Noch ein paar weitere Beispiele für solche Ringe, bei denen die beiden Begriffe nicht zusammenfallen wären Z[sqrt(-p)], wobei p eine Primzahl ist mit p>=3. Nun betrachte das Produkt a*b:=(1+sqrt(-p))*(1-sqrt(-p))=1-(-p)=p+1. Da nun aber p eine Primzahl >=3 ist, also insbesondere ungerade, ist p+1 gerade und lässt sich damit zerlegen in 2*c, wobei c in Z ist. Es gilt aber weder 2|a noch 2|b, da die Wurzel einer Primzahl irrational ist und damit a=1+sqrt(-p), b= (1-sqrt(-p)) auch irrational sind, also insebesondere nicht ganzzahlig.
Hi! Erstmal super Video. Mir gefallen fast alle deine Videos, sind so schön die Idee zu erfassen ohne sich in technischen Details zu verlieren. Weil ich mich mit der Beziehung zwischen prim und irreduzibel weiter befassen wollte bin ich bei Wikipedia auf ein Gegenbeispiel für prim => irreduzibel gestoßen. siehe de.wikipedia.org/wiki/Primelement#Beispiele
+Ma_he Dem ganzen Thema Eigenwerte und -vektoren, Diagonalisierbarkeit und Jordan-Normalform widme ich mich bereits in diesem Videokurs von mir: www.math-intuition.de/videokurs-lineare-algebra-2-intuition/ Die anderen beiden Themen habe ich schon auf der Liste :)
Danke, sehr hilfreich wie immer! Es würde mich interessieren, wie man denn am Ende dann konkret zeigt, dass 2, 3 und 1 ± sqrt(-5) wirklich irreduzibel sind. Also könnte man jeweils eins dieser Elemente auf die linke Seite einer Gleichung schreiben und auf die rechte Seite einfach zwei beliebige Ringelemente, und dann irgendwie umformen? Oder gibt's da einen besseren Weg, um das zu zeigen? Und was sind die Einheiten dieses Rings, sind es nur 1, -1 wie in den ganzen Zahlen oder gibt es noch andere?
trflk Für genau solche Fragestellungen verwendet man meist Normabbildungen. Schau dir dazu mal diesen Beitrag an: www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=90971&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26cad%3Drja%26uact%3D8%26ved%3D0CCIQFjAA Die Normabbildung f dort ist eine Abbildung in die natürlichen Zahlen (dort kann man sehr einfach Teilbarkeit überprüfen!). Wenn ich mich nun frage, was die Einheiten in meinem Ring sind, frage ich ja nach Elementen x für die es ein y mit x*y= 1 gibt. Wegen dieser Gleichheit muss auch f(x*y) = f(1) sein. Außerdem sind normen multiplikativ (muss man beweisen), was bedeutet, dass f(x*y) dasselbe wie f(x)*f(y) ist. Außerdem ist f(1) = 1 laut Definition der Normabbildung. Zwischenfazit: f(x)*f(y) = 1 UND f(x) und f(y) sind natürliche Zahlen, folglich sind beide 1! Fazit: Wenn x eine Einheit in meinem Ring ist (und y damit automatisch auch), dann muss f(x) = 1 sein und f(y)=1, d.h. die Norm der Einheit ist 1. Für unseren Ring heißt das: Nehmen wir an x = a + b*sqrt(-5) wäre eine Einheit in Z[sqrt(-5)]. Dann muss also a^2+5*b^2 = 1 sein. Und a und b sind dabei ganze Zahlen! Dafür gibt es nur zwei Lösungen: b=0 und a = + - 1. Also hat dieser Ring keine anderen Einheiten als die "altbekannten" ganzen zahlen + - 1 Mit der Normabbildung kannst du auch nachprüfen, dass 2 kein Teiler von (1+sqrt(-5)) ist ;) Wende mal einfach die Norm auf die Hypothese 2*a = (1+sqrt(-5)) an und schau, wie sich daraus ein Widerspruch ergibt.
