kann doch aber sein, dass zwei Vektoren kollinear sind und sich der dritte deswegen nicht aus den beiden gegebenen berechnen lässt.? Die Vektoren wären ja dann trotzdem komplanar🥴
Da hast du vollkommen Recht! Meine Variante deckt diesen speziellen Fall nicht ab. (Ich habe die Erklärung damals mit einem Grundkurs im Hinterkopf aufgenommen. So einen Spezialfall habe ich da noch nie gesehen und diese Herangehensweise ist einfach als diese: 0(vektor) = r*a + s*b + t*c (a, b, c jeweils vektor)) Danke!
@@KoonysSchule Hallo , ich habe alles super verstanden, außer einer Sache, wieso haben bei der minute 2:24 I+2×I genommen? Ich meine woher kommt die "2"?wieso haben sie es "2 mal" genommen?
In diesem Fall hat man unteranderem auch Eine Ebene im Kopf, von welcher man die beiden Richtungsvektoren nimmt. Womöglich im Vergleich zu einer gerade Oder eines anderen Richtungsvektor einer anderen Ebene. Somit kann man dann von von zwei nicht Kollinearen Vektoren ausgehen. Grüße aus der Zukunft. =)
Lieber Koony, das habe ich gut verstanden, meine Frage ist: In dem Lehrbuch Bigalke Köhler heißt es zu Komplanaren Vektoren, dass drei Vektoren dann zueinander komplanar sind, wenn c(Vektor) = r mal a(vektor) + s mal b(vektor) ODER b(Vektor) = r mal a(vektor) + s mal c(vektor) ODER a(Vektor) = r mal b(vektor) + s mal c(vektor) Das heißt, wenn ich bei der ersten Möglchkeit nichts Vernünftiges rausbekomme, muss ich dann noch die beiden anderen untersuchen??? Danke!!! ODER sind es nur drei Darstellungen des gleichen Sachverhalts? Lieber Gruß und danke für deine schönen Videos! Elimar
Nein das sind nur andere Schreibweisen. Völlig Hupe was da alleine steht. Die wollen nur ausdrücken: geht alles. Heißt aber nicht, dass man alles machen muss. Eins reicht. Einige schreiben es sogar so: 0(vektor) = r*a + s*b + t*c (a, b, c jeweils vektor)
Wüsste mal gerne, warum du nur so wenig Aufrufe auf dem Video hast.. wünschte mir das wäre das erste Video gewesen was ich mir zu dem Thema angeschaut hätte, dann hätte ich es direkt verstanden
Mein Kanal ist im Vergleich zu anderen Mathe-RU-vidrn recht klein. Da tauche ich bei den meisten nicht in den Vorschlägen auf. Freut mich aber zu hören, Dankeschön!
ich hab 2 und 3 statt 1 und 2 benutzt und bei mir kam was völlig anderes raus also nicht Komplanar. Gibt es da eine bestimmte Faustregel? also nur die ersten 2 Vektoren plus rechnen oder?
Eine Faustregel gibt es da nicht. Wenn du 2 und 3 benutzt hast, ist das völlig ok. Einer von uns beiden hat sich dann aber wahrscheinlich verrechnet, wenn etwas anderes rauskommt.^^
Gutes Video! Aber Warum ist die Summe der Vektoren gleich dem Nullvektor (wenn sie komplanar sind)? Irgendwie will ich auch den Sinn dahinter verstehen und nicht sturr das Schema durchgehen.
Kann ich nachvollziehen.^^ Kurz vorweg: die Summe ist nicht einfach gleich dem Nullvektor. Meistens hat man vor den Vektoren noch Zahlen, die verlängern, verkürzen oder "umdrehen". Wenn man Vektoren addiert, kann man sich das ja so vorstellen, als würde man sie aneinanderreihen. Wenn man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert, kann man sich das so vorstellen, als würde man den Vektor verlängern oder verkürzen (je nach Zahl). Wenn man nun 3 Vektoren hat, die in einer Ebene liegen, kann man die immer so aneinanderreihen, dass die sich quasi im "Kreis" (Dreieck) drehen. Bei der Prüfung auf Komplanarität schaut man im Endeffekt nach ob das möglich ist. Gäbe es r, s, t (was Zahlen sind) und vecA, vecB, vecC (was Vektoren sind) schaut man nach, ob diese Gleichung eine Lösung hat: r*vecA + s*vecB + t*vecC = vec0 (Nullvektor) Man prüft damit, ob es ein r, s und t gibt (also die Vektoren verlängern oder verkürzen) sodass ein Dreieck entsteht. Wenn das geht weiß man, dass die Vektoren in einer Ebene liegen. (Ein Dreieck ist ja quasi ein kleiner Ausschnitt aus einer Ebene.) Ich hoffe das hilft.^^
@@KoonysSchule Danke für die ausführliche Antwort. Hab's jetzt verstanden.👍👍 Das mit den Koeffizienten bei der Linearkombination hab ich beim Schreiben ausversehen weggelassen.
