich ständig bewusst zu machen, welche Axiome oder Sätze man gerade nutzen darf, ist echt eine Herausforderung. Aber genau das macht das Verständnis später umso befriedigender, wenn alles zusammenpasst! 😊
In der Mathematik muss man sehr genau sein, so z.B. wenn eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, dreht sich die Ungleichung um. Daher ist es unbedingt notwendig, zu definieren und zwar genau. Viele scheinbare Widersprüche resultieren auf ungenauen Definitionen!
Kleine Anmerkung zu a/b + b/a >= 2 Die Aussage bei ca. 3:48 ("das Niedrigste ... ist Null für a und Null für b") stimmt nicht. Weder a noch b dürfen gleich Null sein. Der kleinstmögliche Wert 2 ergibt sich dagegen für jedes a=b mit a>0 und b>0. 🙂👻
Ja, das ist richtig. In den Voraussetzungen steht ja, dass a und b positiv sein müssen. Die Umformungen sind ja auch nur deshalb Äquivalenzumformungen, weil a und b ungleich 0 sind.
Aus dem Kontext kann man erkennen (zumindest konnte ich das erkennen), dass er an dieser Stelle nur das "Quadrat" gemeint hat und hat sich nur in dieser Aussage auf alle reelle Zahlen bezogen. Und diesbezüglich stimmt dann die Aussage: ein Quadrat ist mindestens = Null. So habe ich zumindest diese Aussage bei 3:48 aufgefasst.
Müßte ich durch Mathe meinen Lebensunterhalt bestreiten, wäre ich schon verhungert. Oder was wahrscheinlicher ist, ich wäre wahnsinnig geworden. Faszinierend, wie leicht dir das von der Hand geht, auch wenn es vielleicht wirklich einfach ist für jemanden, der Zugang zu dieser Welt hat. Bei mir vermischt sich das alles zu einem unverständlichen Brei im Kopf aus dem Buchstaben und Zahlen herausgucken. Trotzdem mal ganz interessant.
Ich bin erst in der zehnten Klasse. Ich war bisher immer sehr gut in Mathe. Also nie was anderes als ne eins. Aber mir ist natürlich (und durch dieses Video noch mal im besonderen) bewusst, dass die Uni-Mathematik ganz anders ist. Aber jetzt zum Beispiel bei dem ersten Beweis in diesem Video würde mich echt mal interessieren, wie man da in der Uni drangeht. Denn ich kann nur für mich reden, aber ich würde da nie im Leben drauf kommen, die binomische Formel anzuwenden. Und nur durch rumprobieren geht das ja auch nicht gut, da das ja für mehrere Aufgaben eine Ewigkeit in Anspruch nehmen würde. Über eine kurze Antwort würde ich mich auf jeden Fall freuen. Finde Ihre Video spitze :)
Wenn ein Professor den Beweis vorführt, dann macht er es so ähnlich wie hier vorgeführt (ich rede von der 1. Aufgabe). Wenn man in den Übungen selber Beweise erstellen muss, dann muss man tatsächlich Rumprobieren und das kann sehr lange dauern. Es ist nicht wie in der Schule, dass man Aufgaben nach einem vorgefertigten Muster rechnet, sondern man muss wirklich kreativ sein um dann nach evtl. langem Suchen und Fehlversuchen irgendwann auf eine Lösung zu kommen. Es erfordert viel Durchhaltekraft - wer das nicht mitbringt, wird schnell scheitern.
@@berndkruich bin auch kein Mathematiker und habe auch nur den Realschulabschluss. Mein Ausbilder, der Elektrotechnik studiert hatte, hat auch immer zu uns gesagt, dass das, was wir gemacht haben, eigentlich nur Rechnen ist. Er wusste schon wovon er gesprochen hatte.
Es ist tatsächlich viel ausprobieren und Kreativität bei solchen Aufgaben gefragt. Häufig sieht man Sachen nicht auf den ersten Blick, sondern erst, wenn man sich sehr lange auseinandersetzt. Viel Erfolg weiterhin in Mathe in der Schule 💪🏼
Damit die binomische Formel nicht vom Himmel fällt: Überlege, wie man Brüche addiert (gleichnamig machen). Danach macht es, wie beim Lösen von Gleichungen, Sinn, mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. Beim Lösen von Ungleichungen ist es immer sinnvoll, wenn auf einer Seite Null steht. Deshalb subtrahiert man 2ab auf beiden Seiten. Jetzt steht links die zweite binomische Formel und rechts Null.
