Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coeff constants et 2nd membre usuel (CPGE 1 & L1) 

Haha, ça commence à dater mais je me souviens qu'il a apprécié très moyennement...

Haha tant mieux, avec plaisir !

A l'abordable !

Merci !

Avec plaisir !

Merci !

Cf les explications dans la vidéo, ainsi que mes nombreuses réponses aux autres commentaires sur la même question

Bonjour, merci Je ne multiplie pas ma solution particulière par x^2, ce x^2 en facteur fait partie de ma solution particulière. (C'est le principe d'augmentation des degrés que j'évoque dans la vidéo) Si tu veux dire qu'on peut obtenir une solution particulière de l'équation sous forme P(x)e^{3x} avec P de degré 2, ça m'étonnerait beaucoup vu l'expression finale que j'obtiens pour toutes mes solutions (qui contiennent toutes du x^4). Mais bon, si tu en as une sous cette forme, je suis preneur...

@@ayoubetlesmaths non je demandais juste vu que à la fin on voit que on obtient une expression de degré 2 , merci beaucoup pour la précision j’étais un peu perdue ^^ je ne savais pas qu’on devait prendre le x^2 qui multiplie le 3 dans l’équation de base

​@@SungR34 Pas de souci ! Je ne suis pas sûr d'avoir compris ^^' Justement à la fin on a une expression de degré 4 (et pas 2) multipliée par le e^(3x)

Effectivement

Nn enft c est bon je pense avoir compris de moi même

@@nahil1721 Parfait ! Au cas où, n'hésitez pas à regarder les discussions sous les autres commentaires

Merci haha, et désolé pour les 5 ans ^^'

Bonjour, je ne pense pas. Pourriez-vous être plus précis (et éventuellement lire les autres commentaires et mes réponses, au cas où elles vous éclaireraient) ? Cette vidéo commence à dater et j'éviterais bien de me replonger dans les calculs si c'est évitable.

Je veux bien t'éclairer si tu me promets que tu as lu les autres commentaires à ce sujet ainsi que mes réponses ;)

Je n'ai pas multiplié ce qui est appelé P dans la vidéo (à savoir 3X^2 + 1) par X^2. Si vous vous demandez plutôt pourquoi je cherche une solution particulière sous la forme x^2Q(x)e^{3x}, cela revient à une question d'un autre commentaire, à laquelle j'ai répondu : en résumé, c'est le principe d'augmentation des degrés.

@@ayoubetlesmaths alors si on avait pris. Un polynôme de degré 2, on aura quand même une solution particulière, probablement différente de la votre

Commençons par résoudre l'équation différentielle donnée : L'équation différentielle est : y"-6y'+9y=(3x^2+1)exp(3x) Étape 1: Équation homogène Pour résoudre l'équation homogène, nous ignorons le terme de droite (3x^2+1)exp(3x) et résolvons l'équation correspondante : y"-6y'+9y = 0. L'équation caractéristique correspondante est : r^2 - 6r + 9 = 0 Cette équation peut être factorisée en (r - 3)^2 = 0, ce qui donne une racine double r = 3. La solution générale de l'équation homogène est donc : y_h(x) = (C1 + C2x) * exp(3x), où C1 et C2 sont des constantes à déterminer. Étape 2: Solution particulière Nous supposons que la solution particulière a la forme y_p(x) = u(x) * exp(3x), où u(x) est une fonction à déterminer. Différencions deux fois y_p(x) pour obtenir y"_p(x) : y"_p(x) = (u''(x) + 6u'(x) + 9u(x)) * exp(3x) Remplaçons y"_p(x), y'_p(x) et y_p(x) dans l'équation d'origine : (u''(x) + 6u'(x) + 9u(x)) * exp(3x) - 6(u'(x) + 3u(x)) * exp(3x) + 9u(x) * exp(3x) = (3x^2 + 1) * exp(3x) Simplifions et regroupons les termes : (u''(x) + 9u(x)) * exp(3x) = (3x^2 + 1) * exp(3x) Divisons maintenant les deux côtés de l'équation par exp(3x) : u''(x) + 9u(x) = 3x^2 + 1 Étape 3: Résolution de l'équation linéaire Maintenant, nous devons résoudre cette équation linéaire pour trouver u(x). Pour résoudre l'équation linéaire, nous pouvons supposer que u(x) est une fonction polynomiale de second degré, donc u(x) = Ax^2 + Bx + C, où A, B et C sont des constantes à déterminer. Différencions u(x) deux fois : u''(x) = 2A Substituons dans l'équation linéaire : 2A + 9(Ax^2 + Bx + C) = 3x^2 + 1 Simplifions et regroupons les termes : (9A)x^2 + (9B)x + (9C + 2A) = 3x^2 + 1 Pour que les termes correspondants soient égaux, nous devons avoir : 9A = 3, 9B = 0 et 9C + 2A = 1 Cela donne A = 1/3, B = 0 et C = 1/27. Par conséquent, la solution particulière est : y_p(x) = ((1/3)x^2 + 1/27) * exp(3x) Étape 4: Solution générale Maintenant, nous avons la solution homogène (y_h(x)) et la solution particulière (y_p(x)). La solution générale de l'équation différentielle est donnée par : y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C1 + C2x) * exp(3x) + ((1/3)x^2 + 1/27) * exp(3x) Voilà la résolution complète de l'équation différentielle donnée.

@@yvesdzata1449 Vous pouvez vérifier que la solution finale que vous proposez ne marche pas. Je vois une erreur à cette étape : [Remplaçons y"_p(x), y'_p(x) et y_p(x) dans l'équation d'origine : (u''(x) + 6u'(x) + 9u(x)) * exp(3x) - 6(u'(x) + 3u(x)) * exp(3x) + 9u(x) * exp(3x) = (3x^2 + 1) * exp(3x) Simplifions et regroupons les termes : (u''(x) + 9u(x)) * exp(3x) = (3x^2 + 1) * exp(3x) ] Il n'y a plus de 9u(x) après simplification : 9u(x) - 18u(x) + 9u(x) = 0 Vous devriez donc vous retrouver avec u''(x) = 3x^2 + 1 En particulier, u(x) = 1/4 x^4 + 1/2 x^2 convient. Vous n'échappez donc pas à un u de degré 4, comme dans le principe d'augmentation des degrés exposé dans la vidéo.

@@ayoubetlesmaths merci beaucoup pour les remarques

Avec plaisir !