[UT#39] L'analyse-synthèse 

C'eût été une belle idée ! Parce qu'ensuite, on peut enchaîner sur la dictée donnée régulièrement par Gustave Latouche dans la bande dessinée Ducobu ! « Quelle belle cueillette nous fîmes : quelques hyménomycètes, des hypholomes, des helvelles, des géasters fimbriés, des polypores versicoles et un hydne imbriqué ma foi fort appétissant… »

Merci beaucoup 🙏 !

Merci pour ce message très sympathique ! Quant à mes livres, ne te presse pas, je ne suis pas aux pièces 🙃 !

Imaginez-vous dans un magasin afin de choisir un pantalon qui soit à votre taille et à votre goût. 👖 Dans un premier temps, vous prenez tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à votre goût (implication). 👖 Vous les triez donc un par un uniquement selon vos goûts (analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne vous reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse). Dans le contexte, l'erreur est dans votre phrase « On a réussi à isoler le 3-uplet (-2,-2,-2) en montrant qu'il satisfaisait le système d'équation ». Cette phrase est incorrecte. Plus exactement, on a démontré que si un triplet devait vérifier le système d'équation, alors c'était forcément (-2, -2, -2). Cela dit, il faut encore montrer que (-2, -2, -2) est bien une solution du système.

@@oljenmaths Merci pour votre réponse ! C'est un peu plus clair désormais. Je vais essayer de m'entraîner à utiliser ce genre de raisonnement. Merci beaucoup !

Bonjour ! C'est exactement cela. On peut se dire, toutefois, que j'ai eu de la chance en me contentant d'étudier L1-L2 et en obtenant ainsi des conditions nécessaires très restrictives. C'est ici qu'on sort de la structure du raisonnement par analyse-synthèse: les manières d'être efficace dans l'analyse ne dépendent que du type de mathématiques étudiées, ici la résolution d'un système non linéaire. Merci beaucoup pour le compliment sur les vidéos !

Bonjour ! La plupart du temps, les combinaisons linéaires permettent de conserver des systèmes équivalents (au sens où ils ont exactement les mêmes solutions), tandis que les substitutions vont toujours permettre de conserver une équivalence si on s'y prend bien. 🔹 Pour les combinaisons linéaires, c'est le plus simple à comprendre. Admettons que j'ai un système à trois équations, L1, L2, L3. Si je fais remplace L1 par L1+L2, aucun problème. Si je remplace L1 par L2 (ce qui fait disparaître L1), je perds l'équivalence. Ça paraît stupide mais c'est vraiment le seul moyen de perdre l'équivalence lorsqu'on réalise des opérations sur les lignes une par une: il faut absolument que la ligne qui va être modifiée comporte encore un tout petit bout d'elle-même pour que l'équivalence soit conservée. Même remplacer L1 par 0.000001 L1 + L2 conviendrait. 🔹Pour les substitutions, considérons le système {y = x^3} et {y² + xy + x = 0}. La seule boulette à ne pas faire, c'est de dire que ça équivaut à x^6 + x^4 + x = 0. Plutôt, ça équivaut à {y = x^3} et { x^6 + x^4 + x = 0}: il faut conserver deux lignes à partir desquelles on peut retrouver les deux précédentes. C'est une explication très incomplète, mais cette dernière phrase fournir l'essentiel: si tu ne fais pas d'erreur, tu pourras toujours aller de gauche à droite, et pour savoir si l'équivalence est conservée, il suffit de te demander si tu peux aller de droite à gauche.

@@oljenmaths merci beaucoup pour cette réponse très complète ! Ça m'éclaire sur le sujet

@@oljenmaths De ce que j’ai compris, est ce que cela veut dire que, dans l'exemple de la video, l'étape de synthèse n'était pas réellement utile ?