Ist bei der Aussage, wo ihr die Dreiecksungleichung zeigt, nicht der allgemeine Körper K sogar falsch. Die Dreiecksungleichung kann ich doch eigentlich nur sinnvoll auf einem Körper definieren, auf dem eine Ordnungsrelation definiert ( wie R zum Beispiel), aber wenn ich mir zum Beispiel F5 anschaue, also den Körper mit 5 Elementen, dann kann ich ja überhaupt nicht sinnvoll eine Ordnungsrelation definieren, da bspw. 4>1 ist ( wenn wir mal kurz so täten, als wären wir auf R), aber wenn ich jetzt auf beiden Seiten +1 mache, ist ja 4+1=0 und 1+1=2, aber die Kompatibilitätsbedinung einer Ordnungsrelation mit der Addition auf dem Körper würde mir dann in dem Fall sagen, dass 0>2 wäre. Ist mir nur so aufgefallen, ansonsten tolles Video, gerade für Leute, die sich unter Uni Mathe noch nicht so richtig was vorstellen können.
Völlig korrekt - du musst nichtmal F_5 nehmen, selbst auf C geht das schon nicht mehr.. linear geordnete Körper sind eine absolute Seltenheit! Abgesehen davon ist der im Video gezeigte Widerspruchsbeweis, dass N unbeschränkt ist, völliger Blödsinn und geht anders (siehe z. B. Topkommentar)
Ich finde die mathematische Denkweise sehr interessant, auch wenn ich das Meiste davon nicht verstehe. Was machen Mathematiker beruflich? Meiner Vorstellung nach verbringen viele Mathematiker ihre Arbeitszeit in den Büros irgendwelcher Versicherungen und berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass bestimmte "Schadensfälle" eintreten. Für mich wäre das definitiv keine lohnende berufliche Perspektive.
Dein Beweis der Dreiecks-Ungleichung ist nicht so recht gelungen. Wenn du bei einem allgemeinen Körper (Q, R, C und alles dazwischen) bist, dann bist du bei der Norm und die Dreiecks-Ungleichung ist Teil der Definition der Norm. Wenn |.| der normale Betrag ist, dann ist das nur für Q, R und irgendwas dazwischen, nicht aber für C definiert, dann ist der Beweis allerdings korrekt.
Für mich war Mathematik immer nur ein Mittel zum Zweck, um Aufgaben in VWL lösen zu können. Zum Glück durfte man die Aufgaben oft auch durch graphische Darstellung lösen: Gewinn- oder Kostenfunktion ermitteln etc. Bei uns lag das Hauptaugenmerk stets auf dem Verständnis der Theorie. Die Rechenbeispiele dienten nur der Veranschaulichung. Beispiel? Ein Industriebetrieb will sein Abwasser in den See ableiten, aber da ist auch ein Fischer. Zuviel Abwasser tötet die Fische. Der Gewinn soll maximiert werden. Berechne die optimale Verschmutzung!
@@jewi71 Dieser Beweis wurde aber vermutlich in der Vorlesung durchgesprochen, oder sollte man ihn tatsächlich selber entwickeln, falls man ihn nicht kannte?
@@berndkru in meinem Fall war es tatsächlich im Vorkurs eine Aufgabe, den Beweis selbst zu entwickeln. Diese Aufgabe musste man aber nicht schaffen und war nur ein Vorschlag falls man schon fertig mit dem Tagesauftrag war. Wir haben es dann im ersten Semester ziemlich schnell auch in einer Vorlesung behandelt und danach nie wieder gebraucht.
Den Term für die Beschränkung bitte logisch korrekt schreiben: Erst kommt der Existenzquantor (es gibt ein C aus R), dann folgt der Allquantor (für alle n aus N) und dann die Bedingung (n
Wann das kein Stoff ist bist incl. Gymnasium, wozu müßten Mathelehrer dass dann können ? Ein paar Denkmuster und Schreibweisen ist natürlich nicht zu viel verlangt.