Super hilfreiches Video! Hatte als Hausaufgabe genau diese 3 Vektoren gegeben und sollte prüfen ob sie komplanar sind. Jetzt habe ich das Thema verstanden & auch noch die Lösung also echt vielen lieben Dank!😆👍
Man will, dass das s verschwindet. Römisch 1 hat ein +2s und Römisch 2 nur ein -s. Also rechnet man Römisch 2 mal 2, damit das ein -2s bekommt und das s damit dann wegfällt.
Wenn man 3 Vektoren gegeben hat und auf komplanarität prüfen soll ist es dann egal welchen Vektor man den anderen 2 gleichsetzt oder muss man einen bestimmten auswählen
Ja das ist egal. Kann man sich aussuchen. Das ist vom Prinzip her wie x + y + z = 0. Das kann man umstellen nach: x + y = -z x+z = -y y+z = -x Ich will damit sagen: so, wie man hier alle drei Variablen auf die rechte Seite stellen kann, kann man auch bei Komplanarität jeden der 3 Vektoren alleine auf eine Seite stellen.
@@KoonysSchule erstmal vielen dank für die schnelle antwort! Ich habs ausprobiert und kriege dann verschieden werte für r und s raus je nachdem wie ich es umstelle, das ist dann auch normal oder? Ich habe bei allen 3 varianten auch das selbe ergebnis bezogen auf komplanarität bekommen
Super gut erklärt. Wirklich TOP!! aber warum hast du aufgehört?? das letzte Video vor 3 Jahren warum? Du erklärst die Themen mit abstand am Besten das sehen auch viele aus meiner Klasse so!
Dankeschön! Vor 3 Jahren habe ich mir einen 40 Stunden pro Woche Job gesucht und dann keine Zeit mehr gehabt. (Musste ich machen, weil das RU-vid-Geld nicht ausreicht um meine Miete + Essen etc. zu zahlen.) Ich betrachte das aber nicht als "aufgehört" sondern als "ich mach erstmal eine etwas längere Pause bzgl. neuer Videos, aber beantworte die Kommentare weiterhin". :) Viele Grüße an die Klasse! :P
Generell gilt: immer erstmal genau so. Sobald Variablen dabei sind, kommt man dann oft auf Gleichungen, die man "nur" lösen muss. Dein Fall ist bestimmt etwas der Art "Wie müssen a und b gewählt werden, damit die 3 Vektoren komplanar sind?". Da stellt man die 3 Gleichungen genauso auf und hat dann ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Das läuft dann darauf hinaus, dass man r und s eliminiert und am Ende eine Gleichung hat mit a und b. Beispiel: a = 3b + 2 Dann kann man sagen: a und b müssen so gewählt werden, dass a = 3b+2 gilt. (also a = 5 und b = 1 zum Beispiel). Hoffe das war in die richtige Richtung erklärt.^^
Also noch ein weiterer Vektor mit einem t davor? Machst du genauso. Hast dann halt nur die 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten anstatt 2. Dann löst du dieses Gleichungssystem und schaust, ob es passt. Hoffe das hilft.
Ich wollte das s weg bekommen und da in der ersten Gleichung eine +2s steht, habe ich die zweite mal 2 genommen, damit aus dem -s ein -2s wird. Dadurch fällt das s dann komplett weg und ich kann das r ausrechnen.
Aber ich dachte, sie seien nur dann komplanar, wenn man aus der Linearkombination den Nullvektor bilden kann. Aber der kommt ja im Video gar nicht vor.