@@lucarl1021 Je pense qu'en faisant preuve d'une extrême dextérité, j'aurais peut-être pu raisonner par équivalences, mais il aurait fallu pour cela conserver un système de trois équations tout du long. Plutôt que de faire cela en traînant le système comme un boulet à la cheville, j'ai choisi de raisonner par implications en disant que si le système est vérifié, alors L1-L2 l'est aussi, et donc… donc… donc…. En faisant comme ça, je n'ai d'autre choix que de procéder à une synthèse, c'est-à-dire à la vérification que les potentielles solutions retenues par mes filets sont bel et bien des solutions du système 👨🏻‍🏫.

Salutations ! En résumé, dans la partie « analyse », on a montré que si (x,y,z) est une solution du système, alors 'y' est forcément différent de -1, donc x(x-2) = 0, donc x vaut soit 0, soit 2. À ce stade, une question se pose: les triplets (x,y,z) correspondant à x = 0 et à x = 2 sont-ils réellement des solutions du système ? D'un point de vue logique, aucun élément de la partie « analyse » ne permet de l'affirmer. Cela dit, on dispose là d'un ensemble très réduit de solutions potentielles. C'est la raison pour laquelle, à 5:54, on examine réciproquement (partie « synthèse ») lesquelles de ces solutions potentielles sont des solutions. En l'occurrence, il s'avère qu'elles le sont toutes les deux, mais ça aurait très bien pu ne pas être le cas.

@@oljenmaths merci beaucoup !

Ce raisonnement est mis en scène d'une manière un peu théâtrale ici, mais en réalité, on utilise ce raisonnement dans n'importe quel problème où le raisonnement par équivalence est problématique. 🔹 Dans l'analyse, on procède par implication, et on récupère ce faisant les solutions, ainsi que des potentielles "fausses solutions". 🔹 Dans la synthèse, on fait le tri pour distinguer entre les solutions et les "fausses solutions" issues de l'analyse. 🔸 Un exemple simple: résoudre, dans R, l'équation √(x²+x+1) = 2x-1. 🔸 Un exemple plus musclé: démontrer que toute fonction de R dans R s'écrit comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Au bout d'un moment, on utilise ce raisonnement sans même y penser. Je donne, en réponse au commentaire de Johan Roux (voir plus bas), une autre illustration à base d'un achat de pantalons 🙃 !

@@oljenmaths Merci beaucoup pour vos vidéos qui sont super claires, ainsi que pour vos réponses aux commentaires qui sont tout aussi utiles !!

0:00-5:33 Dès le début, Marcel ratisse toute la zone de manière à être certain qu'en-dehors de C, il n'y a aucun champignon. Tous les champignons sont donc forcément dans la zone C, bien qu'il n'y en ait pas forcément partout. 5:33-6:49 Marcel regarde à chaque endroit de C pour voir s'il y a un champignon ou pas. Naturellement, grâce à ses verres fumés, il n'en rate aucun 😎. La question porte-t-elle sur la pertinence de la métaphore ou bien sur la partie mathématique, consistant à démontrer une double-inclusion ?

@@oljenmaths D'accord, cela répond à ma question qui portait effectivement sur la méthode en elle même et non sur la métaphore. Merci

Bonjour ! Voici les outils utilisés: ✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY 📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop. 🎧 Audio recording & editing: Audacity. 🎬 Video montage: Adobe Premiere.

Je dois avouer qu'il y a une certaine ressemblance. Toutefois, Marcel peut se targuer d'avoir été tracé à la règle et au compas, ce qui n'est pas donné à tout le monde 😎.

Bonjour ! Grands dieux ! Ce système n'a pas l'air simple à résoudre, et je n'ai pas du tout le temps de m'y coller. Je te conseille de te tourner vers des sites où les exercices sont corrigés gratuitement si tu ne souhaites pas investir, comme exo7.emath.fr/ , par exemple. Quant au rapport à la vidéo, c'est exact. Voilà un résumé: 🔹 Si on raisonne par implication et qu'on prétend déterminer les solutions, il est nécessaire de procéder à une synthèse. 🔹 Si on raisonne par équivalence, il n'est pas _nécessaire_ de vérifier les solutions. Cela dit, il peut être utile de le faire afin de détecter de potentielles erreurs, par exemple.