@@holger_p Naja, Lehrer sollten schon deutlich mehr können als den Stoff, den sie vermitteln sollen. Von einer höheren Warte aus erschließt sich der Stoff oft viel besser und man sieht die Themen in einem größeren Zusammenhang. Ein Lehrer muss auch gefasst sein auf Fragen, die über den eigentlichen Lehrstoff hinaus gehen und da sollte er auch antworten können. Diese Souveränität ist meiner Meinung nach Voraussetzung dafür, dass der Lehrer gelassen auf die Fragen der Schüler reagieren und sie auch kompetent beantworten kann.
Ich habe Master of Computer Science abgeschlossen und ich empfand die Uni-Mathematik als reine Verschwendung von Lebenszeit. Kaum was davon hatte für den Arbeitsalltag in der Wirtschaft irgendeine Relevanz. Höre von anderen Kollegen, die Maschinenbau studiert haben ähnliches. Die lassen auch schwierige Fragenstellungen extern rechnen, oder es macht irgendeine Software für sie. Ich würde diese Arbeit Mathematikern überlassen, und die Mathevorlesungen nicht als Mittel nutzen, um die Anzahl der Absolventen zu reduzieren. Bis Abi ist alles soweit sinnvoll. Die ganzen Beweise, die man an der Uni lernt, sind aber absolut nutzlos, wenn man nicht in die Forschung gehen will.
Ist so, aber wie willst du die Klausuren bestehen, wenn du dir die Übungen vorrechnen lässt? Nicht hinzugehen bedeutet ja auch durchgefallen und damit fehlt dir ein Pflichtteil des Studiums.
Die Aufgaben sind dazu da, um herauszufinden, wen man um Hilfe bitten kann, wenn man bei einer komplexen Aufgabe nicht weiterkommt. Diese Problemlösestrategie lässt sich dann, wie du schon sagtest, super in der Berufswelt anwenden 😉
@@alexanderuffelmann3382 Es war nicht als Aufforderung an die Studenten gemeint, sondern als Kritik an den Lehrplanerstellern, die den Fachkräftemangel mitverursachen.
Was man dringend für das Mathestudium braucht: Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Abschätzen und ganz wichtig, beweisen können. Überflieger brauchen das nicht!
Für die zweite Aufgabe müsste man noch wissen, wie an der Uni die natürlichen Zahlen definiert werden: 1. "1 ist eine natürliche Zahl" (bzw. 0) 2. "Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist auch n+1 eine".
@@benikum-5169 Das war mir bewusst, ich wollte nur kompatibler mit der Zielgruppe bleiben. In der Schule ist die Null halt nicht automatisch mit dabei.
@@thomasgabler3476 "In der Schule ist die Null halt nicht automatisch mit dabei." Kann man so generell nicht sagen. Ist nach meiner Erfahrung je nach Schulbuch unterschiedlich.
Ist Mathe auf Lehramt (Gymnasium) etwas eingeschränkter als das reine Mathestudium oder macht man da auch sowas? Später im Beruf wird diese Art der Mathematik ja gar nicht benötigt. Also in der Schule lernt man ja was anderes
Niveau ist dasselbe, da man vertieft studiert. Je nach Uni hast du sogar dieselben Veranstaltungen. Bei mir war es zum Beispiel so, ich habe dann den Mathe-Bachelor als Zweitabschluss zum Staatsexamen bekommen, ohne dass ich mehr Vorlesungen gebraucht habe.
@@johannestrager9614 Alles klar, danke! Würde es auch gerne studieren, aber nur auf Lehramt. Hatte im Abi Mathe nur als GK und nicht LK. Mache mir bisschen Sorgen, ob ich es schaffen werde. Hast du vll einen guten Rat?
Bei uns waren die ersten beiden Semester gleich, danach gab es kleine Unterschiede aber auch immer wieder gemeinsame Vorlesungen. Auch wenn das Uni-Niveau zunächst sehr anspruchsvoll wirkt, kommt man nach und nach rein :)
Hält einen aber nicht ab, etwas im technischen Bereich zu studieren. Ein reines Mathestudium ist viel zu theoretisch und anwendungsfern. In der Elektrotechnik kommen ganz andere Themen vor und man muss sie nur einmal gelernt haben und danach macht das immer der Computer.
