Pour les sous-groupes d'ordre 8, ce sont les groupes appelés diedral. Les isométries qui laissent un carré invariant. Il y a en bien 3. Si je note les sommets d'un carré respectivement 1,2,3,4 on obtient 8 isométries : {(1234),(13)(24),(1432),(13),(24),(12)(34),(14)(23),id). En changeant l'ordre des sommets du carré en 1,3,4,2 puis en 1,4,2,3 j'obtiens 2 autres groupes à 8 éléments.
Pour les 3 sylows tu prends directement les sous groupes engendrés par les 3-cycles. Pour les 2 sylows, tu cherches les sous groupes de la forme < x , y > où x,y sont des 4 cycles distincts et des groupes de la forme < x,y,z> avec deux trois cycles et une transpo
@@nesrinebioud9609bonjour, il faut essayer de combiner plusieurs petit sous groupe pour essayer de former un 0 sylow. Je n’ai pas de méthode particulière il faut juste chercher à taton.
Salut #Gauthier Dietrich, Par définition un p-Sylow est un p-sous-groupe (c'est à dire un sous-groupe de G dont le cardinal est une puissance de p) de cardinal maximal. Concrètement, si card(G)=(p^\alpha)(m), où m est premier avec p, alors un p-Sylow est un sous-groupe de cardinal p^\alpha. Si H est un p-Sylow, alors gHg^{-1}, pour g dans G, est aussi un p-Sylow, car le cardinal de gHg^{-1}, est le même que celui de H (et donc les deux ont cardinal p^\alpha). Si H est le seul p-Sylow, donc l'unicité entraîne que gHg^{-1} = H, pour g dans G. C'est à dire, H est égal à tous ses conjugués, i.e. (par définition) H est un sous-groupe distingué. J'espère que ça répond à ta question, si tu as encore des doutes, n'hésite pas à demander. Bon courage.
Salut Elijah Elias, merci pour ta question. Il faut spécifier que p est premier. Soit k le nombre de p-Sylows dans S_p et soient H_1, ... , H_k les différents p-Sylow. Si on utilise les égalités fournies par le théorème de Sylow (concernant le nombre k de p-Sylows) alors on arrive nullpart. Il faut faire autrement. Déjà on commence par remarquer que dans ce cas un p-Sylow a cardinal p (car, étant premier, p ne divise pas p-1! ). On en déduit que le nombre d'éléments d'ordre p est égal à l'union H_1\{e} ∪ ... ∪ H_k\{e}. Les éléments d'ordre p dans S_p sont les p cycles, il y en a p-1! (ce dernier nombre est le nombre de permutations circulaires de p éléments), donc on aura que p-1!= |H_1\{e}| + ... + |H_k\{e}| = k(p-1). On conclut que k=p-2!. Il faut faire attention que dans la dernière égalité on utilise le fait que H_i\{e} ∩ H_j\{e} est vide si i ≠ j (pourquoi?). Voilà une réponse. Préviens-moi si jamais il y a quelque chose qui n'est pas claire. Bon courage.