Stimmt. Genau genommen geht es los mit 0 = a*x + b*y + c*z (x, y, z und die 0 sind Vektoren. a, b und c sind Skalare (einfache Zahlen).) Bei den Rechnungen geht es darum, ob man für a, b und c Zahlen findet (die nicht Null sind). Man kann aber vorher umstellen und einen Vektor auf die andere Seite bringen. c*z zum Beispiel: -c*z = a*x + b*y Man könnte auch noch mal 2 oder 3 auf beiden Seiten rechnen, wenn man will. Oder man rechnet durch -c. Das ergibt dann: z = -a/c * x - b/c * y Da -a/c und -b/c einfach nur Zahlen sind und man die Zahlen am Anfang eh nicht kennt, kann man auch direkt mit der Rechnung anfangen: z = m * x + n * y Wenn man z mit Hilfe von x und y darstellen kann, ergeben die ja ein Dreieck und sind damit komplanar. Dieser Start stand damals in meinem Buch mit dabei. Deshalb zeige ich das so in dem Video. Müsste mal eins mit dem anderen Anfang machen.^^ Hoffe das hilft. :)
Wenn man Lust dazu hat macht man das.^^ "Warum?" höre ich dich fragen: Wenn die Vektoren x, y und z sind und die Zahlen davor r, s und t, dann heißt die Formel eigentlich: r*x + s*y + t*z = 0 (Nullvektor) Die Frage ist dann: gibt es ein r, s und t (ungleich Null), sodass die Gleichung passt (also der Nullvektor rauskommt). Was das r, s und t dabei ist, ist dabei völlig wurscht. Also kann man einfach bestimmen, dass einer der Variablen r, s oder t gleich 1 ist und stellt um. So kommt man dann zu der Form aus dem Video: z = r*x + s*y (wenn t = 1 ist) (Die Minusse beim Rüberziehen ignoriert man einfach, weil es ja egal ist was rauskommt, solange es ungleich Null ist.) Damit lässt sich einfacher rechnen. Mit welcher Form man anfängt zu rechnen ist aber egal. Hoffe das hilft. :)
2 mal die 2. Gleichung (nicht Aufgabe) mache ich, damit beim zusammen rechnen das s wegfällt. In der 1. Gleichung hat man ja schon 2s. In der 2. Gleichung hat man nur -s, also -1s. Damit dieses -1s zu -2s wird (und damit dann s nach dem zusammen packen weg fällt), rechne ich die zweite Gleichung mal 2.
An dieser Aufgabe bin ich am Verzweifeln! Diese Aufgabe gibt es ja bei Big/Kö Gym Oberstufe II in Brandenburg auf Seite 57oben Ich habe aber das Gleichungssystem unten angefangen und finde nicht den Fehler, wobei ich das Einsetzungsverfahren genommen habe, da kommt dann raus Auf S.57 big/koe ist in Aufgabe 20 a) die Aufgabe gegeben, die drei Vektoren (1) (7) (2) (1) (2) (1) und (2) (-1) (1) auf Komplanarität hin zu untersuchen Beim Aufstellen des Gleichungssystems aus (1) (1) (2) (7) = r mal (2) + s mal (-1) (2) (1) (1) ergibt sich I. 1 = r + 2s II. 7= 2r - s III. 2= r + s ===> r = 2-s Setze das in II. ein II. 7 = 2(2-s) - s ===> 7 = 4 - 2s - s ===> 7 = 4 - 3s ===> 3s = 4-7 = 3 ===> 3s=3 oder s=1 Setze s = 1 in III. ein III. 2 = r + 1 ===> r =1 Wenn ich s=1 und r=1 in I. einsetze kommt Unsinn heraus 1 = 1 + 2 Wenn das passiert, dann müssen die drei Vektoren nicht komplanar sein, oder? Bei den Lösungen von Big/Kö steht aber (1) (1) (2) (7) = 3 (2) -1 (-1) (2) (1) (1) was stimmt, denn 1 = 3 - 2 7 = 6 +1 und 2 = 1 + 1 Wie kommt man aber auf r = 3 und s = -1 ??? Hast du ja gezeigt, aber das müsste doch bei der Einsetzungsmethode auch passieren, oder was mache ich falsch? Hätte doch bei meiner Rechnung auch rauskommen müssen??? Wo liegt mein Fehler? Lieber Gruß Elimar
Der Fehler liegt hier: "Setze das in II. ein II. 7 = 2(2-s) - s ===> 7 = 4 - 2s - s ===> 7 = 4 - 3s ===> 3s = 4-7 = 3 ===> 3s=3 oder s=1" Grund ist: 4-7 = -1 und nicht 1. ;)
@@KoonysSchule super! Dann stimmt ja wieder alles. Wieso ich den Fehler nicht gefunden habe, liegt wahrscheinlich an einer Blindheit gegenüber eigenen Lösungen! DANKE!!