"In der Schule macht man keine Mathematik. Da rechnet man nur." Das war so einer der ersten Sätze, die ich gehört hatte als ich in meiner ersten Mathevorlesung gesessen hatte🙂
Das zweite Beispiel finde ich nicht gut gewählt. Die Schwierigkeit an der Aufgabe ist, dass man die Aussage aus den Axiomen folgern muss, über die die reellen Zahlen an der Uni eingeführt werden. Diese nennst du aber nicht. In der Schule werden reelle zahlen ja häufig einfach als Kommazahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen eingeführt. Damit ist der Beweis denkbar einfach (und auch intuitiver) aber diese Darstellung der reellen zahlen darf man zu dem Zeitpunkt in der Uni noch nicht verwenden.
Da gebe ich Dir recht. Die Beweise sind in ihrer Bedeutung nur dann zu erkennen, wenn man die Körperaxiome der reellen Zahlen kennt und die Beweise auch auf dieser Basis durchgeführt werden. Axiomatik ist in der Regel kein Thema in der Schule, allenfalls werden in der Stochastik die Kolmogorow-Axiome durchgesprochen, aber in ihrer Bedeutung wohl kaum verstanden. So stellt sich bei Schülern eher eine Haltung ein: "Wieso muss man so einfache Dinge eigentlich beweisen, ist doch selbstverständlich". Sie denken in Zahlen, aber nicht in Axiomen.
Also ich hab das in der DDR in der 7. Klasse gelernt, ist man heute wirklich soweit, dass sogar aus dem Abi rauszuhalten ? Allgemein kann ja die Uni nicht von konkreten Lehrplänen im Abi ausgehen, weil wir 16 Bundesländer haben. Teils 12 Jahre, Teils 13.
@@holger_p Lehrpläne werden geändert und von einer Einheitlichkeit in D sind wir weit entfernt. Deshalb gibt es an den Unis Vorkurse, um das mindestens in Teilen wieder auszugleichen. Ich sehe das als Ergebnis einer verfehlten Bildungspolitik.
@@holger_p @holger_p ich verstehe den Bezug zu meinem Kommentar nicht. Die Uni geht nicht von einem universellen Lehrplan aus, das habe ich auch nirgends behauptet. Dass du die Körperaxiome etc. irgendwann in der Schule als Rechenregeln mal hattest schön und gut aber die Zahlen wurden ja wohl kaum über diese Axiome eingeführt.
Richtiger wäre es, wenn man bei a/b + b/a >= 2 nicht mit der behaupteten Aussage anfängt, sondern mit dieser abschließt, d.h. wir nehmen uns eine wahre Aussage her wie etwa a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 >= 0 genau dann, wenn a^2 + b^2 >= 2ab gilt. Also haben wir a/b + b/a = (a^2 + b^2)/ab >= 2ab/ab = 2. qed.
Denke nicht, da aus der Tatsache, dass es für ein Konkretes Beispiel nicht funktioniert nicht folgt, dass es für keines Funktioniert. Du hast nur gezeigt, dass die Ungleichung für a=0.5 und b=0.25 gültig ist.
Wenn du hier wirklich per Widerspruch argumentieren wollen würdest, müsstest du zuerst die Aussage verneinen: Aus: für alle a,b \in R gilt ... --> es gibt ( mindestens) ein paar von a,b \in R für die das Gegenteil gilt, also das a/b+ b/a < 2 (*) Jetzt müsstest von der Annahme (*) ausgehen und dann zeigen, dass das zu Widersprüchen führt, also sowas wie 1=0 oder so. Wenn man wollte, aber das wäre dann einfach äquivalent zu dem, was im Video gemacht wurde, könnte man jetzt die gleichen Umformungen machen wie er und du hättest dann sowas dastehen: a^2 -2a*b + b^2
Tolles Video mit vielen interessanten Beweisen, die (zumindest für mich) eine ganze Menge Nostalgie ausgelöst haben. Daumen hoch 😀 Aber bei (ca.) 8:30 hast Du gesagt "... na ja, ob 'n' oder 'n-1' spielt ja keine Rolle, da wir ja schließlich alle Zahlen bis unendlich einsetzen können..." Nein, das können wir eben nicht, weil Du ja in dem Beweis durch Widerspruch vorausgesetzt hast, dass die Menge der natürlichen Zahlen eben DOCH beschränkt ist. Daher darf man eben NICHT jede natürliche Zahl "bis unendlich" einsetzen. Denn das ist es ja, was man durch den Widerspruchsbeweis "provozieren" möchte. Aber da ich mir sicher bin, dass Dir das durchaus bewusst ist, denke ich mal, dass das nur eine Versprecher war. Danke noch mal für das Video!