@@oljenmaths merci de votre réponses. Vos vidéos sont intéressante.

Je l'explique comme résultat d'une certaine symétrie dans le système: dans ce genre de cas, il est bon de penser à la somme et à la différence. Cela dit, personne ne m'a jamais expliqué cela, c'est quelque chose qui est issu de la pratique des mathématiques. Une fois qu'on l'a fait deux ou trois fois, ça reste 😉.

@@oljenmaths ah d'accord c'est avec l'habitude que ça devient un réflexe. Merci

Oui ! C'est souvent comme ça avec beaucoup de choses dans la vie (marcher sans perdre l'équilibre, mâcher les aliments avant de les avaler, etc.) et les mathématiques ne font pas exception à la règle. Au début, on se rate, puis on essaie encore et encore, puis on réussit ✌️!

Tout à fait j'ai un peu trop tendance à croire qu'une fois "grand" tout s'apprend en un coup. Mais faire des mathématiques (apprendre la logique) me permet chaque jour de me rendre compte de mon erreur.

Tous les exemples ont leurs avantages et leurs inconvénients. En l'occurrence, étant donné que je me sers de cette vidéo comme de référence pour les étudiants en début de première année, parler d'algèbre linéaire ne conviendrait guère. Dans l'idéal, j'aurais bien aimé m'avoir vu choisir un exemple élémentaire, de niveau lycée, mais bon... Maintenant, c'est fait 🙃!

Le problème de ce raisonnement, c'est qu'on se lance tout droit dans l'œuvre d'Orwell, 1984. « - C’est une belle chose, la destruction des mots. Naturellement, c’est dans les verbes et les adjectifs qu’il y a le plus de déchets, mais il y a des centaines de noms dont on peut aussi se débarrasser. Pas seulement les synonymes, il y a aussi les antonymes. Après tout, quelle raison d’exister y a-t-il pour un mot qui n’est que le contraire d’un autre ? Les mots portent en eux-mêmes leur contraire. Prenez « bon », par exemple. Si vous avez un mot comme « bon » quelle nécessité y a-t-il à avoir un mot comme « mauvais » ? « Inbon » fera tout aussi bien, mieux même, parce qu’il est l’opposé exact de bon, ce que n’est pas l’autre mot. Et si l’on désire un mot plus fort que « bon », quel sens y a-t-il à avoir toute une chaîne de mots vagues et inutiles comme « excellent », « splendide » et tout le reste ? « Plusbon » englobe le sens de tous ces mots, et, si l’on veut un mot encore plus fort, il y a « doubleplusbon ». Naturellement, nous employons déjà ces formes, mais dans la version définitive du novlangue, il n’y aura plus rien d’autre. En résumé, la notion complète du bon et du mauvais sera couverte par six mots seulement, en réalité un seul mot. Voyez-vous, Winston, l’originalité de cela ? Naturellement, ajouta-t-il après coup, l’idée vient de Big Brother. » Les mots ont une profondeur, et les mots analyse et synthèse n'ont pas été choisi au hasard, ou par une soudaine envie de complexifier quelque chose de simple.

Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage. Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût. 👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication). 👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à ta taille. Il faut le vérifier (synthèse). Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?

@@oljenmaths ouii j'adore, merci beaucoup !

Pour comprendre le principe du raisonnement par analyse-synthèse, peut-être que cette analogie t'aidera davantage. Imagine-toi dans un magasin afin de choisir un pantalon qui est à ta taille et à ton goût. 👖 Dans un premier temps, tu prends tous les pantalons du magasin (ensemble S). 👖 Si un pantalon doit convenir, alors il doit déjà être à ton goût (implication). 👖 Tu les tries donc un par un uniquement selon tes goûts (exemple d'analyse). 👖 Imaginons qu'à la fin, il ne te reste qu'un seul pantalon (ensemble C). 👖 Rien ne dit qu'il soit à votre taille. Il faut le vérifier (synthèse). Mon histoire de pantalons est-elle plus éclairante 😃 ?