Math Intuition Wow, danke für die rasche, ausführliche Antwort! Das hat wirklich geholfen, das besser zu verstehen. Mir scheint, als sei der "Trick" im Grunde, so eine Normabbildung zu finden und ggf. Eigenschaften wie N(a)N(b) = N(ab) festzustellen; dann folgt der Rest recht schnell mit etwas Tricksen und Umformen. Ist das bei solchen eher unschönen Ringen häufiger so, dass man dann erstmal auf so eine Abbildung kommen muss, die einem sowas erleichtert? Gibt's da einen geschickten Weg oder ein bestimmtes Verfahren, um eine Abbildung zu konstruieren, oder ist das eher Glückssache, eine zu finden? :)
trflk Diese Normabbildung sieht oft ähnlich aus. Aus a+b*i wird dann a^2+b^2 und aus a+b*sqrt(7) wird dann a^2+7*b^2 oder vll auch a^2 -7*b^2 (bin aber gerade nicht sicher, ob letzteres dann auch eine Norm-Abbildung ist). Aber du erkennst das Muster ;)
Schönes Video. Aber eine kleine ungenauigkeit: Im Produktring ZxZ ist (1,0) = (1,0) * (1,0) ein Primelement, dass nicht irreduzibel ist. Aber in einem Integritätsring gilt: p ist prim => p isr irreduzibel.
Danke für dein Kommentar! :-) Ich nehme deinen Wunsch mal auf die Liste ;) Hier ein kleiner Vorgeschmack: freie Moduln sind quasi die Verallgemeinerung eines Vektorraums (nämlich basierend auf einem Ring statt einem Körper. Und Ringe sind ja "die Verallgemeinerung" eines Körpers). Zwei Beispiele für freie Moduln: Z^n (wobei Z die Menge der ganzen Zahlen) oder auch K[x]^n (wobei K[x] der Polynomring ist). Außerdem sind alle Vektorräume freie Moduln. Für einen nicht-freien Modul wird es ein wenig komplizierter ... aber dazu würde ich dann im Video was sagen.
Doch, doch, Primelemente haben die meisten Ringe, die dir begegnen werden. Ist allerdings mit ein bisschen Rechnerei verbunden, da welche zu finden. Vielleicht gibts hier ja jmd, der schon Primelemente darin gefunden hat? Ich bin ehrlich gesagt gerade zu faul, mich da ran zu setzen :D Aber ich kann dir sagen, wie man da vorgeht: Nimm beispielsweise eine Primzahl wie 5 oder 7 oder ... als ersten Versuch. Das sind immer gute Kandidaten, auch wenn es nicht immer prime Elemente sind (im Video zum Beispiel habe ich ja gezeigt, dass 2 nicht im prim ist in Z[sqrt(-2)] ). Anschließend beginnst du einen Widerspruchbeweis, indem du annimmst, dass die Zahl nicht prim ist, d.h. es gibt ein Produkt, von dem die Zahl ein Teiler ist, jedoch ohne ein Teiler von einem der beiden Faktoren zu sein. Dadurch hast du eine Zerlegung Zahl = a* b. Darauf kannst du die Normfunktion anwenden -> Norm(Zahl) = Norm(a*b) = Norm(a)*Norm(b). Und das schöne ist, dass Norm(...) eine natürliche Zahl ist! D.h. dort kannst du das ganze recht einfach zu einem Widerspruch führen. Damit hast du dann gezeigt, dass deine Zahl also doch prim ist.
@@calvinhaffner7982 Im Video geht auch nicht deutlich hervor, wie ich prim zeige, sondern die Beispiele waren eher dafür da, um zu demonstrieren wie ich zeige, dass ein Element nicht prim ist. Zu zeigen, dass ein Element prim ist, ist sehr kontext-abhängig, d.h. man sich jede Aufgabe dazu individuell ansehen.