Ich bin mir nicht ganz sicher: Möglicherweise verwechselst Du gerade "unendlich viele" mit "unendlich groß". Dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, ist durch die Peano-Axiome abgesichert und darf vorausgesetzt werden. In dem Beweis geht es aber darum, ob sie auch unendlich groß werden können oder umgekehrt, ob sie durch eine obere Schranke begrenzt werden. Z.B. hat die Folge 1 - 1/n unendlich viele Folgenglieder, ist aber nach oben durch die 1 beschränkt. Ich selber finde ja die Ausführung des Beweises auch nicht optimal, aber ich glaube, Dein Argument greift hier nicht, wenn ich es richtig verstanden habe.
@@berndkru Tatsächlich sagt er (ich habe es gerade noch mal nachgehört) wörtlich an diesem Zeitpunkt "... ob jetzt minus 1 oder nicht, man kann ja unendlich groß dabei werden". Genau diesen Satz meine ich: wenn N beschränkt wäre (was ja das vorraussetzende Lemma in diesem Beweis ist), dann dürfen wir diesen Satz (siehe Zitat 1. Zeile) eben nicht voraussetzen. Schließlich wollen wir ja genau das erst durch Widerspruch beweisen. Aber ich wollte wirklich nur auf die verbale Ungenauigkeit hinweisen. Der Beweis an sich ist ja DER Standardbeweis aus Mathe-Leistung oder Mathestudium-Vorkurs.
Generell kann es zu einer math. Aussage mehrere (Gegen-)Beweise geben (besonders elegante Beweise werden im "Proofs from THE BOOK" aufgeführt). Eine bewiesene Aussage muss "nur" innerhalb der Mathematik stimmen ( die math. Aussage muss keine passenden Zusammenhänge aus der "freien Natur" beschreiben). Math. Operationen müssen für jede Person (unabhängig von den natürlichen Sprachen) verständlich sein.
Ich bin kein Mathematiker, aber ist die -1 bei n-1 nicht genau deshalb egal, weil N unbeschränkt ist? Warum können wir das verwenden wenn wir beweisen wollen, dass N unbeschränkt ist?
@@berndkru Die Schlusskraft ist sicherlich etwas getrübt. Aber ganz falsch ist es auch nicht. Wenn man sich am Video orientiert wird ja folgende Beweiskette nahegelegt. ∀ n ∈ ℕ : n ≤ D (und D kleinste obere Schranke) ⇒ ∀ n ∈ ℕ : n - 1 ≤ D - 1 (und D kleinste obere Schranke) ⇒ ∀ n ∈ ℕ : n ≤ D - 1 (und D kleinste obere Schranke) ↯ Widerspruch Dass der erste Schritt gilt ist klar (bis auf eine leicht zu behebende Spitzfindigkeit) Dass der letzte Schritt gilt kann man vielleicht besser sehen wenn man ∀ n ∈ ℕ : P(n) ⇒ ∀ n ∈ ℕ : P(f(n)) einsieht für eine beliebige Funktion f : ℕ ⟶ ℕ die man dann konkret als n ↦ n + 1 definiert. Dann hat man: ∀ n ∈ ℕ : n - 1 ≤ D - 1 ⇒ ∀ n ∈ ℕ : f(n) - 1 ≤ D - 1 ⇒ ∀ n ∈ ℕ : (n + 1) - 1 ≤ D - 1 ⇒ ∀ n ∈ ℕ : n ≤ D - 1
Beim Widerspruchsbeweis mit der oberen Schranke hätte ich einfach folgendes gezeigt: Wenn es so ein n n und somit > c. Also ist c keine obere Schranke für n. Bei der Dreiecksungleichung ist meines Erachtens ein Fehler vorhanden. |a + b| ist nicht gleich - (a + b), wenn a und b verschiedene Polarität besitzen. Ein dritter Fall hätte hier Abhilfe geschaffen. Oder irre ich mich da?^^ Jedenfalls ein echt gelungenes Video für eine Kostprobe in die Uni-Mathematik.^^ 👍👍👍👍👍👍
@@berndkru Stimmt, es gibt aber ein anderes Problem, denn er geht hier (implizit) von einem geordneten Körper aus und letztendlich sind wir dann im 1. Semester "nur" bei R und Q, denn die Fallunterscheidung gibts halt in C einfach nicht (bzw der komplexe Betrag ist auch einfach anders definiert, letztendlich als Norm in R^2) und was die Betragsfunktion im allgemeinen Körper sein soll, ist auch völlig unklar.