Hi, erstmal danke, dass du auf meine Fragen antwortest. Daniel Jung hat das irgendwie anders erklärt: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-qBQeFSnLOVA.html Er hat die Gleichungen aufgestellt und sie alle 0 gesetzt, weil das ja bedeutet, dass sie komplanar sind und du hast einfach nach ner Lösung für r und s gesucht. ich weiß jetzt nicht, wie ich es machen soll? :(
Das kannst du machen, wie du möchtest. :) Das geht beides. Er sagt quasi a*x + b*y + c*z = 0. Ich fange an mit a*x + b*y = d*z. Kommt aber im Endeffekt aufs Gleiche hinaus. (Ich hoffe meine Erklärung hier gerade war nicht zu kryptisch und es ergibt Sinn, dass es eigentlich (fast) das Gleiche ist.^^) Gute Übung wäre eine Aufgabe auf beiden Wegen zu rechnen und zu schauen, welcher Weg einem besser mundet. (Am besten 2 Aufgaben: einmal mit komplanaren Vektoren und einmal ohne.)
Man möchte, dass entweder r oder s verschwindet. Bei Gleichung 1 hat man 2s. Bei Gleichung 2 hat man -1s. Also nimmt man Gleichung 2 mal 2 und hat damit -2s. Damit löschen sich +2s aus Gleichung 1 und -2s aus Gleichung 2 aus und man kann das r bestimmen.
@@KoonysSchule Da wäre doch die 1.Gleichung - die 3.Gleichung unkomplizierter gewesen um s zu bekommen:) dann s in die 3. Gleichung und nach r Umstellen
Oh nicht traurig sein. Mich macht der Kommentar happy. Du könntest noch liken, subscriben und all deinen Freunden und Lehrern davon erzählen. (Von meinen Videos. Nicht deiner Traurigkeit.^^)
Eine frage hätte ich trotzdem noch .. was ist wenn *s* nicht so schön wegfällt bei der gleichung wo man auf *r* = 3 gekommen ist .. was wäre wenn das *s* noch vorhanden wäre .. wie macht man dann weiter
Da habe ich ja Gleichung 1 + 2 mal Gleichung 2 gemacht. Dieses "Gleichung 2 mal 2" habe ich extra gemacht, damit s wegfällt. Wenn das s nicht wegfällt, hat man bei dem Schritt nicht richtig eine der Gleichung mal etwas genommen. Hätte man zum Beispiel I) 1 = r + 2s II) 2 = r + 3s müsste man Gleichung 1 mal 3 nehmen und Gleichung 2 mal -2. Da kommt man dann auf I) 3 = 3r + 6s II) -4 = -2r - 6s Danach könnte man die dann zusammenrechnen und das s fällt weg. (Man könnte aber auch einfach Gleichung 1 mal -1 nehmen und Gleichung 2 so lassen. Da würde dann das r wegfallen, was auch völlig ok ist.) Hoffe das hilft weiter.^^
Ja! Bei 2 Vektoren kann man auch kollinear sagen. Bei 3 Vektoren kann man auch komplanar sagen. Ab 4 Vektoren gibt es keinen extra coolen Begriff mehr. Wie bei Funktionen: Zu Funktionen 1. Grades kann man auch lineare Funktionen sagen. Zu Funktionen 2. Grades kann man auch quadratische Funktionen sagen. Zu Funktionen 3. Grades kann man auch kubische Funktionen sagen. Ab dann gibt es keine coolen Begriffe mehr und man sagt: Polynomfunktion n. Grades.