@@mr.niemand6179 Ja, ich denke auch, dass hier von einem geordneten Körper ausgegangen wird, auch wenn dies nicht explizit erwähnt wird, sondern nur von einem Körper gesprochen wird. Die eigentliche Zielgruppe dieses Kanals - nämlich Schüler - kennen den Unterschied ohnehin nicht und das ist auch der Grund, weswegen ich diese Videos "so rechnet man in der Uni" nicht für besonders zielführend halte, wenn man die Grundlagen überhaupt nicht erklärt und wohl auch der Zielgruppe schlecht vermitteln kann..
Das eigentliche Problem beim Widerspruch Beweis ist die Aussage, wenn xy falsch ist, gilt dass dasGegenteil ist wahr (richtig) 😊 für einen Mathematiker ist das logisch, für einen Logiker ist das Mathematik😂😂😂
Das Niveau ist eindeutig gesunken, wirklich traurig. Ich habe 1991 Abi gemacht, so etwas haben wir damals im Mathe-LK gemacht. Danach habe ich Physik studiert und wir hatten mit den Mathematikern die Anfangsvorlesungen in Analysis 1-2 und Lineare Algebra 1-2. Das war ein ganz anderes Pfund als diese Popelsaufgaben. Peinlich peinlich für unser „Bildungsland“ Deutschland, ich kann mir nur an den Kopf fassen.
Aufgabe 1 ist eher Matheolympiade 6.Klasse (zu meiner Zeit). Aufgabe 2 ist ein 3-Zeiler (Wäre z eine obere Schranke in R, wäre z>0, und [z+2] ([a] - größte ganze Zahl, die nicht größer ist als a) eine natürliche Zahl, die größer ist als z. Aufgabe 3 ist sinnlos, solange man nicht erklärt, was ein Körper in der Mathematik ist. Seht euch Weitz an, der ist besser. Und wenn ihr Mathe studieren wollt, dort kommen anspruchsvollere Aufgaben.
Berechtigte Kritik aber Matheolympiade 6. Klasse ist meiner Ansicht nach Blödsinn. Die binomischen Formeln sind erst erst ab der 7/8 Klasse Stoff und generell kamen Gleichungen mit Quadraten erst später. Hab z.B. auch alte Klausuren usw aus den 70er Jahren gesehen und kann mir das beim besten Willen nicht für 6. Klasse vorstellen.
@@georgmeier4 Sorry, aber in der DDR war das normaler Schulstoff 6.Klasse: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-2U20ZGUIcN4.html Bissel rechnen damit war dann eben eher Matheolympiade als bei den normalen Schülern. Ich hab damals ziemlich intensiv die Matheolympiaden mitgemacht (als Frühstarter in der 8.Klasse in Klassenstufe 10 mitgemacht), und weiß, dass dort Aufgaben kommen konnten, mit denen meine Mathelehrer überfordert gewesen wären, aber niveaumäßig war das doch unter einem Mathestudium (das hab ich dann etwas später gemacht). Hab dann noch später als Assistent an der Uni Studienanfänger aus den alten Bundesländern gehabt, und war erschüttert, was die im Matheunterricht NICHT hatten.
@@jojo23477 Die Kreis-Matheolympiaden gingen bei uns in der 5.Klasse los (davor nur Wettbewerb in der Schule), danach wurden die Leute eingesammelt zum Kreismatheclub, mit einem 2-wöchigen Lager im Sommer. Dort lernte man dann (also 5./6.Klasse) neben solchen Sachen wie Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Logik grundlegende Lösungsmethoden wie Schubfachprinzip, oder dass das arithmetische Mittel immer größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist. Die erste Aufgabe hier ist einfach der Spezialfall von AM>=GM, für 2 Zahlen, ein bisschen umgeformt. Hätte wohl jeder aus dem Kreisclub vorrechnen können. Ab der 7.Klasse gab es dann die Bezirksolympiade, Bezirksclub, das Lager etwas öfter, Korrespondenzzirkel (jeden Monat 4 Aufgaben), ... Das steigerte sich dann, je weiter man kam.
Geh zurück an deine Matheaufgabe. Deine Aussage hier sagt nichts aus. In meinem Studiengang kamen diese Mathe Aufgaben genau so dran. Nur weil du Mathe studierst und auch andere Sachen machst, ist genau das Uni Mathe. Kannst dir ja was von deiner 5 Klasse Mathe Olympiade kaufen.
Aufgabe 1 anlauf 1: a,b ≠ 0 => ab≠0 gemeinsamer nenner (a^2 + b^2)/ab ≥ 2 alles mal ab und danach minus 2ab. (a-b)^2 ≥ 0 was stimmt für a,b positive R.
Wichtig ist hier, dass a und b positiv sind, ansonsten könnte sich das ≥ bei der Multipilkation mit ab rumdrehen. Das hätte er bei seinem Beweis unbedingt dazusagen sollen.
@@jewi71 stimmt. a,b positive R Zahlen. hätte aber eine anmerkung zu machen, was wenn a und b entweder beide positiv oder beide negativ wären? wäre dann das theoretisch nicht auch korrekt?
Was ist mit dem Archimedes Axiom ;) wenn man das annimmt (Aussage 2) dann ergeben sich andere Axiome per Beweis! Wie gesagt, in gewissen Vorlesungen wird Archimedes Axiom vorausgesetzt!
Wenn eine Zahlenmenge eine obere Schranke hat, dann ist jede größere Zahl ebenfalls eine obere Schranke. Es gibt dann also viele, sogar unendlich viele obere Schranken. Beispiel: Die Zahlenmenge {1,2,3} hat 3 als obere Schranke, aber natürlich auch 4,5,6,7, usw. Unter diesen Werten gibt es einen kleinsten Wert, nämlich die 3 und das ist die kleinste obere Schranke, die man für diesen Beweis benötigt.
Neenee! Ist schon interessant! Solche trivialen Beweise sind die Basis auf der sich das Universum aufbaut. Doch die erforschte Landkarte allein unseres Ozeans ist sehr begrenzt!
@@MatheMind Was meine ich mit unserem Ozean, der noch begrenzt ist? „Weiße Flecken“ in der Landkarte der Mathematik sind die ganzen Vermutungen, wie z.B. „Haben Primzahlen ein System?“ oder „Ist die Lichtgeschwindigkeit unendlich?“ Wenn ja: „Ist die Division durch Null möglich?“
@@karlklee Dann erklär bitte mal die Lorenztransformation mit 1/c-v mit v = c. Und bitte direkt hinterher das System von Primzahlen. Jetzt bin ich gespannt…
Der erste Beweis ist unvollständig. Die Multiplikation mit a und b ist nur erlaubt, wenn dies positive Zahlen sind, da sich sonst der Realtionsoperator undreht. Dies ist zwar vorausgesetzt, muss aber an dieser Stelle erwähnt werden.
Wenn es in der Voraussetzung steht und im ersten Satz vom Beweis, dann braucht man das nicht erwähnen. Du schreibst ja extra am Anfang Seien a,b Element R größer 0 und damit ist es klar.
@@manfredwitzany2233 Ja, dass musste ich im ersten Semester auf die harte Tour lernen. Mein Prof. bzw. Tutor schrieb sonst immer gerne daneben "Wieso?" oder "Warum?" und zog viele Punkte ab :D
@@312Lawliet Stimmt, diese Art Präzesion lernt man dann doch recht schnell. Ich habe zwei Semester Mathemathik und Physik gleichzeitig studiert. Die Lehrpläne waren auch fast gleich. Als dann die Topolgie dran kam, war meine Entscheidung einfach. Ich habe dann Physik durchgezogen. Da hat man sich dann diese Arbeitsweise wieder abgewöhnt. Z. B. wird bei einer Reihe die Konvergenz nie geprüft sondern alle Reihengesetze direkt darauf angewandt. Getreu nach dem Motto, wenn das mit Physik zu tun hat, dann muss es sowieso konvergieren.
@@manfredwitzany2233 "Getreu nach dem Motto, wenn das mit Physik zu tun hat, dann muss es sowieso konvergieren." Und wenn es (wie es in der Quantenfeldtheorie ständig vorkommt) nicht konvergiert, dann zieht man ab Schluss halt "unendlich" ab, erfindet dafür den hübschen Namen "Renormierung" und ignoriert, dass die Mathematiker einem sagen, dass das doch so nicht funktioniert. :D
Warum wird das Video nicht neu aufgenommen wenn man den Fehler bemerkt? Bockt mich überhaupt nicht dass so ein Müll einfach trotzdem so veröffentlicht wird.
Ich glaube, ich habe YT falsch verstanden. Ich dachte immer, dass Creator das Ziel haben in ihrem Bereich sowohl gut zu sein als auch eine möglichst große Zielgruppe zu erreichen. Ich habe den Eindruck, dass hier allerdings lediglich Mathe-LK Schüler angesprochen werden, die in Erwägung ziehen auch Mathematik zu studieren. Mehrfach wurden die Reellen Zahlen erwähnt, ohne ein einziges Mal zu erklären, was diese sind. Einmal wurde ein anderes Symbol (bei 7:30) dafür verwendet (ohne den Doppelstrich beim "R"). Darf man das? Ist das dann was anderes? War das einfach ein Flüchtigkeitsfehler? Dann wird der seltsame Begriff Körper verwendet, ohne ihn genauer zu erklären. Warum bleibst du dann nicht bei den Reellen Zahlen für das Beispiel? Mich hat das nur verwirrt. Unter einem Körper verstehe ich eher einen Ball, einen Würfel, eine Pyramide. So was eben.
Wenn man Videos über Uni Mathematik macht, dann sollte man alles von vorne bis hinten erklären. Es hat auch aus meiner Sicht keinen Sinn, den Begriff "Körper", der ein mathematischer Strukturbegriff ist, in den Raum zu werfen, ohne ihn ausführlich zu erklären. Der Unterschied zur Schulmathematik besteht ja darin, dass alle Sätze aus Axiomen abgeleitet werden müssen und damit sind in der Regel Schüler überfordert. Wenn man sich seriöse Videos zur Uni Mathematik anschauen will und sich das zutraut, dann sollte man Videos von Prof. Weitz aus Hamburg anschauen - da kann man sicher sein, dass keine fachlichen Fehler gemacht werden.
@@berndkru Ja, den Kanal kenne ich. Ist für meine Vorkenntnisse meist zu hoch. Finde aber einige Videos sehr gut und unterhaltsam. Besonders die "Riemann'sche Vermutung (Weihnachtsvorlesung)" und "die schönsten Beweise der Riemann'schen Vermutung" mag ich. Ich lerne gerne immer wieder dazu aber wenn die Lücke zu groß zu meinen Kenntnissen ist, bringt mich das nicht besonders weiter. Es gibt auch einen österreichischen Kanal mit sehr unterhaltsamen Videos, leider hat er vor Jahren schon seinen Betrieb eingestellt (mathspace Wien). Hier sehr empfehlenswert: "2 Ziegen und ein Auto", "Johann Jacob Balmer und die Farben" und "Meton und die Zeit."
"Ich glaube, ich habe YT falsch verstanden." Den Eindruck habe ich auch. "Ich habe den Eindruck, dass hier allerdings lediglich Mathe-LK Schüler angesprochen werden, die in Erwägung ziehen auch Mathematik zu studieren." Äh - ja? Das sollte aus dem Titel des Videos doch schon klar sein? "Mehrfach wurden die Reellen Zahlen erwähnt, ohne ein einziges Mal zu erklären, was diese sind." Das ist Stoff der 9. Klasse, das sollte eigentlich _jeder_ Wissen, der zumindest Mittlere Reife hat.
"Gut sein" darf nicht dahingehend ausarten, dass man sich nicht mehr traut was zu veröffentlichen, weil man Angst hat einen Fehler gemacht haben zu können. Wenn DU einen Fehler gefunden hast, sag es. Und das man nicht jedem im Urschleim beginnend alles erkären kann, ist doch wohl auch klar. Was eine Reelle Zahl ist lernt man doch wohl so in Klasse 6 ? Wenn man den Periodenstrich über Zahlen einführt ? Ein Körper ist ein 3 Dimensionales Ding. So abstrakt würde ein Mathematiker das beschreiben. Im Kontrast zu einer Fläche, die hat nur 2 Dimensionen.
Den Unterschied lernt man eigentlich an der Schule bzw. im Alltagsleben, wenn du das nach der Uni immer noch nicht weißt, dann bist du mit geschlossenen Augen durchs Leben gegangen.
